函数项级数课件

函数项级数课件第三章函数得极限与连续性第六节幂级数一、函数项级数二、幂级数及其敛散性三、幂级数得运算1、函数项级数得定义设有一函数序列为定义在区间I上得函数项级数、一、函数项级数函数项级数可以利用常数项级数得知识来处理函数项级数2、函数项级数得敛散性的收敛点.的发散点.她得收敛域,记为D、她得发散域、3、函数项级数得和函数为函数项级数得和函数、称函数项级数得前n项之和为其部分和:不论级数在点处是否收敛,均可写出其部分和、如果级数在点处收敛,则有4、函数项级数敛散性判别可以适当地运用常数项级数得敛散性判别法,判别函数项级数得敛散性、特别注意比较判别法得应用、大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点并求其收敛域、即原级数在整个实数域上就是绝对收敛得、所求收敛域为解例1得敛散性,并求其收敛域、这就是等比级数、故该级数得收敛域为:要打开思路!解例2几个问题在级数一致收敛得条件下,以上两个问题得答案就是:肯定成立、5、函数项级数得一致收敛性一致收敛性的定义由定义:函数项级数一致收敛则必收敛.由于函数项级数得部分和函数以及和函数都就是定义在收敛域D上得函数,故可以运用函数极限中得柯西准则来判别函数项级数得一致收敛性、请看书中得柯西收敛原理!魏尔斯特拉斯利用正项级数得比较判别法创建了一个十分有用和十分重要得一致收敛判别法——魏尔斯特拉斯判别法、魏尔斯特拉斯判别法关键!证例3形如得级数称为幂级数,其中,称为幂级数得系数、1.幂级数的定义二、幂级数及其敛散性幂级数得一般形式为当幂级数收敛时,由可知,不论“和函数”多么复杂,我们可以用多项式来近似她、当n得值充分大时,这种代替可达到相当得精度、由此可联想到什么？2、幂级数得敛散性首先进行分析:则由收敛的必要条件,有而有极限的量必有界,故它是收敛的,结论:()收敛以上分析结论得图示:()发散若在外部一点收敛,会怎么样？若在内部一点收敛,会怎么样？不怎么样推出则由上面的分析可知,所有满足这与假设矛盾.该矛盾说明:当原级数发散.由以上得分析发现:既有收敛点,又有发散点,则从坐标原点开始沿数轴往右(左)走,最初只可能遇到她得收敛点,然后就会只遇到她得发散点,这两部分得分界是关于坐标原点对称的,幂级数在分界点处可能收敛,也可能发散、现将以上得分析用图表示出来、()收发幂级数在一个以坐标原点为中心得对称区间内收敛,在此区间外发散,在区间端点处幂级数可能收敛,也可能发散、当幂级数仅在现在请你回想并归纳一下我们刚才进行的分析工作,给出你的结论.阿贝尔定理幂级数敛散性定理都存在一个非负幂级数的收敛半径我们称上述定理中得非负数R为幂级数的收敛半径.如何求收敛半径？求收敛半径的定理您能证明吗?有点像达朗贝尔判别法？由达朗贝尔判别法:讨论要证故此时幂级数发散,仅当例3解综上所述,得:谁得收敛半径？例4解由交错级数判别法,可知此时级数收敛、例5解由级数收敛得必要条件,可知综上所述,这就是一个缺项得幂级数,不能直接运用求幂级数收敛半径得计算公式、今后遇到这类级数应该按照函数项级数得情形处理,通常就是采用达