数学例题与探究第三章§导数在实际问题中的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精高手支招3综合探究1.利用导数解决优化问题的方法和基本思路方法：通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质，提出优化方案,使问题得到解决。在这个过程中,导数往往是一个有利的工具。基本思路：建立数学模型。2.最值和极值的区别与联系(1）最值是个整体概念,而极值是个局部概念；(2）从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不一定唯一；（3）极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得,有极值时未必有最值,有最值时未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.3。求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m，n］上的最大值或最小值的步骤可按以下步骤:(1）求出二次函数f(x）=ax2+bx+c（a≠0)的导数f′（x)=2ax+b;(2）讨论二次函数f(x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间（m，n)内是否有极值点，即方程f′(x）=0的根x=是否在区间(m,n）内，确定二次函数f(x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间[m，n］上的最大值或最小值：①若方程f′（x)=0的根x=在区间（m，n)内,即m＜＜n，此时f（)必为二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间(m，n）内的最大值或最小值,再求出f（m）,f（n）的值，f()，f（m),f(n)中最大者和最小者分别为二次函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）在区间［m,n］上的最大值和最小值；②若方程f′(x）=0的根x=不在区间（m，n）内，即m≥或n≤时，此时二次函数f（x)=ax2+bx+c（a≠0）在区间(m，n)内是单调函数，只需求出f（m),f(n）的值，f(m),f（n)中最大者和最小者分别为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0）在区间［m，n]上的最大值和最小值。高手支招4典例精析【例1】当x∈(1,2)时,函数f（x）=恒大于正数a,试求函数y=lg（a2—a+3）的最小值.思路分析:欲求y=lg（a2—a+3）的最小值,则应知a2—a+3的最小值,于是必须确定a的取值范围，即必须先求函数f（x）=的最小值.解：y′=（)′=,当x∈(1，2）时,y′＜0,∴f(x)在(1,2)上单调递减，于是f（x)min=f（2）=.由题意知a的取值范围是a＜.∴y=lg（a2-a+3)=lg［(a）2+］,故当a=时，ymin=lg.【例2】已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/时,船在静水中的速度为v千米/时(8＜v≤v0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v=12千米/时时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少?思路分析:燃料费最省,实质是求函数的最小值.解:设每小时的燃料费为y1,比例系数为k(k＞0）,则y1=kv2，当v=12时,y1=720，∴720=k·122，得k=5.设全程燃料费为y,由题意y=y1·,∴y′=.令y′=0，∴v=16。∴当v≥16时,船的实际速度为16千米/时时,全程燃料费最省；当v＜16且实际速度∈(8,v]时，y′＜0，即y在(8,v]上为减函数，∴当实际速度为v＜16时，ymin=。综上,当v≥16时，实际速度为16千米/时时，全程燃料费最省，为32000元;当v＜16时，则实际速度为v时，全程燃料费最省,为.【例3】(2006福建高考，文21）已知f(x)是二次函数,不等式f(x)＜0的解集是（0,5)且f（x)在区间[—1,4］上的最大值是12。(1）求f(x)的解析式;（2)是否存在实数m，使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1）内有且只有两个不等的实数根？若存在,求出m的取值范围;若不存在，说明理由.思路分析:本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。解：（1）∵f（x)是二次函数，且f(x）＜0的解集是（0,5)，∴不妨设f(x)=ax（x—5)(a＞0）.f（x)的对称轴为x=2.5，经比较可知，-1和4当中—1离2.5较远,∴f(x)在区间［—1,4］上的最大值12在x=-1处取得,f(—1）=6a=12,∴a=2，∴f（x)=2x(x—5）=2x2-10x（x∈R).（2)由f（x）+=0,即2x2-10x+=0,即2x3—10x2+37=0（x≠0)。令h(x)=2x3-10x2+37，则h′（x)=6x2—20x=2x(3x-10）,当x∈（，+∞)时，h′（x）＞0,h（x)是增函数，当x∈(0，）时,h′(x）＜0，h(x）是减函数,当x∈(—∞,0）时，h′(x）＞0,h(x）是增函数,∴x=0是h(x)的极大值点，x=是h(x)的极小值点.∵h（4）=5＞0,h()=＜0，h(3)=1＞0，h（-1）=25＞0,h(—2)=-19＜0,∴方程h(x）=0在区间（-2，-1)，（3,），（,4)内分别有唯一实根,∴存在唯一的自然数m=3，使得方程f(x）+=0在区间(m，m+1）内有且只有两个不同的实数根。【例4】(2006福建高考,理19)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升)关于行驶速度x（千米/小时)的函数解析式可以表示为：y=x+8(0＜x≤120）。已知甲、乙两地相距100千米.（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?（2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升？思路分析:本题所涉及的“耗油最少”的问题实际上就是求函数最小值的问题,利用相关的导数知识即可解决.解：(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了=2。5（小时)，要耗油（×403-×40+8）×2.5=17.5(升).答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.（2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=（x3-x+8）·=x2+-（0＜x≤120)h′(x）=（0＜x≤120）.令h′（x)=0得x=80.当x∈（0,80）时,h′(x)＜0,h(x）是减函数；当x∈(80,120)时,h′（x）＞0,h(x)是增函数。∴当x=80时,h（x）取到极小值h(80)=11。25。且h(120)=10+＞125.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.【例5】计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1,这个基本单元通常被称为比特(bit).为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于m,每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数.问题:现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域。(1)是不是r越小,磁盘的存储量越大?（2)r为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)？思路分析：由题意知，存储量=磁道数×每磁道的比特数，我们可以据此列出函数关系式，“磁盘具有最大存储量"的问题实际上就是求相应的磁盘存储量最大值的问题.解：设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达.所以,磁盘总存储量：f(r）=r(R-r）。(1）f（r）是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小,磁盘的存储量越大。（2）为求f(r）的最大值,计算f′（r）=0。f′(r）=（R-2r)，令f′（r）=0,解得r=.当r＜时，f′（r）＞0；当r＞时,f′（r）＜0。所以r=时,磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为。【例6】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0。8πr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0。2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm。问题:（1）瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大？(2）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？思路分析：这是一个利润最大值和最小值的问题,只要列出利润关于瓶子半径的函数表达式,然后求出其最大值即可.解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是:y=f（r）=0。2×πr3-0。8πr2=0。8π(-r2）,0＜r≤6。令f′（r)=0.8π（r2—2r)=0,解得r=2（r=0舍去)。当r∈（0，2）时,f′（r)＜0;当r∈(2,6)时,f′(r)＞0.当半径r＞2时,f′(r）＞0,它表示f（r）单调递增,即半径越大,利润越高;当半径r＜2时,f′（r)＜0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低.答：（1)半径为6cm时，利润最大；(2)半径为2cm时,利润最小，这时f（2)＜0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.【例7】(2007重庆高考,文20)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长，宽，高各为多少时,其体积最大？最大体积是多少？解:设长方体的宽为xm,则长为2xm，高为h==4.5-3x（m)（0＜x＜)。故长方体的体积为V（x）=2x2（4.5-3x)=9x2-6x3(m3)（0＜x＜）。从而V′（x）=18x—18x2=18x(1-x）。令V′(x)=0,解得x=0(舍去）或x=1.当0＜x＜1时,V′（x)＞0；当1＜x＜时,V′(x)＜0.故在x=1处V（x)取得极大值，并且这个极大值就是V（x)的最大值。从而最大体积V=V（1)=9×12-6×13=3（m3）,此时长方体的长为2m，高为1。5m。答：当长方体的长为2m,宽为1m,高为1.5m时，体积最大,最大体积为3m3。高手支招5思考发现1.求函数的最值与求函数的极值不同的是，在求最值时,不需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值,只需要将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.2.在实际问题中,会遇到开区间上或无穷区间上的函数。有时会遇到在区间内只有一个点使f′(