2020-2021学年人教A版数学选修1-2单元素养评价 第一章 统计案例

单元素养评价（-）

（第一章）

（120分钟150分）

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.在对两个变量x,y进行线性回归分析时一,有下列步骤：

①对所求出的回归直线方程作出解释；

②收集数据（x”yj,i=l,2,•••,n;

③求线性回归方程；

④求相关系数；

⑤根据所搜集的数据绘制散点图.

如果根据可行性要求能够作出变量x,y具有线性相关的结论,则在下列

操作顺序中正确的是（）

A.①②⑤③④B.③②④⑤①

C.②④③①⑤D.②⑤④③①

【解析】选D.对两个变量进行回归分析时，首先收集数据

（x“yj,i=l,2,…，n;根据所搜集的数据绘制散点图.观察散点图的形

状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依

据所求出的回归直线方程作出解释.故正确顺序是②⑤④③①.

2.下列变量是相关关系的是（）

A.正方体的棱长和体积

B•角的弧度数和它的正弦值

C.日照时间与水稻的亩产量

D.人的身高与视力

【解析】选C.A、B均为一种确定性关系（函数关系），而D为互不相关

的.

3.调查男女学生购买食品时是否看出厂日期与性别有无关系时一，最有

说服力的是（）

A.期望B,方差

C.正态分布D.独立性检验

【解析】选D.要判断两个事件是否相关时，用独立性检验.

4.下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据，由此判断它最可

能是（）

X45678910

y14181920232528

A.线性函数模型B.二次函数模型

C.指数函数模型D.对数函数模型

【解析】选A.画出散点图（图略）可以得到这些样本点在某一条直线上

或该直线附近，故最可能是线性函数模型.

5.某高校《统计》课程的教师随机给出了选修该课程的一些情况,具体

数据如表：

选修该课程未选修该课程总计

男131023

女72027

总计203050

为了判断选修该课程是否与性别有关,根据表中数据，得k-4.844.因

为k>3.841,所以可以判断选修该课程与性别有关.那么这种判断出错

的可能性不超过（）

A.5%B.95%C.1%D.99%

【解析】选A.若k>3.841,说明在犯错误的概率不超过0.05的前提下

认为选修该课程与性别有关，也就是选修该课程与性别有关出错的可

能性不超过5%.

6.以下关于线性回归的判断,正确的个数是（）

•・B・C

•••••・

"dlx

①若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线；

②散点图中绝大多数点都线性相关,个别特殊点不影响线性回归，如图

中的A,B,C点；

③已知直线方程为产0.50x-0.81,则x=25时，y的估计值为11.69;

④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势.

A.0B.1C.2D.3

【解析】选D.能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而根据回归

直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a,方得到的直线产汰+3才

是回归直线，所以①不对；②正确；将x=25代入产0.50x-0.81,得

产11.69,所以③正确；④正确.

7.为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民

点抽取了100位居民进行调查,经过计算K2Po.99,根据这一数据分析,

下列说法正确的是（）

A.有99%的人认为该电视栏目优秀

B.有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系

C.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该电视栏目是否优秀与改

革有关系

D.没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系

【解析】选D.只有635时才能在犯错误的概率不超过0.01的前

提下认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，而即使Y26.635也只是

对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小

的推论，与是否有99%的人等无关.

8.某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（单位:千元）与

居民人均消费水平y（单位:千元）统计调查,y与x具有线性相关关系，

回归方程为产0.66x+l.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元,

估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）

A.83%B.72%C.67%D.66%

【解析】选A.将y=7.675代人回归方程，可计算得x处9.26,所以该城

市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.6754-9.26^0.83,即约

为83%.

9.2018年，国际权威机构IDC发布的全球手机销售报告显示:华为突破

2亿台出货量超越苹果的出货量,首次成为全球第二.华为业务CEO余

承东明确表示，华为的目标，就是在2021年前，成为全球最大的手机厂

商.为了解华为手机和苹果手机使用的情况是否和消费者的性别有关,

对100名华为手机使用者和苹果手机使用者进行统计,统计结果如表：

机品牌

华为苹果合计

性别

男301545

女451055

介计7525100

根据表格判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用哪种

品牌手机与性别有关系，则下列结论正确的是()

2

附:K2=___________

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K^k0)0.100.050.0100.001

10.82

ko2.7063.8416.635

8

A.不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用哪款手机与性别

有关

B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用哪款手机与性别有关

C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用哪款手机与性别无关

D.以上都不对

【解析】选A.由表可知：a=30,b=15,c=45,d=10,n=100,

2

100X(30X10-15X45)

则K的观测值k二%3.030<3.841,

45X55X75X25

故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用哪款手机与性别

有关.

10.如图，5个(x,y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是()

y,£(10,12)

•0(3,10)

•C(4,5)

•B(2,4)

>1.3)

O------------------------------x

A.相关系数r变大

B.残差平方和变大

C.R?变大

D.解释变量x与预报变量y的相关性变强

【解析】选B.由散点图知，去掉D后，x,y的相关性变强，且为正相关，

所以r变大，R?变大，残差平方和变小.

11.根据一组样本数据(xi,y),区—。，…，区》)的散点图分析存在线

性相关关系，求得其线性回归方程为产0.85x-85.7,则在样本点(165,57)

处的残差为()

A.54.55B.2.45C.3.45D.111.55

【解析】选B.把x=165代入P=0.85x-85.7,得9=0.85X

165-85.7=54.55,57-54.55=2.45.

12.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的

关系，随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关

联的可能性最大的变量是（）

表1

成绩

性别、\不及格及格总计

男61420

女102232

总计163652

表2

视力

性别、\好差总计

男41620

女122032

总计163652

表3

\^智商

偏高正常总计

性别

男81220

女82432

总计163652

表4

卖量

丰富不丰富总计

性别

男14620

女23032

总计163652

A.成绩B.视力C.智商D.阅读量

【解析】选D.结合各列联表中数据，得(的观测值分别为k1,k2,k3,k4.

2

,,,52X(6X22-14X10)52X82

因为kF---------------二------------，

16X36X32X2016X36X32X20

52X(4X20-16X12)52X1122

k2--,

16X36X32X2016X36X32X20

52X(8X24-12X8)52X962

ks--,

16X36X32X2016X36X32X20

52X(14X30-6X2)52X4082

k4——,

16X36X32X2016X36X32X20

则k4>k2>k3>kb所以阅读量与性别有关联的可能性最大.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分,将答案填在题中的

横线上)

13.已知x与y的一组数据，

X135

y246

则有以下结论：

①x与y正相关;②x与y负相关；

③其回归方程为y=x+l;④其相关系数r=l.

其中正确的是.（填序号）

【解析】从数据看，随着x的增加，y增加，所以X与y正相关，①对，②

错.

答案:①③④

14.下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是.（填序

号）

①回归分析和独立性检验没有什么区别；

②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个

变量之间的不确定性关系；

③回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量

是否具有某种关系的一种检验；

④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系.

【解析】由回归分析、独立性检验的意义知，回归分析与独立性检验都

是研究两个变量之间的相关性，但方法与手段有所不同，研究角度不同,

由其意义知，③正确.

答案:③

15.为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药,跟踪调查后得下表中

的数据：

无效有效总计

男性患

153550

者

女性患64450

者

总计2179100

设H。:服用此药的效果与患者性别无关,则Y的观测值,从

而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能

性为.

【解析】由公式计算得(的观测值k七4.882,

因为k>3.841,所以有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有

关，从而有5%的可能性出错.

答案：4.8825%

16.已知x,y之间的一组数据如表，对于表中数据，甲、乙两同学给出的

111

拟合直线分别为叱产与/2：y=-x+?利用最小二乘法判断拟合程度

差的平方和为：

SF(1-^)2+(2-2)2+(3-3)2+(4-7)2+(5-y)2=|-用旷:3+^作为拟合

直线时，所得y的实际值与y的估计值的差的平方和为：

2

S2=(1-1)+(2-2)2+(3-1)2+(4-4)2+(5-32g.

11

因为'6,故用直线修尸9+，拟合程度更好.

11

答案：y=-x+—

22

三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤）

17.（10分）为考察某种药物治疗新冠病毒肺炎的效果，进行动物试验,

得到如下的列联表：

药物效果试验列联表

未患

患病总计

病

服用药104555

没有服用

203050

药

总计3075105

试用图形判断服用药与患病之间是否有关系.

【解析】相应的等高条形图如图所示：

1

0.9I------1未患病

0.8I------1患病

0.7

0.6

0.5

0.4

03

0.2

0.1

0

服用药没有服用药

从图形可以看出，服用药的样本中患病的比例明显低于没有服用药的

样本中患病的比例，因此可以认为：服用药和患病之间有关系.

18.（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽

多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日

的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资

3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.

⑴求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；

⑵若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至

12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程产钛+a；

⑶若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均

不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问⑵中所得的线

性回归方程是否可靠？

nn

.£xiyi-nxy.£（x「元）（y^-y）__

（注：------------；—，产歹一犹）

£xf-nx2工（Xi-x）

i=i1i=i1

［解析】（1）设抽到不相邻两组数据为事件A,因为从5组数据中选取2

组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组

数据的情况有4种.

43

所以P（A）=1—-二-.故选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是

105

3

5,

⑵由数据，求得运§(11+13+12)=12,方&(25+30+26)=27,3%产972.

33

£XiyniX25+13X30+12X26=977,E12+132+122=434,3%=432,

i=li=l1

n

ZXiyrnx-y977_9725__5

由公式，求得沪^---------------a=y-bx=27--X12=-3,

rx?-nx2434-4322」2

i=i1

所以y关于x的线性回归方程为>=-x-3.

2

（3）当x=10at,v=-X10-3=22,122-231<2；

2

同样，当x=8时，尸1义8-3=17,117-161<2.

2

所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的.

19.（12分）在国家未实施西部开发战略前,一新闻单位在应届大学毕业

生中随机抽取1000人问卷,只有80人志愿加入西部建设.而国家公布

实施西部开发战略后，随机抽取1200名应届大学毕业生问卷，有400

人志愿加入国家西部建设.

问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为实施西部开发战

略的公布对应届大学毕业生的选择产生了影响？

【解析】根据题意，列出2X2列联表：

志愿者非志愿者总计

开发战略公布前809201000

开发战略公布后4008001200

总计48017202200

由公式计算Y的观测值：

2200X（80X800-920X400）

k二-----------------------七205.22.

480X1720X1000X1200

因为205.22>10,828,因此在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为

实施西部开发战略的公布对应届大学毕业生的选择产生了影响.

20.（12分）某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去

50周的资料显示,该基地周光照量X（小时D都在30小时以上,其中不足

50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70

小时的有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量y（千克）与使用某种

液体肥料的质量x（千克）之间的关系如图所示.

1,/千克

5------------------------------•

4—_———<♦・

3------1

O24561”―克

依据上图,是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?请计算相关系数r

并加以说明（精确到0.01）.（若|1'|>0.75,则线性相关程度很高,可用线

性回归模型拟合）

.£（x厂元）（y厂9）

附:相关系数公式厂，

1n_21n2

J2（九句

JZ(xrx)

参考数据：VO73^O.55,VO79^O.95.

—3+4+4+44-5

【解析】由已知数据可得±=2+4+S+6+8=5­=4

55

5__

因为£(x-x)(yi-y)=(-3)X(-1)+0+0+0+3X1=6,

i=l

J1：j(%厂5)2=22

(-3)+(-1)+02+12+32=2V5,

J.^(yry)2=J(-l)2+02+02+02+好=72.

5

总5(%-歹)

所以相关系数r=-

6

.95.

2V5XV2

因为r>0.75,所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.

21.（12分）为了研究某种细菌随时间x变化的繁殖个数，收集数据如

表:

天数X123456

繁殖个数

612254995190

y

⑴作出这些数据的散点图；

⑵选择恰当函数模型,求出y对x的回归方程.

【解析】(1)作出散点图如图1所示.

繁殖个数

200•・

150-

100,

50­,

02468天数

图1

⑵由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y=ce”(c>0)的周围，则

Iny=bx+lnc.

令z=lny,a=lnc,贝Iz二bx+a.

X123456

Z1.792.483.223.894.555.25

相应的散点图如图2.

3-•

2.

1■

02468天数

图2

从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线

性回归方程来拟合.

由表中数据得到线性回归方程为"0.69x+1.115.

因此细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程为.i=e°-69x+1-115

22.（12分）为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生

和100名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果：

表1:男生上网时间与频数分布表

上网时[30,40[40,50[50,60[60,70[70,80

间（分）)