2021年沪教版数学必修二同步第12讲 向量的坐标表示（讲义）教师版

第12讲向量的坐标表示

运算性质及重要结论

（D平面向量基本定理：如果，，公是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面

内任一向量z,有且只有一对实数4，4，使4=40+402，称4勺+402为的线

性组合.）

（2）两个向量平行的充要条件

—>—>—>—>—>—>

符号语言：a//b<^>a=2b(bw0)

坐标语言为:设非零向量4=（再,乂）在=（孙％），则a"b＜=＞（xi,yi）=A（x2,y2）,或

xiy2-x2yi=0.

（3）两个向量垂直的充要条件

—>—>—>—>

符号语言：a±b<=>a-b^O

坐标语言：设非零向量0=（与，＞1）,6=（%2，%），则a人o再%2+%力=。

（4）两个向量数量积的重要性质：

①W=|«|2即|力=厅（求线段的长度）;

=\/（尤2—XT+（必一必/

②a1b<=>a-b=0(垂直的判断);

③cos0=.।.।（求角度）.

卜嗣

cose-*--

。与坂的夹角为锐角等价于5々+%%＞（）且％力*wy

。与坂的夹角为钝角等价于XW+X为＜（）且无1%

例题解析

1、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

思考1已知两个非零向量a=（汨，/）,b=（x2,㈤，怎样用a与b的坐标表示a•b?

答'：a—xd-\-y\j,b=X2i+y2J,：.a-b=（xii+y1j）•（x-i+y-zj）=x\X2i'+x\y2i•J+xzyJ'i

+y\yij-

又i•7=1,j'J—1,i•j=j.7=0,a•b=xiX2+yiy2.

思考2若a=（xi,力），6=（%,⑸，则a•6=为及+%角，这就是平面向量数量积的坐标

表示.你能用文字描述这一结论吗？

答两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

例1.（2021•浙江高一期末）若向量3=（2,3）,i=（-l,2）,则£出=（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】D

【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.

【详解】已知向量1=（2,3）,力=（一1,2）,则7B=2X（T）+3X2=4.

故选：D.

例2.（2021•辽宁沈阳市•高一期末）已知向量）=（1,2）,B=（—6,左），若二〃力，则

k=（）

A.-12B.12C.3D.-3

【答案】A

【分析】直接根据向量平行列式计算即可.

【详解】由题意，因为4=（1,2）,加=（-6,左），且;〃力，

所以lxk=2x（-6）,即攵=一12.

故选：A.

例3.（2019•福建省福州格致中学高一期末）已知向量Z=（；l+2,；l）,B=（九1）,若

alb＞则实数X的值为（）

A.0或3B.-3或0C.3D.-3

【答案】B

【分析】由向量垂直的坐标表示可得选项.

【详解】解析：,向量a=(/l+2,4),b=(A,l),a±b>

a'b=(2+2,2)•(2,1)=Z(A+2)+A—A2+3A=0.解得4=0或4=—3.

故选：B.

，一一-uiui

例4.已知向量加=(41),〃=(/1+1,2),若(根+〃)_L(〃?—〃)，贝()

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】D

【分析】利用向量数量积的坐标表示求参数2的值.

【详解】玩+”=(24+1,3),庆一”=(一1,一1),

,.,(ZH+H)±(m-n),

.•.一(2/1+1)-3=0,解得：丸=一2.

故选：D

例5.(2019•全国高一专题练习)在比1中，通=(2,4),AC=(1,3),则丽

A.(3,7)B.(3,5)C.(1,1)D.(1,-1)

【答案】C

【详解】

CB^CA+AB^AB-AC^⑵4)-(1,3)=(1,1).

故选：C.

例6.已知向量值=(一5,6)石=(6,5),则1与5()

A.垂直B.不垂直也不平行

C.平行且同向D.平行且反向

【答案】A

【分析】利用G/=0,则1_15,即可求得答案.

【详解】•••G-5=6xl0—(—5)x(—12)=0

：.aA-b

故选:A.

考点：平面向量共线(平行)的坐标表示.

例7.(2020•武汉外国语学校高一期中)已知向量8=(3,-2),且

(a-b^Lb,则实数加=()

A.-8B.-6C.-5D.8

【答案】C

【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积、减法的坐标表示公式进行求解

即可.

【详解】因为〃=(1,m)，b—(3,—2),所以a—1=(―2,zn+2),

又因为,

所以=(-2,m+2)-(3,-2)=O=>—2x3-2(m+2)=0=>m=—5,

故选:c

例8.(2021•天津南开中学高一月考)已知向量1=(一1,2),砥=(2,1),若向量

a-\ex+A2e2,(AJ,A2<0),则£可能是()

A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)

【答案】D

【分析】根据向量坐标线性运算及参数范围，结合选项可得结果.

【详解】由+402,(4,4<。)，q=(—1,2),02=(2,1)得

£=(—4+24,24+4),因为4，%<0,所以24+4<o,只有D成立；

故选：D

例9.(2021•恩施市第一中学高一月考)已知点〃是AABC所在平面上一点，且满足

BD=-^BC,则而=()

A.-AB--ACB.-AB+-ACC.--AB+-ACD.-AB--AC

22222222

【答案】D

【分析】根据向量的加法、减法法则运算即可得到答案.

【详解】解：由题意：。为AA6c所在平面内的一点，

...BD=--BC,所以①=』无

22

所以标=/+丽=*+3而=而+±(荏一/)=三演一三彩

22、>22

故选：。.

例10.(2021•天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考)汗=(1,-2),B=(2,1),满足

与向量4+万平行的一个向量是()

A.(2,-4)B.(4,2)C.(-1,-3)D.(6,-2)

【答案】D

【分析】求出3+石，然后由向量共线判断.

【详解】由已知Z+1=(3,—1),

3-13-13-13-1

由于士工一，.只有D满足题意.

2-442-1-36-2

故选:D.

例11.(2021•浙江高一期末)在四边形ABCQ中，AB+CD=6f设M为线段8C的

中点，N为线段A5上靠近A的三等分点，A8=Q，AD=b，则向量NM=()

A.-a-bB.-a+-b

3+232

1-12-1r

C.-a--brD.—a——b

3232

【答案】B

【分析】作出图形，将画7用£、坂的友达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得

结果

【详解】如下图所示:

DC

ANB

在平面四边形A5CO中，由已知条件可得而=-函=反，

所以，平面四边形A8CD为平行四边形，可得配=而，

♦.•M为BC的中点，则府=4月=£+,

2

QN为线段A3上靠近点A的三等分点，则丽=g丽=；£,

__________]_]_2_]_

因此，NM=AM-AN=a+—b——a=—a+—b.

2332

故选：B.

例12.(2021•临澧县第一中学高一月考)设向量

a=(x,l),B=(l,y),c=(2,-4),且a_Lc,B//c,则x+N=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】根据的垂直关系，可求出x=2；根据坂//"的平行关系，可求出

y=-2,进而求出x+y的值.

【详解】因为所以2x—4=0

因为5//工，所以-4-2〉=。

[x=2

所以《一，所以x+y=0

〔》=-2

故选：A.

例13.(2021•辽宁辽阳市•高一期末)已知45,—7),8(3,-1),且C与/关于点8对

称，则。的坐标为.

【答案】(1,5)

【分析】设C的坐标为(x,y),由丽=前，列方程求解即可.

【详解】设C的坐标为(x,y),因为。与/f关于点5对称，所以荏=比.

因为AB=(—2,6)，BC=(x-3,y+1)，

x—3=-2,X=1,

所以《,,解得《

y+l=6,)=5.

故答案为：(1,5).

例14.(2021•天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考)已知方=(2,3),万=(-2,4),

向量万在5上的投影向量

48

【答案】

555

【分析】根据向量的数量积计算出向量M在5上的投影，然后由投影数乘向量5方向的单

位向量.

u-b—4+1245/5i_ir-

【详解】由题意向量M在句上的投影为下[=](_2)2+4不='|"|=24，

4A/S1_2

向量M在8上的投影向量为空2,4)=

52V55Il}

故答案为:

例15.(2021•天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考)已知2=(-3,4),则与向量£垂直的

单位向量"=

43

【答案】

555

【分析】设所求单位向量为e=(x,y),根据己知条件可得出关于x、y的方程组，解出这

两个未知数的值，由此可得出结果.

4

a-e=-3x+4y=0x=—

【详解】设所求单位向量为"=(x,y),则，解得‘

\,e\,=>Jx2--+--y-2=1

4

x=——

5

因此，向量］垂直的单位向量为"或工=

故答案为:(月43)(或43、.

例16.(2021•临澧县第一中学高一月考)已知平面向量M=(2,3)石=(x,4),若

al(a-b),则》=.

【答案】—

2

【分析】根据向量垂直的数量积坐标表示计算即可.

【详解】•：a=(2,3),b=(x,4))

T—>

a—b—(2一x,一1)，

•：al.(a-b),

a,(a—/?)-2x(2—x)+3x(—1)——01

解得x——,

2

故答案为：—

2

例17.(2021•湖北襄阳市•高一月考)已知向量〃=(2,—1),5=(—3,加)，若〃〃B，

则国+25|=.

【答案】2至

【分析】利用向量平行的坐标表示求出阳，再根据向量的坐标运算求出模长.

3

【详解】因为引区，所以2加一3=0,解得机=/,

所以B=-3,g),所以］+2b=(—4,2),

所以|M+〃|=J(T)2+22=2后.

故答案为：2亚

例18.（2021•湖南高一月考）已知向量。=（3,1）,欠=5,a-[a+b^=15.

（1）求向量Z与B夹角的正切值；

（2）若（脑一耳“£+24求X的值.

【答案】（1）3；（2）—.

4

【分析】（1）根据己知条件可得cos。，然后根据。范围可知sin。，最后可一知tan。

（2）依据（刀词•伍+2）=0直接计算即可.

【详解】（1）因为。=（3,1）,所以同=疹于=M-

设向量£与]的夹角°,则如,（4+石）=02+4出=忖+|a||^|COS

=10+5屈cos6=15,解得cos6=®.

10

乂所以sin£=Jl—cos21=±何,故tan6=2^=3.

L」10cos（9

（2）因为（/1。一可J_（a+23）,所以

（2a-/?）-（Q+2〃）=zlQ"+（2丸―1）〃・5一2石2=0,

即10X+5（2；l—1）—50=0,解得彳=?.

例19.（2021•浙江高一期末）已知向量G=（3,2）,5=（2,-1）.

（1）若万+防与%+5平行，求女的值；

（2）若一日与M+垂直，求;I的值.

【答案】（1）A=±l（2）2=-1±>/2

【分析】（1）根据向量平行的坐标表示计算可得结果；

（2）根据向量垂直的坐标表示计算可得结果.

【详解】（1）因为向量1=（3,2）,5=（2,-1）,

所以％+%6=(3+2左,2—女)，ka+h^(3k+2,2k-i),

因为4+历与%+5平行，所以(3+2&)(2。-1)一(2—&)(3左+2)=0,即为=1，

所以化=±1.

(2)因为向量云=(3,2),日=(2,-1),

所以义1一5=(34-2,24+1),a+Ab=(3+24,2-4),

因为41一5与a+Ab垂直,所以(34—2,24+1)•(3+24,2—4)=0,

所以(34-2)(3+2/1)+(2/1+1)(2-团=0,解得1=—i±0.

例20.(2021•天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考)平面内给定三个向量。=(1,2),

5=c=(3,3),

(1)若以｛〃，可为基底，用该基底表示向量小

(2)若(a+女c)//1.a),求实数女；

(3)若(a+Zc)J_(a+2“，求实数k.

【答案】(1)c=2a-bJ(2)k,=—1；(3)k=—.

9

【分析】(1)设乙=x^+yB,进而根据向量相等，利用向量数乘运算，加法运算的坐标

公式计算即可；

(2)由向量坐标运算得W+£=(1+3A,2+3Z)，君―W=(—2,—1)，再根据向量共线坐

标表示计算即可；

—>—>

(3)由向量坐标运算得“+2。=(-1,4)，再根据向量垂直的坐标表示即可得答案.

【详解】⑴设”篇+防;所以有(3,3)=x(l,2)+y(T,l),

x-y=3x=2

所以W=2。

2x+y=3b=-l

•—>■—>—>—>

(2)因为a+Ac=(l+3A,2+3A)，b-a

因为ac)//(0—aJ,所以：—(1+3%)—(2+3Z)x(—2)=0,

解得左=—l.

⑶因为W+2力=(—1,4)，:+/：=(1+3上,2+3女)，(。+丘，［。+24,

所以［a+Zc)(a+2b)=0,即：一(1+3左)+4x(2+3%)=0,

7

解得：k=—不

【点睛】方法点睛：设a=(玉,y)/=(工2，%),

贝必//〃=不必一入2>1=0'4-L/?=%&+%%二0

例21.已知a与，同向，6=(1,2),a•6=10.

(1)求a的坐标；

(2)若c=(2,—1),求a(b•c)及(a•6)c.

【难度】★

【解答】(1)设a=b=(久，2八)(4>0),则有a・b=久+44=10,4=2,.'.a=(2,4).

(2)・・・6•C=1X2-2X1=0,a•6=1><2+2X4=10,

•c)=0a=0,(a<6)c=10(2,—1)=(20,—10).

【点评】两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平

面向量的数量积不满足结合律.

例22.已知a=(1,2),b=(l,月)，分别确定实数力的取值范围，使得：(Da与6的夹角

为直角；(2)a与，的夹角为钝角；(3)a与力的夹角为锐角.

【难度】★★

【解答】设a与6的夹角为，，则a・Q(L2)・(l,4)=1+2L

(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos4=0,所以a・b=0,所以1+2久=0,所以久=

~2,

(2)因为a与8的夹角为钝角，所以cos且cos夕W—1,所以a•灰0且a与6不反

向.

由a•沃0得1+24<0,故才<一去由a与8共线得4=2,故a与6不可能反向.

所以4的取值范围为(-8,-|j.

(3)因为a与6的夹角为锐角，所以cos，＞0,且cos份W1,所以a•»()且a,6不同向.

由a•力0,得力＞一；‘由a与b同向得几=2.所以4的取值范围为卜g,2)U(2,+8).

a•b

【点评】由于两个非零向量a,b的夹角。满足0°W"W180。，所以用cos夕=国而来

判断，可将。分五种情况：cos"=1,夕=0°；cos夕=0,0=90°；cos0=—\t0

=180°；cos〃<0且cos—1,。为钝角；cos。>0且cos〃为锐角.

例23.已知在△/阿中，4(2,一1)、8(3,2)、C(-3,-1),4?为比1边上的高，求|初与点

。的坐标.

【难度】★★

【解答】设点。的坐标为(小y),则诟=(*-2,y+1),瓦：=(一6,-3),防=(x-3,y-

2),

•••〃在直线和上，即访与反共线，.•.存在实数，，使防=才击

[x_3=-64，

即(x—3,y-2)=4(—6»—3)..二，，/.x—3=22),B|Jx—2y+1=0.

[y2=-34.

①

又,：ADLBC,,而•比=0,即(x-2,y+1)•(—6,-3)=0,A-6(x-2)-3(7+1)=0.

即2*+y-3=0.②

由①②可得，二’即〃点坐标为(1,1),^=(-1,2).；.&=、T旺丁二小,

即茄|=小，7)(1,1).

【点评】在几何中利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐

标，利用垂直及模长列出方程组进行求解.

例24.已知a=(cosa,sino'),b—(cosB,sin£)(0〈a〈£〈n).

(1)求证：a+6与a—6互相垂直；

(2)若布+力与a一幼的模相等，求£一%(其中〃为非零实数)

【难度】★★

【解答】(1)证明：(a+A)•(a—6)=£—8=a—|b\2=(cos"a+sin-a)—(cos2P+

sin2B)=0,

：.a+b与a—6互相垂直.

(2)解ka+b=(Acosa+cosB,Asina+sin£),a—kb=(cosa—AcosB,sin

a—Asin£),

ka+b\=7必+2kcos£—a+T,|a—kb=[1-24cos£—a+/(.

ka+b=Ia-kb\,.*.2Acos(£—。)=-2Acos(£—〃)・又4#0,；・cos(£—a)=0.

JT

•・•()<冗，・・・(K£-q<n,：.0-a=—.

例25.在A48C中，~AB=(2,3),JC=(1,心，若A48C是直角三角形，求女的值.

【难度】★★

【解答】•.,荔=(2,3),元'=(1,幻，：.前=应一诵=(-1,4一3).

若N4=90°,则葩•应'=2X1+3X4=0,

若/6=90°,则葩•诙=2X(—1)+3(左一3)=0,，A=?；

若/C=90°,则尼•诙=1X(-1)+内左-3)=0,，仁、士严.

故所求女的值为一鼻或k或—彳-.

OO乙

【巩固训练】

1.若a—⑵3),b=(―1,—2),c—(2,1),则(a•6)•c—；a•(b•c)—

【难度】★

【答案】(-16,-8)(-8,-12)

【解析】Va-6=2X(-1)+3X(-2)=-8,/.(a•A)•c=-8X(2,1)=(-16,-8).

'：b»c=(~l)X2+(-2)Xl=-4,Aa•(Z>•c)=(2,3)X(-4)=(-8,-12).

2.已知a=(l,-1),Z>=(A,1),若a与6的夹角。为钝角，求儿的取值范围.

【难度】★★

【解答】Va=(l,-1),6=(4,1),a\=镜,引=、1+4',a•b=A—1.

r4-l<0,A<1,

Va,b的夹角。为钝角.•VB|J-I.4〈1且4

'•[*护**1一人・4?一+2久+1#0.

士一1.

4的取值范围是(一8,-1)U(-1,1).

3.以原点和加5,2)为两个顶点作等腰直角△。区N8=90°,求点方和刘的坐标.

【难度】★★

[解答】设B(x,y),则|OB\=\/*+产,•/B{x,y),A(5,2),AB\=，~x-5~彳~y—1

又；|福=|而，：.y]x-52+y-22=yjx-+y.可得10x+4y=29,①

又OB=(x,y),AB—(x—5,y—2),且如J_48,/.OB*Aff—0,x(x—5)+y(y—2)=0,

即V-5x+4-2尸0,②

(7

pl=?X2=~,

由①②解得〈一或4

3

=(~l-I)

4.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=zz?a+/>(®eR),且c与a的夹角等于c与6的夹角,

贝！Im=.

【难度】★★

【答案】2

【解析】因为向量a=(1,2),b=(4,2),所以c=/z?a+6=(0+4,2加+2),所以a・c=m+4

+2(2/+2)=5/8,b'c=4(/z/+4)+2(2w+2)=8^+20.

a•cb•c„„a,cb,c.5勿+8

因为c与a的夹角等于c与6的夹角，所以'"所以

a\|c\|b\Ic\

索’解得R=&

5.设8,员为单位向量，非零向量b=xei+ya,x,y£R,若8,包的夹角为小，则

b

最大值等于—

【难度】★★

【答案】2

2

【解析】V=(xei+ye)=xdl+yd+2xye\•e>=x+y+2xy•cos—=y+y+y[3xyf

⑺i+：小「、中=1—+。k+1-小-----q--=7R一+阴4+[即一b千的最大值是2.

6.在平面直角坐标系了0中，点力(-1,—2),6(2,3),<7(-2,-1).

(1)求以线段4。为邻边的平行四边形两条对角线的长；

⑵设实数t满足(而一力应)•旗=0,求f的值.

【难度】★★

【解答】(1)解法一：由题设知诵=(3,5),应、=(一1,1),则花+应'=(2,6),罚一元'=

(4,4).

所以|葩+而=2小5，葩一花=六也•故所求的两条对角线的长分别为外也，245.

解法二：设该平行四边形的第四个顶点为〃，两条对角线的交点为反则£为线段式的中

点，得E(0,1).又£(0,1)为线段4〃的中点，［(一1,-2),所以〃(1,4).

故所求的两条对角线的长分别为BC=4p止2限.

(2)由题设知：OC—(—2,—1),AB-tOC—(3+21,5+t).

由(AB—tOC),OC—0,得：(3+21,5+t),(—2,—1)=0,从而5t=-11,所以t=一4.

□

或者：AB-OC^tOC",葩=(3,5),t=也反=——.

0C\25

2、平面向量数量积的综合应用

需要熟练掌握向量数量积四种常见方法：

①向量的分解工定义）_：乘法的运算，经常无法直接运算，需要我们要善于利用向量的加减

法，将相关向量分解为图形中模和夹角己知的向量进行计算.（通常选好基向量很重要）

②坐标法：建立坐标系，通过坐标运算求解•

③数量积几何意义：（常应用于两个向量相乘有已知一个向量长度）

ACBD=BEBD

④极化恒等式：是特殊的向量的分解（将向量分解为对角线上的数量关系，应用于知道对角

线的长度的两个向量数量积）

其中〃为6c的中点，也可以理解为对角线的交点

证明：

方法一：AB-AC=(^+DB)-C4D+7JC)=(AD+DB)-(AD-DB)=AD2-BD2

方法二：

7B-AC=-CAB+AC)2一(茄一元＞]=42茄＞-C2BD)2]=可一]丽-

例1.如图，BC、场是半径为1的圆0的两条直径，脐=2应则而•应等于（)

BfC

E

【难度】★

【答案】B

【解析】方法一：（向量的分解）•••加=2而圆。的半径为1,二|南1=（

：.Fb-FE=（,FO+db）•（而+南=南+的・（0E+ob）+ob-0E=（1）2+o-1=-f.

oy

1o

方法二：（极化恒等式）而•走国『一|次2=依）2—「=-g.

方法三：（特殊法）当弦DE就为BC时.

例2.已知点G是的重心，若/4=120°,诵•四一2,则|花|的最小值是.

【难度】★★

2

【答案】鼻

【解析】（向量的分解）在中，延长4。交比1于〃，：点。是△｛和的重心，是

6c边上的中线，KAG=-zAD,"：~AB*~AC=\AEl\X\AC\Xcos1200=—2,|荔|X|福=4,

o

r2ftttt|rrrrrt

:花=W茄,2AD^7B+AC,.•.花=w（诵+就），.,.亦=*（葩+而了=g［希+2葩•花+彩］

3oJy

1AA99

⑵为X|葩+2X（—2）］=d，.,.而花X，二|宓的最小值是金.

•JljO

例3已知正方形四切的边长为1,点£是48边上的动点，则应■•功的值为；DE'DC

的最大值为.

【难度】★★

【答案】11

【解析】方法一：（坐标法）以射线48,/〃为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，

(O)EB八

则4(0,0),8(1,0),(7(1,1),。(0,1),则£"0),00,1],则应=(如-1),CB=(O,

-1),所以应•♦应=(t,-1)•(0,-1)=1.因为应1=(1,0),所以庞•应'=(3-1)•(1,0)

故场•应的最大值为1.

方法二：（数量积几何意义）由图知,

OI----

□I----

无论£点在哪个位置，%在渤•向上的投影都是以=1,

：.'DE'CB^\CB\•1=1,

当后运动到8点时，应在正方向上的投影最大即为"'=1,二（庞•应）侬=|加|•1=1.

例4.在△47C中，如图，若|葩+应、|=|诵一而，AS=2,4C=1,E,户为a1边的三等分点,

则左•苏等于（）

8

-C25-26-

9B.9D.9

【解析】方法一：（向量的分解）若AB+AC\=\AB-AC\,则用+"+2/出•布+北

一2花•花即有花•位=0.瓦/为8。边的三等分点，则赤•苏'=（应斗函•（而+而）=

（亚+；司•（砺+；可=《北+,可•（/石+,珂=,而+,超+'而*（1+4）+0=

#.故选B.

方法二：（极化恒等式）知而花=。，取用的中点为G,故通•正花—眉寸一夫吊

例5.如图，已知△/玄中，ZBAC=90°,N6=30°,点/在线段8c上运动，且满足餐

ACB,当才•瓦取到最小值时，乂的值为（）

1111

--C--

A.[4B.56D.8

闺

[

打

难★

]★

答][

【解析】（坐标法）如图所示,

建立平面直角坐标系.不妨设式三4,P{x,0）（0WxW4）,

则/f（3,小）,以4,0）,

1

-

'.PA•PC=(3—x,/),(4—x,0)=(3—x)(4—x)=V—7x+12=X-4

7f1r1r

当x=5时，1CP\=~,：.CP=~CB,x=~

乙Zoo

例6.线段A8的长度为2,点A、3分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段为

一边，在第一象限内作矩形ABCD（顺时针排序），5c=1,设。为坐标原点，则历•历

的取值范围是.

【难度】★★★

【答案】[1,3]

【解析】方法-（坐标法）

设由图可知

£>(2cosa+sina,cosa),

C(sina,2sina+cosa)

OC.OZ)=2sin2a+lG[1,3]

(也可以设0A=a,OB=b,利用冉层4)

方法二（极化恒等式）

取必的中点为£,反.丽=（江+丽）・屏+反）

=屏+同库-明

=42_质.

=0E-1

易知点。与点£之间的距离范围为[、历,2]n|5£|2-1G[1,3]

求0E的距离：方法较多只讲一个

与其动矩形不如动坐标轴，。的轨迹是以月6为直径的半圆弧AOB,46的中点尸为圆心.

当。在点人时OEM产后，当戚三点共线时，0E,*2

【巩固训练】

1.[莘庄中学等四校高二11月联考•9]如图，在梯形ABCD中，AB//DC,

ADVAB,AD=DC=-AB^2点N是CD边上一动点,则丽•丽的最大值

2

【难度】★

【答案】8

【解析】方法一：（坐标法）以AB、AD所在直线分别为x、y,建立如图坐标系，可得

A（0,0）,B（4,0）,C（2,2）,D（0,2）N坐标为（x,2）,（xe[0,2]）,

AN-AB-（x,2）（4,0）=8x+2G[2,8].则丽•南的最大值为：8.

方法二：（数量积的几何意义）显然当N在C。上运动时，AN-XB

max=AC-AB=2x4=8

2.如图，在平行四边形4腼中，已知4?=8,AD=5,C'P=A淳•痂=2,则荔•花的值

是.

DPC

AB

【难度】★★

【答案】22

【解析】（向量的分解）由』3力，得茁:应=;而,~AP=Ab+~DP=~ADA-^AB,~BP=AP-7B

=而+；葩一葩=而一：宓因为瀛•痂=2,所以（森+；欣•（而一|丽=2,即而一;而•葩

一一病=2.又因为血=25,花=64,所以葩•茄=22.

16

3.[格致中学高二期中吗][上海中学16]如图，在圆0中，若弦AB=3,弦AC=5,则前•前

【难度】★★

【答案】8

【解析】（数量积的几何意义）•0瓦=入0（衣—丽）=；口不_：洞2=8

JI

4.等腰直角三角形48c中，A-,/8=/C=2,"是用的中点，P点在△48。内部或其边

界上运动，则诙•前都J取值范围是（）

A.[-1,0]B.[1,2]C.[-2,-1]D.[-2,0]

【难度】★★

【答案】D

【解析】方法一（坐标法）以点/为坐标原点，射线48,4C分别为x轴，y轴的正方向建

立平面直角坐标系，则8（2,0）,"（1,1）.设2（x,力，由于点一在△/宽内部或其边界上运

动，故x20,y20且x+j<2,陟•前/=（*-2,/）•（1,l）=x-2+y,所以眇•功的取值

范围是［-2,0］.

方法二（数量积的几何意义）

5.已知△47。中，比•2=2•疝，B+击|=2,且旌V-/，则南•反的取值范围

是.

【难度】★★

【答案】「一2,1

【解析】因为比•应=由•花，所以由•（BC-AB）-（BA-BC）•（应'+瓦1）=0,即砺=交,

可得45=8c由|应+应=2,可得流+2万I•反+砂=4,'设AB=BC=a,则有2a，+2a2cos

„2.「兀2兀[「11]->„

8=4na=-----^因为,可得cosBR—5,5,所以刃・HCOSB=

1+cosB33228C=

2cosB2「02-故答案为「一2,1

1+cosB1+cosB|_3_•J

6.［上海中学高二上期中•11］平面向量。，b,e满足|e|=l,ae^l,b@=2,

\a-b\=2,则a小的最小值为.

【难度】★★★

【答案】2（坐标法）具体如下or（数量积的几何意义）较简单

4

【解析】

试题分析：设2=门,0I,a=，X1，%I,2=1*2J2'，：a,e=1，be=2,占=1,叼=2,由|第-3|=2得.

并-23+区一7/=2=|乃一乃『=3=乃=当±技

._2,Y555

ag=2+乃）2=2+y*>2±布1=丁22土,务2+2=«y2±—+工力4.,最小值是W

反思总结

1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析儿

何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持.

2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要

不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.

3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若3=

(由，71),b=(A2,72).则a〃从=»矛1%一照必=0,aX.b^X\Xi+yxy2=Q.

课堂练习

1.已知向量a,6的夹角为120°,|a|=l,b=5,则|3a一引等于()

A.7B.6C.5D.4

【难度】★

【答案】A

【解析】!3a-引=d_3a—A~”={9a"+:6a•b=9+25—6X5X^—

=7.故选A.

2.在边长为1的等边中，设瓦=2CA—b.AB=c,则a•6+b・c+c等于()

33

A.—~B.0C.~D.3

【难度】★★

【答案】A

【解析】a•b=BC*CA=—Cff*CA=~\~CB\|Celcos60°同理b・c=—c•a=—

1

2，

3

.*.a•b~\~b•c+c•a=---

3.设a=(2,x),b=(—4,5),若a与6的夹角。为钝角，则x的取值范围是________.

【难度】★★

【答案】］*且归

bZ

【解析】夕为钝角，.・•cos0=-a-<0,即8•8=-8+5x<0,，欢］.

ab5

555i

时有一4x—10=0,即a=一E,当a=-］时,a=(2,—-)=-^b9

oc

Ja与b反向，即，=式.故a与b的夹角为钝角时，x-且xW一不

□N

4.已知点4(—1,1)、6(1,2)、C(—2,—1)、〃(3,4),则向量施在近方向上的投影为

【难度】★

【答案】平.

而.而2X5+1X5153A/2

【解析】萧=(2,1),而=(5,5),...前在2方向上的投影为

CD\一苫将一5小一2・

5.[位育中学期末・16]己知向量awe,1旬=1,对任意的feR,恒有必一"闫"一0|,

则()

.—♦-►—>—*—»--»——»-♦

A.aleB.a，("e)c.e-L(a-e)D(a+e)J_(a-e)

【难度】★★

【答案】C

6.已知|a|=3,6=4,求|a—引的取值范围.

【难度】★★

【答案】[1,7]

【解析】方法一'."||a—bW|a-b\W|a|+b,1Wa—bW7,即,a-b的取值范

围是[1,7].

方法二