新人教A版必修一 集合 教案

知识点一集合的基本概念

1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

2.元素与集合的关系:属于或不属于，表示符号分别为且和名

3.集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法.

易误提醒在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会

因为不满足“互异性”而导致解题错误.

［自测练习］

1.己知aWR,若{—1,0,1)=错误!，则a=。

解析：错误！WOMWO,a2^—\,只有a2=i.

当。=1时，错误！=1,不满足互异性,...a=-1。

答案：一1

知识点二集合间的基本关系

描述

文字语言符号语言

关系

子集A中任意一元素均为B中的元素AUB或B3A

集合间

A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少

的基本真子集A—B或BIA

有一个元素A中没有

关系

相等集合A与集合B中的所有元素都相同

必记结论若集合A中有“个元素，则其子集个数为2",真子集个数为2"—1,非空真

子集的个数为2"—2。

易误提醒易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身.

［自测练习］

2.已知集合4={xIx=a+(«2—1)i}(°GR,i是虚数单位)，若4GR,则a=()

A.1B.-IC.±1D.0

解析：AGR,.*.a2-l=0,a=±lo

答案：C

3.已知集合人={1,2,3,4},8={(x,y)|x6A,ydA,xy^A},则集合B的所有真

子集的个数为()

A.512B.256

C.255D.254

解析：由题意知当x=l时，)，可取1,2,3,4;当x=2时，y可取I,2;当x=3时,y可

取1;当x=4时,y可取1。综上，8中所含元素共有8个，所以其真子集有28—1=255个.选

C»

答案:c

知识点三集合的基本运算及性质

并集交集补集

•

图形表示

4n8={x1且XG

符号表示AUB={x|xJ或xWB}[〃A={x|xGU,且rA}

B}

AU0=4400=0

AUA=AAC\A=AAU")=U

性质AUB=BUAAQB=BnAAG([〃)=g

AUB=AAC\B=A[认[(/4)=A

O昨A

易误提醒运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心.

必记结论[u(4CB)=(CM)U(CUB),CU(AUB)=duA)C(CuB).

[自测练习]

4.(2015•广州一模)已知全集U=(1,2,3,4,5},集合M={3,4,5},N={1,2,5),则集

合{1,2}可以表示()

A.MCNB.([uA/)n2V

C.MQ([网D.

解析：MCN={5},A错误；CuM={l,2},(CuMDN={l,2},B正确;CuN={3,4},MO(C

uN尸{3,4},C错误；(CuM)C(1uN)=0,D错误.故选B.

答案：B

5.(2015・长春二模)已知集合尸={xIx20},Q=错误!，则PA([RQ)=()

A.(一8,2)B.(—8,—1]

C.(-1,0)D.[0,2]

解析:由题意可知0={x|xW-l或x〉2},则鼠。={XI-1〈xW2},所以2。(&。)=

{x|0WxW2}.故选D。

答案：D

KAODIANYANJIU..........

研考向»考点研究，强技提能

考点一集合的基本概念|目z声然界1

［题组训练］

1.已知集合5={x|3x+a=0},如果16S,那么“的值为()

A.—3B.—1

C.1D.3

解析：VIGS,：.3+a=Ofa=-3.

答案：A

2.设集合人={1,2,4},集合3={xI则集合8中的元素个数为()

A.4B.5

C.6D.7

解析：VaGA,b^A,x=a+b,：.x=2f3,4,5,6,8,，B中有6个元素，故选C。

答案:C

3.(2015•贵阳期末)已知全集U="如43MJ集合A是集合。的恰有两个元素的

子集，且满足下列三个条件：①若ai@A,则〃2£A；②若〃3初,则。2办；③若〃3^A,则〃4

建人则集合A=.(用列举法表示)

解析：若的£A,则则由若6住4则。可知，，假设不成立；若〃46A,

则的则〃2初，则〃1初，假设不成立，故集合A={〃2,的}.

答案：{〃2'的}

»规律方法

判断一个元素是某个集合元素的三种方法：列举法、特征元素法、数形结合法.

考点二集合间的基本关东及应用I品成赣需

［典题悟法］

奥例I(1)已知全集A={xeN*+2x-3W0},B={yIyQA},则集合B中元素的

个数为()

A.2B.3

C.4D.5

［解析］依题意得鼻={xENI(x+3)(x-l)W0}={xEN|-3WxWl}={0,1},共有

22=4个子集，因此集合8中元素的个数为4,选C。

［答案］C

(2)已知集合用=国一I⑵，N={xIx<a},若M=N,则实数a的取值范围是()

A.(2,+8)B.［2,+<»)

C.(—8,—1)D.<―°O,—1］

［解析］依题意，由MNN得a22,即所求的实数a的取值范围是［2,+°0),选B。

［答案］B

》规律方法

1.判断两集合的关系常有两种方法

(1)化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系.

(2)用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.

2.已知两集合间的关系求参数时的两个关键点

(1)将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.

(2)合理利用数轴、Venn图帮助分析.

［演练冲关］

1.(2015•辽宁五校联考)设集合P={xlx>l},Q={x4-x>0},则下列结论正确的是

()

A.PQQB.QQP

C.P=QD.PUQ=R

解析：由集合0={jcjjc2—x>0},知。={xlx<0或x〉I},所以选A.

答案：A

考点、三集合的基本运算|HCZUOSijfu

［典题悟法］

地2(1)(2015・高考全国卷II)已知集合4={-2,-1,0,1,2}.B={xI(x-l)(x

+2)〈0},则AClB=()

A.{-1,0}B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.{0,1,2)

［解析］由于B={x|-2〈x<l},所以4nB={-1,0}.故选A.

［答案］A

(2)(2015•郑州期末)已知函数式x)=错误!，集合4为函数/(x)的定义域，集合B为

函数/U)的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为.

［解析］本题考查函数的定义域、值域以及集合的表示.

要使函数/(x)=错误！有意义，

则2二'一1'0,解得xWO,

所以A=(-8,o］.

又函数段)=错误！的值域B=［0,+°°).

阴影部分用集合表示为骏UB(ACB)=(-8,0)U(0,+8).

［答案］(一8,0)U(0,+8)

»规律方法

集合运算问题的四种常见类型及解题策略

(1)离散型数集或抽象集合间的运算.常借助Venn图求解.

(2)连续型数集的运算.常借助数轴求解.

(3)已知集合的运算结果求集合.借助数轴或Venn图求解.

(4)根据集合运算求参数.先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解.

［演练冲关］

2.(2015・高考陕西卷)设集合{x|f=x},N={x|lgxWO}Ji!ljMUN=()

A.［0,1］B.(0,11

C.［0,1)D.(-oo,1］

解析：VAf={x|x2=x}={0,1},N={xIlgxW0}={xI0<xWl},.•.MUN={x|0WxWl},

故选A.

答案:A

考点0集合的创新问题|黑腮养

［典题悟法］

蛆3设集合A={1,2,3},8={2,3,4,5},定义AOB={(x,y)IxCACB,yGAUB},

则中元素的个数是()

A.7B.10

C.25D.52

［解析］AAB={2,3},AUB={1,2,3,4,5},由列举法可知AG)B={(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)},共有10个元素，故选B。

［答案］B

》规律方法

解决集合创新问题的三个策略

(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质.

(2)按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解.

［演练冲关］

3.设P和。是两个集合，定义集合尸一Q={x|xWP,且依Q},如果P={xIlogjxvl},

Q={川仅一2|〈1},那么P-Q=()

A.{x|0<x<1}B.{x|0〈xWl}

C.{x|lWx<2}D.{W3}

解析:由10g2X<l,

得0<x〈2,

所以P={xI0<x<2};

由小一2I<1,

得1〈x<3,

所以Q={x\l<x<3}.

由题意，得P-Q={x|0<x^l}.

答案：B

V易错防范系列|

±ICUOFANGFANXILIEI1o遗忘空集致误

【典例】设全集是实数集R,A={x|2^-7x+3<0},B={x|x2+a<0}.若（［RA）AB=

B,则实数a的取值范围是.

［解析］；4=错误！，，［延=错误！，当（［R4）CB=B时，即408=0。

①当B=0,即a20时，满足BG［R4；

②当BW。，即a<0时，

B={xI—\［—a<xa},

要使BQCRA,需尸W错误!，

解得一错误!Wa<0.

综上可得，实数”的取值范围是一错误!.

［答案］a》一:

［易误点评］由（RAnB=B知即ACB=0,又集合B中元素属性满足/+“<0,

当心0时8=0易忽视导致漏解.

［防范措施］（1）根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键

是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.（2）已知集合8,若已知AUB或ACB=。,则考生

很容易忽视A=0而造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论.

［跟踪练习］已知U=R,集合A={x*—x—2=0},B={xI〃?x+l=0},8。（［以）=0,

则m—.

解析：A={—I,2},B=0时，机=0;B={—1}时，/n=l;B={2}时，机=一错误！.

答案:0,1,一错误！

IGENZONGJIANCE

时»跟踪检测⑥查漏补缺

A组考点能力演练

1.集合。={0,1,2,3,4},4={1,2},B={xGZIf-5x+4<0},则Cu(AUB)

=()

A.{0,1,3,4}B.{L2,3}

C.{0,4}D.{0}

解析：因为集合8={xGZId—5x+4<0}={2,3},所以AU2={1,2,3),又全集

t/={0,1,2,3,4},所以[u(AU8)={0,4).所以选C.

答案：C

2.已知集合人={0,1,2,3,4),B={xlx=g,n&A},则ACB的真子集个数为

()

A.5B.6

C.7D.8

解析：由题意，得8={0,1,错误！，错误!,2},所以ADB={0,1,2},所以ACB的

真子集个数为23—1=7,故选C.

答案：C

3.(2015•太原一模)已知全集U=R,集合M={xl(x—l)(x+3)<0],N={x||x|Wl},

则阴影部分表示的集合是()

A.[-1,1)

B.(-3,1]

C.(—8,—3)U[―1,4-0°)

D.(—3,—1)

解析：由题意可知,M=错误！，N=错误！，，阴影部分表示的集合为时。(][;可)=错误！。

答案：D

4.集合A={4r—2<0},{xIx{a},若则实数。的取值范围是()

A.(―0°,—2]B.[—2,+°°)

C.(一8,2JD.[2,+8)

解析:由题意，得4={4犬<2}.又因为AnB=A,所以故选D。

答案：D

5.(2015・山西质检)集合A,8满足AU8={1,2},则不同的有序集合对(A,B)共有

()

A.4个B.7个

C.8个D.9个

解析：由题意可按集合A中的元素个数分类.易知集合{1,2}的子集有4个：0,{I},

{2},{1,2}.若)=0,则B={1,2};若4={1},则8={2}或8={1,2};若>={2},

则B={1}或8={1,2}：若A={1,2};则8=。或B={1}或B={2}或B={1,2}.综上所

述，不同的有序集合对(4,8)共有9个，故选D。

答案：D

6.(2015・广州模拟)设集合A={(x,y)I2x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=4},满足C

a(ACB)的集合c的个数为.

解析：依题意得，AClB={(8,-10)}，因此满足C=(ACB)的集合C的个数是2.

答案：2

7.设集合S“={1,2,3,…，〃},若XCS”，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若

X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0).若X的容量为

奇(偶)数，则称X为S.的奇(偶)子集，则S4的所有奇子集的容量之和为.

解析：：S4={1,2,3,4},，X=0,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,

3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4).其中是奇子集的

为X={1},{3},{1,3},其容量分别为1,3,3,所以S4的所有奇子集的容量之和为7。

答案：7

8.已知集合2={-1,m},。=错误！，若PCQW。，则整数根=。

解析：由{-1,相}C错误！r0,可得一1〈机〈错误!，由此可得整数，"=0。

答案：0

9.己知集合4={xpv2—2x—3W0},B—{xIx2—2/ra+w2—4<0,xGR,%GR).

(1)若408=。3],求实数，〃的值；

(2)若求实数，〃的取值范围.

解:由已知得A={xI-1WXW3},

B={x|〃?-2WxWm+2}.

(l)：AnB=[0,3],.,.错误！.•.w=2。

(2)[RB={x|x<〃?一2或x〉〃?+2},/.A£[RB,

2>3或〃?+2〈一1,即5或，“〈一3.

因此实数m的取值范围是{mIm)5或胆〈一3}.

10.设全集/=R,已知集合M={xI(x+3)2<0},N={x|/+x-6=0}.

(1)求(LM)CM

(2)记集合A=(C/M)nN,已知集合8={x|a-lWxW5—a,a@R},若BU4=A,求

实数a的取值范围.

解:⑴(x+3)2WO}={-3},

N=W+x—6=0}={-3,2},

：.[iM={xIxGR且xW-3},

...([MnN={2}.

（2）由（1）知A=（「M）AN={2},

'：AUB=A,：.B^A,.,.8=0或8={2},

当B=。时，a-l>5~a,：.a>3;

当B={2}时，错误！解得a=3,

综上所述，实数a的取值范围为{aI。23}.

B组高考题型专练

I.（2014.高考课标全国卷I）已知集合2={中2一—一340},B={x|-2Wx<2},则

ACB=（）

A.[—2,—1]B.[—1,2）

C.E-1,1]D.[1,2）

解析:由不等式