数学例题与探究：向量的分解与向量的坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1如果向量=i-2j，=i+mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值,使A、B、C三点共线.思路分析:考查平面向量共线的条件及其应用。转化为证明向量∥。解：依题意，知i=（1，0)，j=(0，1),则=（1，0）—2(0，1)=（1，—2），=（1，0)+m(0，1）=(1，m）。∵、共线，∴1×m—1×(-2)=0.∴m=-2。即当m=—2时，A、B、C三点共线。绿色通道:点共线问题通常化归为向量共线问题，坐标法实现了向量的代数化，运算时方便、简洁，因此坐标法是解决向量问题的重要方法.变式训练1（2005全国高考卷Ⅲ，理14)已知向量=(k，12)，=(4,5)，=（-k，10）,且A、B、C三点共线,则k=______________.思路解析:由于A、B、C三点共线,则∥,又=(4,5）—（k，12）=(4—k，-7）,=(4,5）-(—k，10）=(4+k,—5),所以有（4—k)(-5)-（4+k)(—7）=0，解得k=-.答案:-变式训练2已知向量a=(3,4），b=(sinα,cosα）,且a∥b,则tanα的值为()A。B.-C.D.—思路解析:根据两个向量平行的坐标表示，转化为同角三角函数之间的关系.因为a∥b，且a=(3，4),b=(sinα，cosα），所以3cosα=4sinα=0，则有3cosα=4sinα,显然cosα≠0。于是tanα==.答案:A变式训练3(2006山东临沂二模,理5）已知向量a=(8,x)，b=(x，1)，其中x＞0，若（a—2b）∥(2a+b），则x的值为(）A.4B。8C.0思路解析：利用向量共线的坐标表示得方程。∵(a-2b)=（8-2x,x—2)，（2a+b）=(16+x,x+1），∴（8—2x)(x+1)-(x—2)(16+x)=0.∴x=4或x=-5（舍去）。答案:A例2如图2—2—1所示,ABCD的两条对角线交于点M，且=a，=b，用a,b表示，,和.图2思路分析:考查平面向量基本定理及其应用.把,，和放入三角形，利用三角形法则或平行四边形来解决.解:∵=a+b，=a-b，∴=-=—（a+b）=—a-b，==(a-b）=a-b，==a+b,=-=-a+b。绿色通道：用已知向量（通常是向量基底)表示其他向量时,尽量把未知向量放入相关的三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则来解决。要培养画图意识，自觉应用数形结合的思想方法找到解题思路.变式训练4（2006安徽高考卷,理14)在ABCD中，=a，=b，=3，M为BC的中点，则=___________.（用a,b表示)思路解析：把向量放在△AMN中，利用三角形法则转化为其他向量的线性表示.如图2—2—2所示，由=3，得4=3AC，图2-2-2即==(a+b）.在△ABM中，=a+b,则==(a+b)-(a+b)=—a+b。答案:—a+b问题探究问题在几何中，我们经常遇到一个点把一条线段分成两部分,如果已经知道了两个端点的坐标，那么怎样用两个端点的坐标来表示这个分点的坐标就成为我们关心的问题.向量是解决几何问题的有效工具，能否用向量分析这一问题？导思:线段的两个端点和其上的一个点共线,由此转化为向量共线的问题。探究:在数学上,我们把分线段成两部分的点称为定比分点，当=λ时，称点P分有向线段AB的比为λ。∴+λ=0。∴()+λ()=0。∴=.如图2—2-3所示，如果在直角坐标系中，设O为坐标原点，P（x,y)，A（x1，y1）,B（x图2-2因为=λ，所以+λ=0，于是有(）+λ(）=0,即(1+λ）=+λ。所以=.则有（x，y)==（,）,即,所以P点的坐标为（,)。此公式就叫做线段的定比分点的坐标公式.特别是当λ=1，即点P是线段AB的中点时,点P的坐标为(,)，此坐标又称为线段的中点坐标公式。下面探讨其应用.典题精讲例1设△ABC的重心(三条中线的交点)为G，并且A(x1，y1），B（x2，y2）,C(x3，y3），求G的坐标。思路分析:求出BC中点坐标,再利用定比分点的坐标公式得G的坐标。解:设点G(x，y）,BC的中点为D，则由题意,得,则即∴G的坐标是（).上面的结论称为三角形重心坐标公式，可以作为结论直接应用。例2已知M(2,7）和A（6，3），若点P在直线MA上，且=,求点P的坐标。思路分析:有三种思路：利用定比分点的坐标公式，利用线段的长度关系,待定系数法.解法一：（利用定比分点的坐标公式）设P(x，y）,由定比分点坐标公式，得x==3，y==6,即P(3，6）。解法二:(利用两点间的距离公式）设P(x,y）,由题意得｜｜=4||，｜|=｜|。则有解方程组，得即P（3，6).解法三：设P（x,y）,则=(2-x，7-y）,=