数学名师导航古典概型VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精7。2古典概型名师导航三点剖析一、基本事件基本事件是指在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件。若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性相同，则称这些基本事件为等可能基本事件.例如：在掷硬币试验中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在掷骰子试验中，随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点"“4点”和“6点"共同组成。二、古典概型1．古典概型的定义古典概型是指具有以下两个特点的随机试验的概率模型称为古典概型：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的。如果一次试验的等可能基本事件共有n个，则每一个等可能事件发生的概率为。若某个事件A包含了其中m个等可能事件，则事件A发生的概率为P（A）=.这就是古典概型概率的计算公式。古典概型概括了许多实际问题，有很广泛的应用。如“体育彩票”“社会福利彩票"和抓奖等活动中就蕴涵着古典概型的应用。此外它也提供了一种求概率问题的崭新的方法，也就是说不需要通过大量重复的试验，而只要对一次试验可能出现的结果进行分析，就可以求得概率.2．古典概型概率的取值范围在古典概型中，若基本事件的总数为n，某个事件A包含了其中m个基本等可能事件，则必有0≤m≤n，所以事件A发生的概率的取值范围是0≤P（A）≤1．其中，当m=0时，事件A是不可能事件,它发生的概率为0，当m=n时,事件A是必然事件,它发生的概率是1，当0<m<n时,事件A是随机事件，此时它发生的概率的取值范围是0<P（A)<1．3．古典概型概率的集合意义在古典概型中,所有的n个基本事件可以构成一个含有n个元素的集合I，而事件A包含的m个基本事件可以构成一个集合B．由古典概型概率的计算公式可知：P(A）=。4．古典概型概率的求法与步骤求古典概型概率的方法有两种:（1)P(A）=，其中n是古典概型中所包含的基本事件的总数，m则是事件A包含的基本事件数.（2）P(A）=，其中集合I是古典概型中所有基本事件构成的集合，集合B则是事件A包含的基本事件构成的集合.求古典概型概率的步骤:（1）求基本事件的总数(或集合I中元素的个数）；（2）求事件A包含的基本事件的个数（集合B中元素的个数）（3）代入计算公式.问题探究问题1：甲、乙两人做掷骰子游戏，他们同时各掷一枚骰子一次，然后计算两个骰子向上的数字之积，若得到的积为偶数，则甲得到1分，否则乙得2分。他们各掷10次,记录得分情况，得分多者获胜，问这个游戏对甲、乙双方公平吗？为什么？探究：这个游戏对甲、乙双方是否公平，就看两人掷得的骰子向上点数之积为偶数的概率是不是为奇数概率的2倍.由于掷一次骰子点数为奇数的有3种,点数为偶数也有3种情况，而两次掷得点数之积为偶数有以下几种可能:甲掷得偶乙奇、偶均可，有6种可能；甲掷得奇而乙掷得偶，此时有3种可能.所以两人掷得的骰子向上点数之积为偶数有9种可能;而奇数只有6种.所以两人掷得的骰子向上点数之积为偶数的概率不是掷得的骰子向上点数之积为奇数的概率的2倍，故该规则对他们来说是不公平的.问题2:成语词典上对“万无一失"的解释是“比喻有绝对的把握”，从数学的角度应如何看待“万无一失"这一成语呢？探究：从数学的角度，虽然“万无一失”,但是第一万零一次就失败了呢？尽管是“亿无一失”，但十亿次、百亿次后出现失误的可能性还是有的。因此“万无一失”只能说出现失败的可能性很小，其含义绝对不能和“有绝对把握”画等号.在概率论中我们常把发生概率很小的事件称为“小概率事件”，因此“万无一失”这一成语在某种意义上可以看作发生失误是小概率事件。问题3：多大概率是“小概率”？如何看待“小概率事件”?多大概率是“小概率”这是因人、因事、因地而定的，没有统一的衡量标准。中国古代军事学有“六十庙算”的说法.意思是说只要有六成把握就应攻打，实际上就把0.4看成了小概率.我们平时做一件事经常说“十拿九稳”,即成功的概率为0.9，失败的概率为0。1，这里我们把失败的概率0。1看成了小概率。但是不可一概而论，比如一台设备有1000个零件是很常见的，假设每个零件的合格率为0。999，而且其中一个零件失效，则整套设备就不能正常工作，则按照相互独立事件的概率计算，整套设备能正常工作的概率为0.9991000=0。368。这就意味着这台机器有的时间能正常工作，这样的机器如何能卖得出去.如果是发射宇宙飞船或航天飞机，涉及到零件和部件非常之多,其可靠性的要求必须非常严格，0。0001的次品率已经很高了，不再是小概率了。除此之外,事件发生的概率是不是小概率还与人的心理素质有关.比如，有的人觉得自己买福利彩票一定会中大奖(中奖率为几十万分之一），却绝对不会出车祸（概率约为五万分之一)。确实，如何看待小概率事件是人们处理工作和生活问题必备的科学素质.完全忽视小概率事件，会因麻痹大意而酿成大祸.例如美国“哥伦比亚号”航天飞机惨剧的发生,不断发生的交通事故以及工厂、矿山等发生的生产事故无不与忽视小概率事件有关。但也不必过分地害怕小概率事件，以致于谨小慎微，裹步不前，只要对具体的小概率事件作出具体的分析,科学的处理，就能在“十拿九稳”“万无一失"“绝对把握"之间作出正确的抉择.精题精讲例1．同时掷两个骰子，计算:（1）一共有多少种不同的结果？(2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？思路解析将两个骰子掷一次,它出现的点数有（1，1)、(1，2)、（1，3）、（1，4）、(1，5)、(1，6)、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2,5)、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3)、（3，4）、（3，5)、…、(6，5）、（6，6)这36种结果，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算。答案：（1）掷一个骰子的结果有6种。我们把两个骰子标上记号1、2以便区分，由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对,组成同时掷两个骰子的一个结果，因此同时掷两个骰子的结果共有36种.（2）在上面的所有结果中,向上的点数之和为5的结果有（1，4）、（2，3）、（3,2)、（4，1），其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果。(3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上的点数之和为5的结果（记为事件A）有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得P(A)==。绿色通道计算这种概率一般要遵循这样的步骤：①算出基本事件的总个数n;②算出事件A中包含的基本事件的个数m；③算出事件A的概率，即P（A)=。应注意这种结果必须是等可能的.黑色陷阱类似于（1，2）和（2,1)这样的结果是不同的基本事件，是有区别的,不要以为是同一个事件，要注意加以区分。例2．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中有3只白球，2只黑球。从中摸出两只球，求下列事件发生的概率。（1）事件A：摸出的两只球都是白球；(2）事件B:取出的两只球一只是白球，一只是黑球。思路解析首先列举出所有可能的基本事件,列出所求事件包含的基本事件，再根据古典概型的概率公式进行计算.答案：分别记白球为1、2、3，黑球为4、5，从中摸出2只球有如下基本事件：（摸到1、2号球用（1,2）表示）（1，2），（1,3），（1，4），（1，5），（2,3），（2，4），（2,5），（3，4),（3，5），(4，5)。因此，共有10个基本事件。上述10个基本事件发生的可能性相同.（1)“摸出的两只球都是白球”包含3个基本事件:（1，2)，（1，3），(2，3)。故P(A）=.(2）“摸出的两只球一只是白球，一只是黑球”包含6个基本事件:(1，4），（1，5），(2，4），（2，5），(3，4)，（3，5）.故P（B）==.例3．假设人的某一特征（如眼睛大小)是由他的一对基因所决定的，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd基因的人为混合性。纯显性与混合性的人都表露显性基因决定的某一特征,孩子从父母身上各得到1个基因，假定父母都是混合性,问：（1）1个孩子有显性基因决定的特征的概率是多少?(2)2个孩子中至少有一个有显性基因决定的特征的概率是多少？思路解析列举出基因组合的所有可能及其发生的概率,它满足几何概型的特征，按几何概型的概率公式计算即可.答案:孩子的一对基因为dd、rr、rd的概率分别为、、，孩子有显性基因决定的特征是具有dd、rd基因，所以（1)1个孩子有显性基因决定的特征的概率为+＝.(2）因为2个孩子如果都不具有显性基因决定的特征，即2个孩子都具有rr基因的纯隐性特征，其概率为×=，所以2个孩子中至少有一个显性基因决定的特征的概率为1－＝.例4．甲、乙两人做掷骰子游戏，两人各掷一次，谁掷得的点数多谁就取胜,求甲取胜的概率。思路解析首先列举出所有可能的基本事件，列出所求事件包含的基本事件，再根据古典概型的概率公式进行计算.答案：解法一：甲将骰子抛掷一次，出现的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，对甲掷得的每个结果，乙又掷得点数分别为1、2、3、4、5、6这6种结果，于是共有6×6=36种不同的结果.把甲掷得i点，乙掷得j点（1≤i，j≤6）记为（i，j).事件“甲取胜”包含下列15种结果：（2，1）,（3，1），（3，2），(4，1），(4，2）,（4，3），（5，1）,（5，2）,（5，3)，（5，4)，(6,1），（6，2),（6，3)，（6，4),（6,5