2023人教版新教材高中数学必修第一册同步练习-442 对数函数的图象和性质

2023人教版新教材高中数学必修第一册

4.4.2对数函数的图象和性质

基础过关练

题组一对数(型)函数的图象

1.(2020山西康杰中学期中)为了得到函数f(x)=log2x的图象，只需将函数

g(x)=log2^的图象()

O

A.向上平移3个单位长度

B.向下平移3个单位长度

C.向左平移3个单位长度

D.向右平移3个单位长度

2.(2020河南省实验中学期中)函数f(x)=lg(|x|-l)的图象大致是()

3.(2022福建厦门外国语学校月考)若函数f(x)二J的图象经过点(4,2),则函数

g(x)=log.击的图象大致是()

ABCD

4.(2022广东惠州惠阳中山中学质检)函数y=loga(2x-3)+8的图象恒过点P,P在

塞函数f(x)的图象上，则f(3)=.

5.(2021吉林长春外国语学校月考)已知函数丫=1。8“1+。+3的图象经过第二、

三、四象限，则实数a的取值范围为.

题组二对数函数的性质及其应用

6.(2021河北石家庄正定一中期中)函数f(x)=五7而的定义域是()

A.(0,e)B.(0,e]

C.[e,+°°)D.(e,+8)

7.(2022山西太原五中月考)设a=log54,b=logi1,c=0.5",则a,b,c的大小关系是

53

()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

8.函数f(x)=lo(x2-2x)的单调递增区间为()

g2l

A.(-°°,1)B.(2,+8)

C.So)D.(l,+8)

9.(2020湖南醴陵一中期中)若log0.5(m-D>log°.5(3-m),则m的取值范围

是.

10.函数f(x)=loga(x+V12+2a2)是奇函数,贝I]a=.

11.已知函数f(x)=lg(x+l),解不等式0<f(l-2x)-f(x)<l.

12.已知函数f(x)=log2

(1)求函数f(x)的定义域;

⑵判断函数f(x)的奇偶性;

(3)解不等式f(x)〈O.

题组三对数函数的最大(小)值与值域问题

2

13.(2021河北石家庄正定一中期中)函数f(x)=log2(x-2x+3)的值域为()

A.[0,+0°)B.[l,+8)

C.RD.[2,+8)

14.已知函数f(x)=logaX(a>0,且aWl)在[1,4]上的最大值与最小值的和是2,则a

的值为.

15.(2022安徽合肥六中月考)已知函数f(x)=m4-log;Ix(a>0,且aWl)的图象过点

⑼4)和(1,2).

⑴求函数f(x)的解析式；

⑵若f(x)的定义域为[1,81],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的

值.

16.(2021吉林长春外国语学校月考)已知函数f(x)=log&x2+2x+3).

⑴若f(1)=1,求函数f(x)的单调递增区间；

⑵若函数f(x)的最小值是0,求实数a的值；

(3)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.

题组四反函数

17.函数尸&)“与尸1。a*互为反函数,则a与b的关系是()

A.ab=lB.a+b=l

C.a=bD.a-b=l

18.在同一平面直角坐标系中，函数y=g(x)的图象与y二的图象关于直线y=x对

称,而函数尸f(x)的图象与y二g(x)的图象关于y轴对称,若f(m)=-l,则m的值是

()

11

A._eB.--C.eD.-

ee

19.已知函数f(x)=log2x的反函数为g(x),则y=g(l-x)的图象大致为()

能力提升练

题组一对数函数的图象

x-2

1.已知函数y=a+loga（x-1）+3（a>0且a#=l）的图象过定点P,点P在己函数f（x）

的图象上，则f（4）=（）

A.17B.16C.15D.14

2.函数尸弊的图象大致是（）

\x\

3.（2022河南南阳一中月考）已知（9皿=1083叫3n=log铲Q）”log卢则m,n,k的大

小关系是（）

A.m>n>kB.m<n<k

C.n<m<kD.n<k<m

4.（多选）（2020山东荷泽期末）对数函数y=logax（a>0且aWl）与二次函数

y二（a-l）x2-x在同一坐标系内的图象不可能是（）

D

题组二对数函数单调性的应用

5.(2022北京大学附属实验学校期中)已知a=log2e,b=ln2,c=logi|,则a,b,c的

23

大小关系为()

A.a>b>cB,b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

6.(2020福建厦门外国语学校期中)已知函数代幻二1。83(1金)，若£«)在(-8,2]

上为减函数,则实数a的取值范围为()

A.(0,+8)B.(0,

C.(1,2)D.(-oo,0)

7.(多选)已知函数f(x)=log2(mx2+4x+8),mER,则下列说法正确的是()

A.若函数f(x)的定义域为(-8,+8),则m的取值范围是C，+8)

B.若函数f(x)的值域为⑵+8),则m=2

C.若函数f(x)在区间[-3,+8)上为增函数,则m的取值范围是G，|]

D.若m=0,则f(x)<15的解集为卜[x<-|]

8.已知函数£6)二｛%『2+：；0]<、<1，(3>0,*1)在定义域内单调递减，若

|f(2m)|>f(a),求实数m的取值范围.

x

9.已知函数f(x)=loga(a-l)(a>0,且a#=l).

⑴当W时,求函数f(x)的定义域；

⑵当a>l时,求关于x的不等式f(x)<f(l)的解集；

⑶当a=2时,若不等式f(x)Tog2(1+2、)>m对任意实数x£[1,3]恒成立,求实数m

的取值范围.

题组三对数函数的最大(小)值与值域问题

10.(2020山东泰安期末)若函数f(x)=｛瑟1在(-8,可上的最大值为

4,则a的取值范围为()

A.[0,17]B.(―8,17]

C.[1,17]D.[l,+oo)

11.(2022四川成都七中期中)已知函数f(x)=ln(ax2+2ax+l)的定义域为R.

⑴求a的取值范围；

⑵若aWO,函数f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值的和为0,求实数a的值.

12.(2022广东八校期中)设f(x)=log[上号为奇函数,a为常数.

2人工

(1)求a的值；

⑵证明：f(X)在(1,+8)内单调递增；

⑶若对于任意XE[3,4],不等式f(x)吗)*+m恒成立,求实数m的取值范围.

题组四对数函数的综合运用

13.已知函数f(x)=ln(x+V^TT)+l,若实数a满足f(-a)=2,则f(a)等于()

A.1B.0C.-1D.-2

14.(多选)(2022广东惠州惠阳中山中学质检)已知a>b>l>c>0,则()

A.—>-^-

a-cb-c

B.logc(a-c)>logc(b-c)

C.(a-c)c-,<(b-c)c-1

D.(l-c)a-c<(l-c)b-c

15.已知函数f(x)=|1gx|+2,若实数a,b满足b>a>0,且f(a)=f(b),则a+2b的取

值范围是.

16.(2022广东广州一中期中)已知f(x)41；1^。L若f(a)=f(b),贝壮+：

l-l+Inx,X>1,ab

的最小值为

答案全解全析

基础过关练

1.Ag(x)=1og^=logx-log8=logx-3,所以只需将函数g(x)=logz怖的图象向上平

2O222O

移3个单位长度，即可得到函数f(x)=log2X的图象，故选A.

2.B解法一：由题可知，当x>0时,f(x)=lg(x-l),其图象可由函数y二lgx的图

象向右平移1个单位长度得到;当x<0象f(x)=lg(-x-l)=Lg[-(x+l)],其图象可

由函数y=lgx的图象先关于y轴做翻折变换,再向左平移1个单位长度得到,结

合选项可知B正确.故选B.

解法二：易知£&)的定义域为(-8,—1)u(l,+oo),

又f(-x)=lg(|-x|T)=lg(|x|-l)=f(x),所以f(x)是偶函数，因此C,D错误.当x>0

时，f(x)=lg(x-l),是(1,+8)上的增函数,故选B.

3.D由题意可知f(4)=2,即a3=2,所以a二好.

所以g(x)=log3^—=-log3^(x+l),

易知函数g(x)的定义域为(-1,-8),且函数g(x)在定义域内单调递减,故选D.

解题模板函数图象的辨识可从以下方面入手:根据函数的定义域判断图象的左

右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置;根据函数的单调性,判断图象的变

化趋势;根据函数的奇偶性,判断图象的对称性;根据函数的特征点，排除不符合

要求的图象.

4.答案27

解析对于函数y=loga(2x-3)+8,令2x-3=l,解得x=2,此时y=8,

因此函数y=loga(2x-3)+8的图象恒过点P(2,8).

设基函数f(x)=xa,VP在基函数f(x)的图象上，

・・・8二2a，解得a=3,因此f(x)=x\

Af(3)=3=27.

5.答案&1)

z1\fO<a<1,

解析•・•函数尸10即(％+。+：)的图象经过第二、三、四象限，・•・0+工>1解

I。十2：，

W-1<a<l.

6.B要使函数f(x)二布菽有意义，需满足-°,解得(KxWe.

因此函数的定义域为(0,e],故选B.

二

7.B-0.5-°2=0皂212°二1,

b=1ogi-log53<log54=a<1,

s3

所以b<a<c,故选B.

8.C解不等式X2-2X>0,可得x<0或x>2,

所以函数f(x)的定义域为(-8,O)U(2,+8).

易知u=x2-2x在区间(-8,0)上为减函数,在区间(2,+8)上为增函数，

y=logiu在(0,+8)上为减函数，

2

由复合函数的单调性可知，函数f(x)=logz(x2-2x)的单调递增区间为(-8,0).故

2

选C.

9.答案(1,2)

解析Vy=log0,5x是定义域内的减函数，

m-l>0,

.*•logo.5(m-l)>logo,5(3-m)«3~m>0,

m-l<3-m,

m>1,

即m<3,.\l<m<2,即m的取值范围是(1,2).

,m<2,

10.答案y

解析易知函数f(x)的定义域为R,♦・・f(x)为奇函数，・・・f(0)=0,即log,或滔二0,

/.V2a2=l,又a>0,.'.a二孝.

经验证，当时，f(x)为奇函数，

1L解析不等式0<f(1-2x)-f(x)<l即0<lg(2-2x)Tg(x+l)

2-2%

二

lgX+1<1,

2-2x>0,

所以x+1>0,解得q<xg

22%

1<<10,

x+1

故不等式的解集为

12.解析⑴要使函数f(X)=Iog2?有意义,需满足F>0,解得即函数的

定义域为(T,D.

⑵由(1)知，函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称，对任意xG(-l,l),都有

f(-X)=1Og2^=-1Og2^=-f(x),

1-x1+x

故函数f(x)为奇函数.

(3)f(x)=log2^log2(^-l),

易知—7在(-1,1)上单调递减,且t>0,

x+1

又y=log2t在(0,+8)上单调递增，

所以f(x)在上单调递减.

不等式f(x)<0即log2尹<log2】,

1+x

所以0<弃<1解得0<x<l,

1+x

故不等式f(x)<0的解集为(0,1).

13.BVX-2X+3=(X-1)2+2^2,

2

/.f(x)=log2(X-2X+3)^log22=l,

因此,函数f(x)的值域是［1,+8),故选B.

14.答案2

解析①当a>l时，f(x)=logax在(0,+8)上为增函数，

所以f(x)=logaX在［1,4］上的最大值为loga4,最小值为1oga1=0,所以loga4+0=2,

解得"2;

②当0<a<l时，f(x)=logaX在(0,+8)上为减函数，

所以f(x)=logax在［1,4］上的最大值为1oga1=0,最小值为loga4,所以0+loga4=2,

所以a=2(舍去).

综上，a=2.

解后反思本题中函数f(x)=logax是单调函数,故其最大值与最小值分别在区间

端点处取得,可直接得logal+loga4=2,进而求得a的值.

15.解析⑴由题意得鬻;‘所以

(2=m4-logal,la=3.

所以f(x)=2+log3x(x>0).

2222

(2)由⑴知y=［f(x)］+f(X)=(2+log3x)+2+log3x=(24-

222

log3x)+2+21og3x=(log3x)+61og3x+6=(log3x+3)-3.

因为函数f(x)的定义域为［1,81］,

所以要使函数y=［f(x)］2+f(x2)有意义，

需满足｛:S所以1WxW9,所以0Wlog3xW2,

所以当log3x=2,即x=9时，y取得最大值，且y皿=22.

所以函数y=[f(x)]M(x2)的最大值为22,y取最大值时x的值为9.

16.解析⑴•・•£⑴=1,，log4(a+5)=l,.•.a+5=4,

2

即a=-l,Af(x)=log4(-x+2x+3),

由-X2+2X+3>0,

解得-1<X<3,

・・・f(x)的定义域为(T,3).

•/函数t=-x2+2x+3在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减，

而y=logjt是定义域上的增函数，

・・・函数f(x)的单调递增区间为1-1,1).

2

(2)V函数f(x)=log4(ax+2x+3)的最小值为0,

・•・函数t=ax2+2x+3有最小值1,

Q>0,1

A12a-4_解得

Ik=L2

2

(3)V函数f(x)=log4(ax+2x+3)的值域为R,

，函数t=ax2+2x+3能够取到大于0的所有实数，

则a=°或愎*

17.A由函数y=(工)与y=logbx互为反函数得工二b,故ab=l,故选A.

\a/a

18.B・.,函数y=g(x)的图象与y二ex的图象关于直线y=x而称函数y=g(x)与

y=e，互为反函数,则g(x)=lnx,又函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对

称,・'・f(x)=ln(-x),•・•£(ni)=-l,.=In(一01)二一1,解得m二一三,故选B.

e

19.C由题意可得g(x)=21则g(-x)=27由复合函数的单调性可知尸g(一x)在

R上单调递减,故排除A,B;当x=l时,g(0)=2』,故排除D.故选C.

能力提升练

x-2

1.B在函数y=a+loga(x-l)+3中，令x=2,得y=4,

x-2

所以函数y=a+loga(x-l)+3(a>0且aWl)的图象过定点P(2,4),

设基函数f(x)=xa,因为点P在塞函数f(x)=xa的图象上,所以20=4,解得a=2,

所以f(x)=x；因此f(4M16,故选B.

解题模板解决函数图象过定点问题,应从定值入手,如a°=l,logbl=0,由此确定

定点坐标.

2.B当x>0时,y-xln|x|-lnx,排除C,D;

|x|

当x<0时,y-刖-二-ln(-x),又y=Tn(-X)与y=lnx的图象关于原点对称,故选B.

\x\

x

3.D在同一平面直角坐标系中画出y=,y=log3x,y=3,y=logix的图象，如图

所示：

根据图象知n<k<m.故选D.

4.BCD对于选项A,B,由题中疝数函数的图象得a>l,则二次函数中二次项系数

a-l>0,其对应方程的两个根为0,白,选项A中，由图象得」;>1,从而l<a<2,选项A

可能;选项B中，由图象得二<0,与a>l相矛盾,选项B不可能.

对于选项c,D,由题中对数函数的图象得0<a<l,则a-l<0,二次函数图象开口向

下,D不可能;选项C中，由图象与x轴的交点的位置得白刀,与0<a〈l相矛盾,选

项c不可能.

故选BCD.

解题模板确定含参数的函数的图象,要分析函数中参数的几何意义,对各个选

项逐一进行判断.对于二次函数，要从图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点位

置等方面进行分析.

5.Da=loge>log2=l,0<b=ln2<lne=l,c=logi—log3>log2e=a,

22232

所以a,b,c的大小关系为c>a>b,故选D.

6.B设y=log3u,u=l-ax.

由f(x)在(-8,2]上为减函数,且y=log3u是增函数知,U=l-ax是减函数，

/.-a<0,即a>0.

由l-ax>0得ax<l,

又a>0,/.x<-,

a

即f(x)的定义域为(-8,1),

•••(-o°,2]q(一8,

结合a>0,得(Ka],

因此a的取值范围是(0,0,故选B.

易错警示求含对数函数的复合函数的单调性时，既要考虑到内、外两层函数的

单调性,还要考虑到函数的定义域,即单调区间是函数定义域的子集,要防止因忽

略定义域导致解题错误.

7.AC对于A,由题意知mx2+4x-8>0对任意x£R恒成立，

当m=0时，不等式4x+8>0不恒成立,所以mWO,

当mWO时,有{；:：6-32加<0,解得"4所以A正确；

对于B,若函数f(x)的值域为［2,+8),则f(x)min=2,显然m不为0,由y二于g2t在

(0,+8)上单调递增可知,若f(x)可取到最小值2,则m>0,且函数y=mx2+4x+8的最

小值为4,

当X二-2时，y.i„=m(--)+4X(--)+8=4,解得m=l,所以B错误；

对于C,若函数f(x)在区间［-3,+8)上为增函数，则y=mx2+4x+8在［-3,+8)上为增

函数,且在［-3,+8)内的函数值为正，

m>0,

彳工一3,解得和<|,所以C正确；

{mx(-3)2+4x(-3)+8>0,

对于D,若m=0,则不等式f(x)<15即log2(4x+8)<15,

则0<4x+8<2,b,解得-2<x<2以2,所以D不正确.

故选AC.

8.解析由函数f(x)在定义域内单调递减,

可知。<1，即<1,

由得2nle2,故f(2m)=-2m+2,

由0<a<l得f(a)=logaa+m=l+m,

|f(2m)|>f(a)=|-2m+21>m+l,

又m21,・2m+2WO,

・・・2m-2>m+l,解得m>3,

故m的取值范围是(3,+8).

9.解析(1)当时，f(x)=logi(^-1),故表T>0,解得x<0,

故函数f(x)的定义域为(-8,0).

(2)由题意知,f(x)=loga(a'T)(a>l),其定义域为(0,+8),易知f(x)为(0,+8)

上的增函数，

由f(x)〈f(1)得｛：J，，不等式的解集为(0,1).

⑶设g(x)=f(x)-log2(1+2X)=log277-7,xw［1,3］,

2X+1

设t若卜1-芸7,易知t=1一高为增函数,又y=log2t为定义域内的增函数，・・・g(x)

2人+12A+12A+1

在［1,3］上单调递增，故g(x)min=g(l)=logA

x

Vf(x)-log2(l+2)>m对任意实数xE［l,3］恒成立，

.\m<g(x)min=log2i即mef-oo,log2^).

10.C易知fi(x)=2'+2在(-8,1］上单调递增，f2(x)=log2(x-l)^E(l,+8)上单调

递增.作出f(x)的大致图象,如图所示.

由图可知，f(l)=4,f(17)=4,所以a的取值范围为[1,17].

11.解析(1):函数f(x)=ln(ax2+2ax+l)的定义域为R,

/.ax2+2ax+l>0对任意x£R恒成立，

当a=0时，可得1>0,满足题意；

当aWO时，要使ax2+2ax+l>0本任意xWR恒成立，

则好儿,八解得0<a〈l.

(4=4az-4a<0,

综上可得,a的取值范围是［0,1).

(2)由(1)及题意知0<a<l.

令u=ax2+2ax+l,

易知尸Inu是定义域内的增函数，

函数u=ax?+2ax+l(O〈a<l)在［-2,T)上单调递减,在(T,1］上单调递增，故f(x)在

［-2,-1)上单调递减,在(T,1］上单调递增，

:.f(x)max=f(l)=ln(3a+l),f(x)min=f(-l)=ln(l-a),

・・・f(x)在［-2,1］上的最大值与最小值的和为0,

AIn(3a+l)+ln(1-a)=0,B|Jln［(3a+l)(l-a)］=O,

可得(3a+l)(1-a)=l,解得a=0(舍去)或a=|,

故实数a的值为右

12.解析⑴Yf(x)是奇函数，(-x)=-f(x),

Alogi—=-lo—,,故l-a2x2=l-x2,解得a=±l.

2-x-1g2l-x-11-ax

经检验a=l不符合题意，，a=-1.

(2)证明：由⑴知f(x)=log工三,任取Xi,X2《(1,+°°),且x2<xb则

x-l>x2-l>0,A0<—<—,AO<1+—<1+—,即0<卫<2,

xt-lx2-l%厂1x2-lxt-lx2-l

・・・hgL笔>log工笞，即f(XI))f(x，，・・・f(x)在(l,+8)内单调递增.

212421

(3)若对任意x£[3,4],不等式f(x)>0+m恒成立,则f(x)>m在x£[3,4]

上恒成立，

令g(x)=f(x)-G),X£