数学例题与探究：从位移的合成到向量的加法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1下面给出了四个式子：①++；②+++；③-+—;④.其中值为0的是（）A。①②B.①③C.①③④D.①②③思路解析:++=+=0;+++=（+)+（+）=+=;—+-=+=0；==0。答案:C绿色通道：（1）解决向量的加减法的有关问题时，要结合几何图形的特征,善于应用+=和—=解决.(2)化简含有向量的关系式一般有两种方法：①利用几何方法通过作图实现化简；②利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.变式训练如图2-2-4，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD，E、F、G、H分别是AD、BC、AB与CD的中点,则等于(）图2-2—4A.+B.+C。D.思路解析：连结交于点M，则有==+=。答案：C例2用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.思路分析:要证四边形是平行四边形,只需证一组对边平行且相等。根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述.答案:已知：如图2-2-5所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O，且AO=OC,DO=OB.图2—2-5求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：根据向量加法的三角形法则，有=+,=+.又∵=，=,∴+=+。∴=.∴∥，=,即AB与DC平行且相等.∴四边形ABCD是平行四边形.绿色通道：用向量法解决应用问题的步骤为：(1）将应用问题中的量抽象成向量；（2）化归为向量问题，进行向量运算；（3)将向量问题还原为应用问题.变式训练一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船的实际速度.思路分析：可以用向量表示速度,然后用向量加法合成速度即可.解:如图2—2-6，设表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度，表示船的实际速度，图2—2—6则∠AOC=30°,｜｜=5km/h.∵四边形OACB为矩形，∴||=，｜|=，即水流速度是km/h，船的实际速度为10km/h.问题探究问题1已知向量a、b，试探索|a+b｜与｜a|+|b｜的大小.导思:利用向量加法的几何意义来分析.因为向量包含长度和方向，所以在比较向量长度的大小时，要考虑其方向.探究：（1)当a、b至少有一个为零向量时，有a+b=0+a或a+b=0+b，∴｜a+b｜=|0+a｜=|a|+|b|或｜a+b|=｜0+b|=|a|+|b|。∴｜a+b|=｜a|+|b|.（2）当a、b均为非零向量时，作=a，=b，则a+b=.图2-2—7若a、b不共线，如图2—2-7所示，则点O、A、B不共线，则点O、A、B构成△OAB。由三角形任意两边之和大于第三边得｜｜+||＞|｜。即｜a+b|＜｜a|+｜b|.若a、b同向共线时，如图2-2-8所示,图2-2-8则点O、A、B共线.此时｜|+｜|=｜|,即|a+b｜=｜a|+|b｜.当a、b异向共线时,如图2-2-9所示,图2—2-9则点O、A、B共线。此时如图2—2-9（甲）所示，有｜｜=|｜+|｜，则｜a|=|a+b｜+|b｜。如图2—2—9（乙）所示，有｜|+｜｜=||,则|a｜+｜a+b|=|b｜。∴｜a+b｜＜｜a|+|b|。综上所得，｜a+b|≤|a｜＋|b|。由本题还可得结论：｜a+b｜≥｜|a｜－｜b||.∴对于向量a、b，有如下结论：||a|－｜b｜｜≤|a+b｜≤|a｜＋|b|。下面看此结论的应用.例如：已知|a|=8，｜b｜=12,