2021高中数学人教A版必修一（第三单元 函数的应用）章节练习试题（含详细解析）

2021年09月17日试卷

一、单选题（共20题；共0分）

1、（0分）已知函数/（x）=|/。930一1）|一（｛）“一1有2个不同的零点XI、X2,则

（）

Xx

A.%1,x2<1B.xx-%2=1+2

C.・%2>+x2D.•%2V+x2

2、（0分）函数〃>）=靖+%-2的零点所在的一个区间是（）

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

3、(0分)设函数f(x)=X3-X-2的零点为X。，则X。所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

4、(0分)函数f(x)=lnx一的零点所在的大致区间是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(e,3)

5、(0分)函数y=loga(x+1)+x2(0<a<l)的零点的个数为()

A.0B.1C.2D.无法确定

6、（0分）函数y=的图象与直线，i：y=小从左至右分别交于点4B,与直线%：y=

丁工•（m>0）从左至右分别交于点C,D.记线段4c和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,则的

2m+la

最小值为（）

A.81遮B.27HC.9bD.373

7、(0分)设函数/•(x)=1,YA1若/(%)恰有2个零点，则实数a的取值范围

141%十CLJ^X-rLCL),XN1

是（）

A•卜乙-,B.(-0),-2]U(-l,-1]

C.(-00,-1)D.[-2,+oo)

8、（0分）有一组实验数据如下表所示:

X12345

y1.55.913.424.137

下列所给函数模型较适合的是（)

A.y=logx(a>l)

aB.y=ax+b(a>1)

2

C.y=ax~+b(a>0)D.y=logax+b(a>l)

9、(0分)定义：对于一个定义域为0的函数f(x),若存在两条距离为d的直线y=依+"和

y=kx+m2,使得xCD时，恒有质+如<f(x)<依+如，则称/(%)在。内有一个宽度为d的

通道。下列函数：

①/(x)=x2(x>0)；②/'(x)=V4-%2；

③/竟1；@AX)=|(|X|>4).

其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为

A.①②B.②③C.②④D.②③④

10、(0分)已知函数八%)=[■]竽*5J，若始终存在实数b,使得函数g(x)=/(x)-b的零

点不唯一，贝la的取值范围是()

A.[2,4)B.(-8,2)C.(-co,4)D.(-00,4]

11、(0分)函数y=^^的大致图象是()

7x4-1

12、(0分)已知函数f(x)=eax'bx-1,其中a,beR,e为自然对数的底数，若

f(1)=0,f'(x)是f(x)的导函数，函数f'(x)在区间(0,1)内有两个零点，

则a的取值范围是()

9、

A.(e2-3,e2+l)B.(e--3,+8)

222

C.(-8,2e+2)D.(2e-6,2e+2)

13、(0分)若定义在R上的函数f(x)满足f(O)=-l,f(一、)＜其导函数

m-lm-1

f(x)满足f'(x)＞m,且当XG[-n,n]时，函数g(x)=-sin?x-(m+4)

cosx+4有两个不相同的零点，则实数m的取值范围是()

A.(-8,-8)

B.(-~,-8]U(0,1)

C.(-o°,-8]U[0,1]

D.(-8,1)

14、(0分)已知xi,X2是函数f(X)=e-X-IInx|的两个不同零点，则x1X2的

取值范围是()

A.(0,-)B.(-,1]「/[、D.(i,1)

eeC.(1,e)e

15、(0分)函数f(x)=lnx-＜的零点所在的大致区间是()

x

A.©,1)

B.(1,2)

C.(2D.(e,+8)

16、（0分）《九章算数》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”“今有竹九节，

下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，

下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升、且每一节容量变化均匀（即每节容量成等

差数列），问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为（）

17、（0分）在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小

5.依上述情形，所列关系式成立的是（）

11rB

A.—=---5-'=3+5C.—=8x-5D.—=8x+5

3x8x

18、（0分）定义区间（a,b）、［a,（a,b］、［a,b］的长度均为d=b-Q,用［%］表示不超过工的最

大整数，例如［3.2］=3,［-2.3］=-3.记｛%｝=%-印，设礴=［峨唾，5（x）=x-l,若用d

表示不等式/（%）vg（%）解集区间长度，则0工工工3当时有（）

A.d=1B.d=2C.d=3D.d=4

19、（0分）如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化

时间t（月）的近似函数关系：p=/（teo,GO且aWl）.有以下叙述①第4个月时，

I111

剩留量就会低于g；②每月减少的有害物质量都相等；③若剩留量为5'7'G所经过的时

间分别是4,2，，3，则，|+〃=，3.其中所有正确的叙述是

A.①②③B.①②C.①③D.②③

20、（0分）已知函数/（幻=尸：一2：。飞?），且函数y=f（x）-x恰有3个不同的零点,

I/（X—1乂％NU）

则实数a的取值范围是（）

A.(0,+8)B.[-1,0)C.[―1,4-00)D.[—2,4-oo)

二、填空题（共10题；共。分）

21、（0分）某市出租车按如下方法收费，起步价6元，可行3km（含3km）,3km到7km每

行驶1km加价1元（不足1km,按1km计算）,超过7km后每行驶1km加价0.8元，某人

坐出租车行驶了8.2km,他应交费_______________元.22、（0分）某城市出租车按如下方

法收费：起步价8元，可行3km（含3km）,3km到10km（含10km）每走1km加价1.5

元，10km后每走1km加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20km,他应交费

________________元・

23、（0分）定义在R上的函数/（x）满足/•（x+4）=f（x）,/（%）=［丁七+二ly｝若关于工

I—1%—Z|+1,1<XS3

的方程/（x）-ax=0有5个不同实根，则正实数a的取值范围是

24、（0分）若对定义在R上的函数f（x）,对任意两个不相等的实数x1（x2,都有XJ/CXJ）+

x2/（x2）>x1/（x2）+x2/（x1）,则称函数/（%）为““函数”，给出下列函数：①

弱=一/带嵬滞］；②y=3%-2(smx-cosx)；③y=e'+l；④/(%)=｛"：*：：°，以上函数

是“H函数”的所有序号为___________________.

25、(0分)设点和点N(%2，g(X2))分别是函数/(%)=蛾一1%2和。(%)=》一1图象

上的点，且30,%2>0，若直线MN〃工轴，则M,N两点间的距离的最小值为

26、(0分)已知数列｛斯｝中，%=1,n(an+1-an)=an+1,nWN*,若对任意的正整数n,存

在t€［l,3］,使不等式”<产+2就一1成立，则实数。的取值范围为.

L」n+1

27、(0分)函数设f(x)=y［7T3+~(a&R),若其定义域内不存在实数X,使得/(%)<

0,则a的取值范围是_____.

28、(0分)函数f(x)的定义域为D,若存在闭区间g,n］U。，使得函数满足：

(1)/(X)在［m,词上是单调函数；(2)/(%)在［血间上的值域为［2m,2n］,则称区间

［根,词为函数y=/Q)的“完美区间”.下列函数中存在“完美区间”的是_________(只需

填符合题意的函数序号).

①/(久)=%2；②/(%)=logix；③/(%)=ex；④/(%)=%--+3.

2X

29、(0分)定义新运算㊉：当aNb时，。㊉b=a；avb时，Q㊉b=b2,贝ij函数

/(x)=(1©%)%-(20%),%6［-2,2］的最大值等于____________.

2

30^(0分)已知函数/(%)=V2x—8x+13,且/(%。)=4,则x0=.

三、解答题(共5题；共。分)

31、(0分)已知函数f(x)=3x2,求方程f(x)=0在区间［-1,0］上实根的个

数.

32、(0分)已知函数/0)=石力.

(1)求/。)+((1-x)的值;

(2)若数列｛an｝满足即=/(0)+f(；)+/+•••+f(等)+f(l)(neN*),求数列｛即｝的通项公

式；

(3)若数列｛“｝满足bn=2%n，Sn是数列｛%｝的前n项和，是否存在正实数k,使不等式

MSn>3bn对于一切的n6N*恒成立？若存在，请求出k的取值范围：若不存在，请说明理

由.

33、(0分)(本题12分)某汽车厂有一条价值为。万元的汽车生产线，现要通过技术改

造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元

_a

与技术改造投入X万元之间满足：①y与(a-x)「d成正比；②当时，丁=。)并且

技术改造投入满足2(a-x)e(0'"，其中/为常数且/w(l,2］。

(1)求y=/(x)表达式及定义域；

(2)求出产品增加值的最大值及相应工的值。

34、(0分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，vl-

划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为％国,山区

边界曲线为修，计划修建的公路为货，如图所示，思吼篇为暧的两个端点，测得点翻■到

L，。的距离分别为5千米和40千米，点麴到I1,L的距离分别为20千米和2.5千米，

以奥,磊所在的直线分别为%解轴，建立平面直角坐标系屐螂，假设曲线超符合函数y=

岛(其中叫悬为常数)模型.

(1)求叫荔的值；

(2)设公路强与曲线遽相切于零点，铲的横坐标为整

①请写出公路厘长度的函数解析式f(t),并写出其定义域；

②当月为何值时，公路法的长度最短？求出最短长度.

35、（0分）甲、乙两城相距100觥微，在两城之间距甲城及觥飕处的丙地建一核电站给甲、

乙两城供电，为保证城市安全，核电站距两地的距离不少于10,输®I.已知各城供电费用

（元）与供电距离（.魁掰）的平方和供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是同

=0.25,若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月，

（1）把月供电总费用声（元）表示成匍（帝脚）的函数，并求其定义域；

（2）求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电总费用最小.

试卷答案

1.【答案】D

竹

【解析】因为函数寅礴力均孤久一期一;雪尸有2个不同的零点碰、

礴！，，则等价

于的图像有两个不同的交点，那么结合图像的变换可知

作出图像，确定边界点，可知两个交点的横坐标都是正数，一个大于零小于1,一个大

于1,结合条件得到选D.

【点评】解决该试题的关键是运用函数与方程思想来解决。将零点问题转换为图像与图像

的交点个数来处理得到结论。

2.【答案】C

【解析】因为函数置值电=『普雷一售是R上的连续函数，且f(0)=e0+0-2=-l<0,f

(l)=el+l-2=e-l>0,所以f(0)f(l)<0.所以,霓嘀=S皆需一售的零点所在的一个区间

为(0,1)o选C。

【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，零点存在定理只能判断函数在这

个区间上是否存在零点，而不能判断零点的个数。属于基础题。

3.【答案】B

【解析】【解答】令f(x)=x3-()'-2，则f(0)=0—()-2=—4<0,

f(1)=1-0-2=-KO,

f(2)=23-()°=7>0,

f(3)-27-()i=26>0,

f(4)=43-()2=63>0,

/.f(1)•f(2)<0,

故x。所在的区间是(1,2).

求出f(l),f(2),f(3),f(4)的值，根据选项，f(a).f(b)<0确定零点区间。

4.【答案】B

【解析】【解答】f(2)=ln2-KO,f(3)=ln3->0,，f(2)•f(3)<0,Z.

f(x)在(2,3)内有零点.

根据答案求出(a),f(b)的值，f(a).f(b)〈O可确定函数零点区间

5.【答案】C

【解析】【解答】

令loga(x+l)+x2—2=0,方程解的个数即为所求函数零点的个数.即考查图象

yi=loga(x+1)与y2——x?+2的交点个数.

求出图象y1=loga(x+1)与y2=-X?+2的交点个数即可.

6.［答案】B

【解析】在同一坐标系中作出y=y=(m>0),y=「。必划的图象，如图，设

m

yi),B(%2，%)，C(%3»丫3)，、4)，由|/。93%1=m，得％1=3一血，x2=3,由

2m+1m

\log3x\=^^,得与=3-赤石，M=3时.依照题意得a=|3-m-3\,b=\3-

8

---hiom_ozm+i।

32m+i।£_2JI

8,8一

7nh

=33淅=3m+而，（pmin=27V3,故选B.

【点睛】本题主要考查对数函数图象与性质的综合应用，基本不等式在求最值中的应用，

注意等号成立的条件，属于中档题，能正确的设坐标，并能画出图象来分析，将问题转

化，其中理解投影的概念并能把问题转化为基本不等式求最值是解决问题的关键.

7.【答案】B

【解析】当x<l时，f(x)在(一8,1)上单调递增，/(X)<2+a,

当久》1时，令/'(%)=0得％=—a或x=-2a.

(1)若2+a40,即a(一2时，f(x)在(-8,1)上无零点，此时-2a>-a>2,

.•./(x)在［1,+8)上有两个零点，符合题意；

(2)若2+a>0,即a>-2时，f(x)在(-0%1)上有1个零点，

f(X)在［1,+8)上只有1个零点，

①若—2VaV0,则—2a>—a,

•*.—a<1<—2a,解得-l<a4-5

②若a=0,则-a=-2a=0C[1,+8),

在[l,+8)上无零点，不符合题意；

③若a>0,则0>—a>—2a,

在口,+8)上无零点，不符合题意；

综上a的取值范围是(—00,—2]U(―1,—.选B.

点睛：

解答本题的关键是对实数a进行分类讨论，根据a的不同取值先判断函数/(无)在(-8,1)

上的零点个数，在此基础上再判断函数人为在[1,+8)上的零点个数，看是否满足有两个零

点即可.

8.【答案】C

【解析】本题考查对数、一次函数、二次函数型模型.

通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，选项A,D中的函数增长速度越来

越慢，而选项B中的函数增长速度保持不变，故选C项.

9.【答案】D

【解析】②③可由作图所得，④作图可知有一个宽度为1的通道，由定义可知比1大的通

道都存在.

10.【答案】C

【解析】由题可知函数g(x)=/(x)—b的零点不唯一，等价于两函数y=/(x)与y=b图象的

交点个数不唯一

Vm(x)=-x2+a久的图象是开口向下、对称轴x=]的抛物线，n(x)=2ax-5的图象是恒过

(0,-5)的直线，注意到m(l)=a-1、n(l)=2a-5,则分aWO、0<aW2、a>2三种情况讨

论：

①当aW0时，m(l)>n(l)

•.•、=巾(%)在(-8,])上为增函数，在或1)上为减函数，y=n(x)在(0,+8)上为减函数(当a=

0时为常数函数)

二y=/(%)在(一8,乡上为增函数，在岁1)上为减函数

...始终存在实数b使得在(-8,0)上丫=/Q)与y=b图象的交点个数不唯一.

②当0<aW2时，、=60)在(一8,9上为增函数，在。1)上为减函数

,:y=n(x)在(0,+8)上为增函数，且n(l)<0

...始终存在实数b使得在(-00,0)上y=f(x)与y=b图象的交点个数不唯一.

③当a>2时，y=m(x)在(―8,1)上为增函数，y=n(x)在(1,+8)上为增函数，欲使始终存在

实数b使得在(一8,0)上y=/(X)与y=匕图象的交点个数不唯一，则必有771(1)>n(l),即。一

1>2a-5,解得：a<4.

综上所述，a的取值范围是(一8,4).

故选C

点睛：己知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决，如在本题中，方程

/(x)-。=0根的个数，即为直线y=a与函数y=/(x)图象的公共点的个数;

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数

形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.

11.【答案】B

【解析】因为y=洋，所以函数丫=洋是奇函数，图象关于原点对称，故排除C；当

vx4-lvx4-i

x<-1时，恒有y<0,故排除D；时，y>0,故可排除B；故选A.

12.【答案】A

【解析】【解答】解：；f(1)=0,e2-a-b-1=0,B|Jb=e2-a-1,f(x)=e

"-ax2+(e2-a-1)x-1,

f'(x)=2e2x-2ax+e2-a-1,

令f'(x)=0得2e2x=2ax+a+l-e2,

•.•函数f'(x)在区间(0,1)内有两个零点，

y=2e2x与y=2ax+a+l-e"的函数图象在(0,1)上有两个交点，

作出y=2e与y=2ax+a+l-e”的函数图象，如图所示：

当a+1-e222即a2e2+1时，直线y=2ax与y=2e"最多只有1个交点，不符合题意；

二a+1-e2<2,即a<e2+1,

排除B,C,D.

故选A.

利用f(1)=0得出a,b的关系，根据f'(x)=0有两解可知y=2e2x与y=2ax+a+l-e

的函数图象在(0,1)上有两个交点，做出两函数图象，根据图象判断a的范围.

13.【答案】B

【解析】【解答】解：设F(x)=f(x)-mx,得F'(x)=f'(x)-m,.Vf,(x)

>m,F'(x)>0,F(x)在R上单调递增.f(0)=-1,：,F(0)=-1,f

(—)<」，可得f(工)-工<-l,

m-1m-1m-1m-1

即F(—m-1)<F(0)，m-可1得—<0,解答m<l.

2_2

又g(x)=-sinx-(m+4)cosx+4=0,可得cosx-(m+4)cosx+3=0,

设cosx=t,te[-1,1],问题等价于关于t的方程h(t)=t"-(m+4)t+3=0在

te[-1,1]上有唯一解.当-IV等vi时，须△=()即畔-4±2V3，矛盾；当

<—1或>1时，须h(-l)h(l)V。或h(-l)=0,即mW-8或m>

0.(或：m=t+1-4,te[-1,1]有唯一解，得小>0或111忘-8.)综上，l>m>0或

mW-8.

故选：B.

设F(x)=f(x)-mx,求出导函数F'(x)=f7(x)-m,.通过f'(x)>m,Ff

(x)>0,判断F(x)在R上单调递增.转化—m-1<0，可得mVl.又g(x)=-sin

"x-(m+4)cosx+4=0,利用设cosx=t,tG[-1,1],问题等价于关于t的方程h(t)

=t2-(m+4)t+3=0在1]上有唯一解.通过当-1<等<1时，当-1

或春21时，分别求解即可.

14.【答案】D

【解析】【解答】解：令f(x)=0得e'=1lnx|,作出y=e*和y=|Inx|的函数图

象如图所示:

又|lnxi|>|Inx21，即-Inxi>Inx2，**.Inxi+lnx2V0，

Inxix2V0，.*•xix2Vl.

故选D.

作出y=e-'和y=IInxI的函数图象，根据函数图象及函数的性质判断x】，x2的关

系，利用不等式的性质或函数性质得出答案.

15.【答案】C

【解析】【解答】解：•.•函数/(x)=Znx-1,

/.f(2)=ln2-KO,f(3)=ln3--3>0,

故有f(2)f(3)VO,

根据函数零点的判定定理可得函数/(x)=Znx-^的零点所在的大致区间为(2,3),

故选：C.

由函数的解析式求得f(2)<0,f(3)>0,可得f(2)f(3)<0,根据函数零点的判

定定理可得函数/(x)=/nx-|的零点所在的大致区间.

16.【答案】D

【解析】试题分析：令从下到上的容量为/二=!>“碟且数列鼠J为等差数列，由题意知：

_4.久…一笔..„_4

:峋*:吗=嚓船卷开9+嘴：=兽；可得：蜘一翼，稣"戏秀一受；即端1”期一缶，

"雪；解得u獭，獭，

故中间的容量为%—噬"电'一碗赢一篇，故选D.

考点：等差数列的定义.

17.【答案】B

【解析】试题分析：根据题意，3X的倒数比8X的倒数大5,故答案选B.

考点：倒数.

18.【答案】A

【解析】试题分析:/(x)=[x]-{%}=[x](x-[%])=[x]x-[x]2,由f(x)<g(x),得-[x]2<x-1,

即([x]-l)X<[幻2-1,当拓图磔寸，国=帆不等式的解为宏法口，不符合题意；当需纪冽时,

国=]不等式无解，不合题意；当谭笠图期时，国前1,不等式可化为需Y国此时不等式恒

成立，所以不等式解集为鬟三富工笔综上可得不等式例楠Y城由解集区间的长度为咸=』，故选

A.

考点：函数模型及应用.

【方法点睛】本题考查学生的是函数模型及其应用，属于中档题目.理解题中给出的新定义

[解口僦的表达意义，是解决本题的关键.国表示不超过客的最大整数，比如在济纪欧⑪时，

图=®,僦=常一同因此轴更加1,化简M-41的解析式，按照富里河服不痣：i阊和常史：裔用分三类

分别讨论，使城式不等式成立的*范围，从而得到区间长度.

19.【答案】C

【解析】略

20.【答案】C

【解析】y=~x2—2x+a=—(%+l)2+l+a,其顶点为4(—1,1+a),点C(0,1+a)在函数

图象上，而点B(0,a)不在函数图象上.结合图形可知，当。之一1,函数y=/(x)—x恰有3

21.【答案】11.6

【解析】【解答】解：由题意，坐出租车行驶了8.2km,分三段计费：3km,起步价6

元；3km到7km每行驶1km加价1元，共4元；7km到8.2km,交费2X0.8=1.6,故他应

交费11.6元故答案为：11.6.

由题意，坐出租车行驶了8.2km,分三段计费：3km,起步价6元；3km到7km每行驶1km

加价1元；7km到8.2km,每行驶1km加价0.8元(不足1km,按1km计算)，故可得结

论.

22.【答案】26.5

【解析】【解答】解：根据题意，出租车行3km,需要8元，3km到10km,需要

7*1.5=10.5元，10km到20km,需要10X0.8=8元出租车走了20km,应交费

8+10.5+8=26.5元

故答案为：26.5

将出租车走了20km,分为三部分计费：出租车行3km,需要8元，3km到10km,需要

7X1.5=10.5元，10km到20km,需要10X0.8=8元，从而可得结论.

23.【答案】g,8-2V15)

【解析】分析：由题意可得函数f(x)是以4为周期的周期函数，作出函数y=/(x)与函数

y=ax的图象，由图象可得方程丫=一。—4)2+1=公在(3,5)上有2个实数根，由此可得0<

a<8-2V15；再由方程/(x)=ax在(5,6)内无解，可得6a>1.最后可求得正实数a的取值范

围.

详解：由f(x+4)=f(x)可得函数f(x)是以4为周期的周期函数.

在同一坐标系内画出函数y=/(x)与函数y=ax的图象.

当久6[3,5]时，x-4e[-1,1].故y=f(x)=f(x—4)=—(x—4/+1.

由题意及图象可得方程一。一4产+1=ax,即/+俗一8)x+15=0在(3,5)上有2个实数

根，

'△=(a-8)2-60>0

9+3(。-8)+15>0__

二.25+5(a-8)+15>0，解得0<a<8-2万.

3<—<5

I2

又由图象及题意可得方程"%)=收在(5,6)内无解，

/.6a>1,解得Q>L

6

综上可得;VQ<8—2"/15.

6

,正实数a的取值范围是8-26).

点睛：已知函数零点的个数(方程根的个数或两函数图象公共点个数)求参数的取值范围

时，常用的方法是将所给问题转化为两函数图象公共点个数的问题.在同一坐标系内画出

两函数的图象，通过观察函数图象的位置关系，并结合特殊点处的函数值的大小得到关于

参数的不等式(组)，解不等式(组)可得所求的范围.

24.【答案】②③

【解析】试题分析：•••对于任意给定的不等实数与/2，不等式XJ(/)+X2/(X2)>XJ(X2)+

恒成立，二不等式等价为(.一次)恒成立，即函数f(X)是定

义在R上的增函数.①y=-/+x+i；y'=-3x2+l,则函数在定义域上不单调.@y=3x-

2(sinx-COST)；y'=3-2Ccosx+sinx)=3—2y/2sin(x+^)>0,函数单调递增，满足条

件.③y=ex+l为增函数，满足条件.④f(x)={"?'20・当x>0时，函数单调递

增，当x<0时，函数单调递减，不满足条件.综上满足“H函数”的函数为②③，故答

案为：②③.

考点：

【思路点睛】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决

本题的关键.不等式工"(%1)+42/式2)>工。(%2)+&/>1)等价为(%1-％2)[/(%1)-f(X2)]

>0,即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论.

25.【答案】

【解析】试题分析：由题设可知雅侬=薮嗫，即%一工二怎届一反球,所以

11寞R%

今一/-同门因为।瞬目与_,，令修沪商-/一礴普』，因为

,癖/碱:=十一时一工所以，/^：礴=承-2.因当与2。时，,V《脸>0，故函数

,摩/碱:=承-碰是增函数，且,察询额=顾，所以当X120时，,卓髭瑜海顿，即函数

■翼碱=贮一二一时储在I画#嗨上时单调递增，故再/碱工频既=工故应填着

考点：导数的有关知识及综合运用.

【易错点晴】本题以直线MN〃工轴为前提条件，精心设置了一道考查函数与方程思想的综

合性问题.求解时充分借助题设条件可得，电瑜=祺上或，从而求得强=慰’一守■，再构造

函数时一蜀=靖'一铲£一冏带1然后借助导数这一工具，求得,舒/碱:=小-时-工进而再求

二阶导数理*斛@=好*一：1,然后通过考察其正负，判断出函数的单调性，最后借助函数的单调

性将问题转化为求函数,魏礴=就"一i独一礴.的最小值问题.

26.【答案】1,+00)

【解析】丁nan+1=(ri+l)an+1,

=利用累加法可知，

n+1nn(n+l)

an+l/n+1@n、.,an@n-l、..,a2。1、.al

币=(寸—瓦)+*-=)+…+(2一丁)+丁

111111111

=---------1---------d----1-------p1=1+1----F------1---1---------=2-------

n(n+1)(n—l)n1x2223nn+ln+l

又•.•对任意的正整数n,存在te[l,3],使不等式安<t2+2at-l成立，

*■Jn+l

：•(r^；)maxVI?+2at—1,即/+2at—1Z2,

二。2三上=一[+尚，存在存在te[1,3],不等式成立，

a>(-j+^jnax，又y=-g+/单调递减,二%nax=y6=l，

a>1

27.【答案】，|].

【解析】试题分析：若a=0：/(x)=V7T3+i,符合题意；若a<0：/(x)的定义域为

[-3,-今U(-9+8),故取/(一。+t)=卜；+「+3+代/)+2=J/+t+3+。其中t>0，显

然，当t->o+时，/(一(+亡)可取负值，故QVO不合题意；若Q>0：①：一(=-3=@=|,

/(x)=V7T3+^,定义域为(一3,+8),显然/(x)>0恒成立，符合题意；②一:<一3=0<

a<|：/(%)的定义域为［-3,+8),此时QX+2N—3Q+2>0,/(x)>0恒成立，符合题意；

③：—：>-3=a>g：f(%)的定义域为［―3,一；)U(―；,+8),取/(一(—1)=J—q—t+3+

—2-=/一」-t+3一工,

a(---t)+2\aat

其中0<tW3—|,显然，当t-0+时，/(一:一t)可取负值，故a>|不合题意；综上所述，可

知实数a的取值范围是［0,|］,故填：［0,|］.

考点：1.恒成立问题；2.函数综合题；3.分类讨论的数学思想.

【思路点睛】一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，

对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值，另外，要记住几

个常见的有关不等式恒成立的等价命题：1.a>/(%)恒成立=a>2.a</(%)恒成

立"㈱Y豳魂；3.a>/(x)有解=£：燃扇；4.a<f(乃有解=a<f(.x)max.

28.【答案】①④

【解析】试题分析：由“完美区间”