专题06二元一次方程组实际应用的五种考法(原卷版+解析)

专题06二元一次方程组实际应用的五种考法类型一、利润问题例．某商场用相同的价格分两次购进A型和B型两种型号的电脑，前两次购进情况如下表．A型（台）B型（台）总进价（元）第一次2030210000第二次1020130000(1)求该商场购进A型和B型电脑的单价各为多少元？(2)已知商场A型电脑的标价为每台4000元，B型电脑的标价为每台6000元，两种电脑销售一半后，为了促销，剩余的A型电脑打九折，B型电脑打八折全部销售完，问两种电脑商场获利多少元？【变式训练1】某商场第1次用39万元购进，两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润=单价利润×销售量）：价格商品进价（元/件）售价（元/件）1200135010001200(1)该商场第1次购进，两种商品各多少件？(2)商场第2次以原进价购进，两种商品，购进商品的件数不变，而购进商品的件数是第1次的2倍，商品按原售价销售，而商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则种商品是按几折销售的？【变式训练2】某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元．(1)求购进两种品牌篮球各多少个？(2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销；商场决定打折出售剩余的品牌篮球，品牌篮球每个按进价加价20%销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求品牌篮球打几折出售？【变式训练3】平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元．(1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品所赚利润______元；(2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共62件，恰好总进价为2600元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？(3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于450不优惠超过450，但不超过600按打九折超过600其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在商场购买乙种商品多少件？【变式训练4】饮品店的老板为了吸引顾客，推出两种新产品，冰淇淋红茶和热可可，以下是这两种新饮品在一周内的销售情况：老板将这两种新饮品每天销售的总成本记录如下：时间周一周二周三周四周五周六周日总成本4807807201280(1)根据以上信息，将上面的表格补充完整；(2)在试推广阶段，老板将冰淇淋红茶和热可可的售价均定为20元，平均每天卖出160杯冰淇淋红茶和200杯热可可．随着天气越来越炎热，人们对饮品的需求量逐渐增多，老板对饮品的价格进行了调整．如果将冰淇淋红茶的售价上涨，销售量仍会上涨25%，如果将热可可的售价下降10%，销售量依然会下降10%．经过计算，这样调整价格后的总利润比原来平均每天的总利润多了440元，求a的值．类型二、方案问题例．某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？【变式训练1】一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．【变式训练2】某企业有，两条加工相同原材料的生产线，在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．(1)当时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到．两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则和有怎样的数量关系？若此时与的和为6吨，则和的值分别为多少吨？【变式训练3】一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品?(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?【变式训练4】今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨，某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．类型三、几何图形问题例．如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．(2)若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．【变式训练1】现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．(1)如图，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．(2)如图，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为和．①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）．【变式训练2】某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值______．(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）【变式训练3】某工厂将一批纸板按甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形板块和正方形板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒.设x块纸板按甲方式进行加工，y块纸板按乙方式进行加工.(1)补全表格.x块甲方式加工的纸板y块乙方式加工的纸板板块2x板块(2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的，板块恰好用完，能做多少个礼盒？(3)若现有板块4块，纸板a块，要使礼盒制作完毕后的，板块恰好用完，则a的最小值为___________.(请直接写出答案)【变式训练4】（1）如图1，已知A、B两个边长不相等的正方形纸片并排放置，若m7，n3，试求A、B两个正方形纸片的面积之和．（2）如图1，用m、n表示A、B两个正方形纸片的面积之和为．（请直接写出答案）（3）如图2，若A、B两个正方形纸片的面积之和为5，且图2中阴影部分的面积为2，试求m、n的值．（4）现将正方形纸片A、B并排放置后构造新的正方形得图3，将正方形纸片B放在正方形纸片A的内部得图4，若图3和图4中阴影部分的面积分别为12和1，则A、B两个正方形纸片的面积之和为．类型四、行程问题例．如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗卖到地，两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元，铁路运费元．已知公路运费为元千米吨，铁路运费为元千米吨．(1)求该食品厂到地，地的距离分别是多少千米？(2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？(3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费）【变式训练1】小华从家里出发到学校去上学，前路段小华步行，其余路段小华骑自行车．已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min．(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？前路段小华步行所用时间是多少min？请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．【变式训练2】货车从地出发将一批防疫物资运往地．、两地相距164千米，货车匀速行驶一段路程后，出现了故障，司机师傅立刻抢修，排除了故障后，继续运送物资赶往地．已知货车离开地行驶的路程（）与离开的时间（）之间的函数关系如图所示．(1)填表：（分别写出①、②、③处的数据）离开地的时间0.50.822.23.4离开地行驶的路程20①80②③(2)填空：①货车行驶时出现的故障；②修车所用的时间为；③货车如果没出现故障，一直匀速行驶，会比实际早到多长时间？【变式训练3】马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息．①在起点，沿途每隔5千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之间为2千米；②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员．（1）本次马拉松比赛共设置______个补给站；（2）沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？（3）沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？【变式训练4】“滴滴打车”深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：时间（分钟）里程数（千米）车费（元）小明7512.1小亮64.510.8（1）求p，q的值；（2）“滴滴”推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费．某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，已知两次“滴滴打车”行驶的平均速度为40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车”的里程数？类型五、工程问题例．目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？【变式训练1】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）【变式训练2】杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？(2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值．【变式训练3】青山化工厂与A、B两地有公路、铁路相连这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料经铁路120km和公路10km运回工厂，制成每吨8000元的产品经铁路110km和公路20km销售到B地，已知铁路的运价为1.2元/（吨·千米），公路的运价为1.5元/（吨·千米），且这两次运输共支出铁路运124800元，公路运费19500元．（1）设原料重x吨，产品重y吨，根据题中数量关系填写下表（表格内填化简的结果）．原料x吨产品y吨合计（元）铁路运费公路运费根据上表列方程组求原料和产品的重量．（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？【变式训练4】一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元(即装修前后每天盈利不变)，你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．(可用（1）（2）问的条件及结论)专题06二元一次方程组实际应用的五种考法类型一、利润问题例．某商场用相同的价格分两次购进A型和B型两种型号的电脑，前两次购进情况如下表．A型（台）B型（台）总进价（元）第一次2030210000第二次1020130000(1)求该商场购进A型和B型电脑的单价各为多少元？(2)已知商场A型电脑的标价为每台4000元，B型电脑的标价为每台6000元，两种电脑销售一半后，为了促销，剩余的A型电脑打九折，B型电脑打八折全部销售完，问两种电脑商场获利多少元？【答案】(1)A型电脑单价为3000元，B型电脑的单价为5000元(2)两种电脑商场获利61000元【详解】（1）解：设A型电脑单价为x元，B型电脑的单价为y元，，解得：，答：A型电脑单价为3000元，B型电脑的单价为5000元．（2）A型电脑获利：（元），B型电脑获利：（元），两种电脑总获利：（元），答：两种电脑商场获利61000元．【变式训练1】某商场第1次用39万元购进，两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润=单价利润×销售量）：价格商品进价（元/件）售价（元/件）1200135010001200(1)该商场第1次购进，两种商品各多少件？(2)商场第2次以原进价购进，两种商品，购进商品的件数不变，而购进商品的件数是第1次的2倍，商品按原售价销售，而商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则种商品是按几折销售的？【答案】(1)商场第1次购进A商品200件，B商品150件(2)B种商品打九折销售的【详解】（1）解：设第1次购进A商品x件，B商品y件．根据题意得：，解得：．答：商场第1次购进A商品200件，B商品150件．（2）设B商品打m折出售．根据题意得：，解得：．答：B种商品打九折销售的．【变式训练2】某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元．(1)求购进两种品牌篮球各多少个？(2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销；商场决定打折出售剩余的品牌篮球，品牌篮球每个按进价加价20%销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求品牌篮球打几折出售？【答案】(1)购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个；(2)7折【详解】（1）解：设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个，，解得，故购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个；（2）解：设品牌篮球打折出售，依题意有：，即：，解得：，故品牌篮球打7折出售．【变式训练3】平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元．(1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品所赚利润______元；(2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共62件，恰好总进价为2600元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？(3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于450不优惠超过450，但不超过600按打九折超过600其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在商场购买乙种商品多少件？【答案】(1)40，30(2)购进甲商品50件，购进乙商品12件，全部出售，商场共获利1360元．(3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件．【详解】（1）解：设甲商品的进价为x，，解得：，每件乙种商品所赚利润：（元），故答案为：40，30；（2）设购进甲商品a件，购进乙商品b件，，解得：，∴购进甲商品50件，购进乙商品12件，（元），答：购进甲商品50件，购进乙商品12件，全部出售，商场共获利1360元．（3）设购买乙商品y件，当商品原价超过450元，但不超过600元时：，解得：；当商品原价超过600元时：，解得：；答：小华在该商场购买乙种商品7件或8件．【变式训练4】饮品店的老板为了吸引顾客，推出两种新产品，冰淇淋红茶和热可可，以下是这两种新饮品在一周内的销售情况：老板将这两种新饮品每天销售的总成本记录如下：时间周一周二周三周四周五周六周日总成本4807807201280(1)根据以上信息，将上面的表格补充完整；(2)在试推广阶段，老板将冰淇淋红茶和热可可的售价均定为20元，平均每天卖出160杯冰淇淋红茶和200杯热可可．随着天气越来越炎热，人们对饮品的需求量逐渐增多，老板对饮品的价格进行了调整．如果将冰淇淋红茶的售价上涨，销售量仍会上涨25%，如果将热可可的售价下降10%，销售量依然会下降10%．经过计算，这样调整价格后的总利润比原来平均每天的总利润多了440元，求a的值．【答案】(1)840，960，1400；(2)16【详解】（1）销售情况整理如下：周一周二周三周四周五周六周日冰淇淋红茶(杯)40608030401080热可可(杯)10302060405060总成本4807807201280设每杯冰淇淋红茶成本x元，每杯热可可成本y元，则，解得，∴周二总成本为：(元)，周三总成本为：(元)，周六总成本为：(元)，即表格中从左到右填入：840，960，1400（2）调价后每杯冰淇淋红茶的利润为（元），平均每天售卖杯；调价后每杯热可可的利润为元，平均每天售卖杯．列方程得：，解得答：a的值为16．类型二、方案问题例．某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？【答案】(1)每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；(2)①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人．【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，新工人每月分别安装y辆电动汽车，根据题意得，解之得．答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；（2）设调熟练工m人，由题意得，，整理得，，∵，∴当，2，3，4时，，6，4，2，即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人．【变式训练1】一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车(3)租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，依题意得：解得：

答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．（2）接：设租用小货车a辆，大货车b辆，依题意得：300a+400b=3100，∴．又∵a，b均为非负整数，∴或或，∴共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．（3）解：方案1所需租车费为400×9+500×1=4100（元）；方案2所需租车费为400×5+500×4=4000（元）；方案3所需租车费为400×1+500×7=3900（元）．∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．【变式训练2】某企业有，两条加工相同原材料的生产线，在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．(1)当时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到．两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则和有怎样的数量关系？若此时与的和为6吨，则和的值分别为多少吨？【答案】(1)两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时(2)分配到生产线2吨，分配到生产线3吨(3)与的关系为，当吨时，为2吨，为4吨【详解】（1）解：当时，，；即两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时．（2）解∶设分配到生产线吨，则分配到生产线吨，根据题意得：，解得，即分配到生产线2吨，则分配到生产线3吨；（3）解：根据题意得：，整理得：，∵，∴，，答：与的关系为，当吨时，为2吨，为4吨．【变式训练3】一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品?(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品(2)①；②至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务【解析】(1)解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，由题意得：，解得，（套）所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品．(2)①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，由题意得，，整理得；②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，由题意得，解得，所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务．【变式训练4】今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨，某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨(2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．(3)租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元【解析】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，依题意，得：，解得：．答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．（2）依题意，得：3a＋4b＝31，∴，又∵a，b均为正整数，∴或或，∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．（3）方案1所需租金为100×9＋120×1＝1020（元）；方案2所需租金为100×5＋120×4＝980（元）；方案3所需租金为100×1＋120×7＝940（元）．∵1020＞980＞940，∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．类型三、几何图形问题例．如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．(2)若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．【答案】(1)AB＝4，BC＝3；(2)AB＝2，BC＝6或AB＝3，BC＝4【详解】（1）根据题意得：，即．代入得：，整理得：．解得：或．当时，，不符合题意；当时，，符合题意．则AB=4,BC=3．（2）根据题意得：，即．∵AB，BC为整数，即x，y为整数，且．∴当y=6时，x=2；当y=4时，x=3．则满足条件的围建方案为：AB=2,BC=6或AB=3,BC=4．【变式训练1】现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．(1)如图，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．(2)如图，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为和．①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）．【答案】(1)小长方形的相邻两边长是，(2)①个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；②【详解】（1）解：设小长方形的相邻两边长分别为和，依题意，可有，解得，故小长方形的相邻两边长分别是10，25；（2）①∵1个小长方形的周长为，个大长方形的周长为，∴．故个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；依题意有：，整理，得．故和满足的关系式为．【变式训练2】某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值______．(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）【答案】(1)(2)①；；②24，27，30【详解】（1）由题意得：，解得；故答案为：60，40；（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m=2m，裁法二产生A型板材为：1×n=n，所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），由图示裁法一产生B型板材为：1×m=m，裁法二产生A型板材为，2×n=2n，所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；故答案为：2m+n；m+2n；②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．∵所裁得的板材恰好用完，∴，化简得m=4n．∵n，m皆为整数，∴m为4的整数倍，又∵30≤m≤40，∴m可取32，36，40，此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．故答案为：24或27或30．【变式训练3】某工厂将一批纸板按甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形板块和正方形板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒.设x块纸板按甲方式进行加工，y块纸板按乙方式进行加工.(1)补全表格.x块甲方式加工的纸板y块乙方式加工的纸板板块2x板块(2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的，板块恰好用完，能做多少个礼盒？(3)若现有板块4块，纸板a块，要使礼盒制作完毕后的，板块恰好用完，则a的最小值为___________.(请直接写出答案)【答案】(1)4y，6x；(2)12；(3)9【详解】（1）解：由甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量可知，x块纸板按甲方式进行加工，可得到A版块2x块，B版块6y块，y块纸板按乙方式进行加工，可得A版块6y块，故答案为：6y，4y；（2）由题意可得，，解得：，即有4块采用甲方式进行加工，10块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完，此时，礼盒的个数为6×4÷2=12（个）；（3）由题意得，，解得x=，∵x、a都是正整数，∴a的最小整数值为9，故答案为：9．【变式训练4】（1）如图1，已知A、B两个边长不相等的正方形纸片并排放置，若m7，n3，试求A、B两个正方形纸片的面积之和．（2）如图1，用m、n表示A、B两个正方形纸片的面积之和为．（请直接写出答案）（3）如图2，若A、B两个正方形纸片的面积之和为5，且图2中阴影部分的面积为2，试求m、n的值．（4）现将正方形纸片A、B并排放置后构造新的正方形得图3，将正方形纸片B放在正方形纸片A的内部得图4，若图3和图4中阴影部分的面积分别为12和1，则A、B两个正方形纸片的面积之和为．【答案】（1）29；（2）；（3）3，1；（4）13【详解】（1）解：设正方形纸片边长为，正方形纸片边长为.则解之得：所以，答：、两个正方形纸片得面积之和为.（2）设甲、乙两个正方形纸片的边长分别为x，y；由题意，解得∴+=（3）解：设正方形纸片边长为，正方形纸片边长为.则又，又，（4）设正方形A、B的边长为c、d，则：由图4得：（c−d）2＝1，即：c2−2cd＋d2＝1，由图3得：（c＋d）2−c2−d2＝12，即2dc＝12，∴c2＋d2−12＝1，∴c2＋d2＝13，即正方形A、B的面积和为13．类型四、行程问题例．如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗卖到地，两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元，铁路运费元．已知公路运费为元千米吨，铁路运费为元千米吨．(1)求该食品厂到地，地的距离分别是多少千米？(2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？(3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费）【答案】(1)这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米(2)该食品厂买进原料吨，卖出食品吨(3)卖出的食品每吨售价是元【详解】（1）解：设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，根据题意，得：，解得：，答：这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米．（2）解：设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，由题意得：，解得：，答：该食品厂买进原料吨，卖出食品吨．（3）解：设卖出的食品每吨售价为元，由题意得：，解得：，答：卖出的食品每吨售价是元．【变式训练1】小华从家里出发到学校去上学，前路段小华步行，其余路段小华骑自行车．已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min．(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？前路段小华步行所用时间是多少min？请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．【答案】(1)3000m，10min；(2)见解析【详解】（1）解：设小华家里离学校有m，前路段小华步行所用时间是min．根据题意得，

，解得

答：小华家里离学校有3000m，前路段小华步行所用时间是10min．（2）小华从家里到学校去上学步行了多少m？小华骑自行所用时间是多少min？设小华从家里到学校去上学步行了sm，小华骑自行所用时间是多少tmin，根据题意得，【变式训练2】货车从地出发将一批防疫物资运往地．、两地相距164千米，货车匀速行驶一段路程后，出现了故障，司机师傅立刻抢修，排除了故障后，继续运送物资赶往地．已知货车离开地行驶的路程（）与离开的时间（）之间的函数关系如图所示．(1)填表：（分别写出①、②、③处的数据）离开地的时间0.50.822.23.4离开地行驶的路程20①80②③(2)填空：①货车行驶时出现的故障；②修车所用的时间为；③货车如果没出现故障，一直匀速行驶，会比实际早到多长时间？【答案】(1)①32，②80，③92(2)①80，②1.2，③0.5小时【解析】（1）设，，当x=0.8时，由图知，x=2.2时，y=80，设当x=3.4时，故答案为：32；80；92．（2）①根据图像知货车行驶80km时出现故障，故答案为：80；②行驶路程不变时，即为修车时间，修车时间为：3.2-2=1.2（h）；故答案为：1.2(h)③出故障前货车匀速的速度为，则货车到达目的地所用时间为即货车如果没出现故障，一直匀速行驶，会比实际早到4.6-4.1=0.5（h）【变式训练3】马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息．①在起点，沿途每隔5千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之间为2千米；②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员．（1）本次马拉松比赛共设置______个补给站；（2）沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？（3）沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？【答案】（1）10；（2）1.5千米；（3）15千米或30千米．【详解】解：（1）∵在起点、沿途每隔5千米一个补给站，最后两个补给站相隔2千米，∴共设置补给站（422）÷5+1+1=10（个），故答案为：10（2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个，根据题意得：，解得：，∴42÷（29-1）=1.5（千米），答：沿途中，每两个固定医疗站之间距离是1.5千米．（3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合，∵沿途中，每两个固定医疗站之间距离是1.5千米，在起点、沿途每隔5千米一个补给站，∴5m=1.5n，∴m=n，∵m、n是正整数，∴当n=10时，m=3，此时距离起点的距离=5×3=15（千米），当n=20时，m=6，此时距离起点的距离=5×6=30（千米），当n=30时，m=9，此时距离起点的距离=5×9=45＞42，不合题意，舍去，综上所述：沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点15千米或30千米．【变式训练4】“滴滴打车”深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：时间（分钟）里程数（千米）车费（元）小明7512.1小亮64.510.8（1）求p，q的值；（2）“滴滴”推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费．某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，已知两次“滴滴打车”行驶的平均速度为40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车”的里程数？【答案】（1）p=2；q=0.3；（2）7或13．【详解】解：（1）由题意，解得；（2）不妨设第一次的路程为x千米，有三种可能：①第一次路程不超过8千米，第二次的路程超过8千米，2×20+0.3（20÷40）×60+（20-x-8）×0.6=52，解得x=7；②第一次路程超过8千米，第二次的路程也超过8千米，2×20+0.3（20÷40）×60+（x-8）×0.6+（20-x-8）×0.6=52，不存在；③第一次路程超过8千米，第二次的路程不超过8千米，2×20+0.3（20÷40）×60+（x-8）×0.6=52，解得x=13．类型五、工程问题例．目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？【答案】(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆，2辆电动汽车(2)4种，方案①招聘10名新工人，抽调1名熟练工；方案②招聘8名新工人，抽调2名熟练工；方案③：招聘6名新工人，抽调3名熟练工；方案④招聘4名新工人，抽调4名熟练工【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，依题意得：，解得：．答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．（2）设招聘y名新工人，依题意得：，∴．∵，且n，y均为正整数，∴或或或，∴工厂有4种新工人的招聘方案，方案1：招聘10名新员工，抽调1名熟练工；方案2：招聘8名新员工，抽调2名熟练工；方案3：招聘6名新员工，抽调3名熟练工；方案4：招聘4名新员工，抽调4名熟练工．【变式训练1】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完