四边形中的最值问题专项训练(20题)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(原卷版+解析)

四边形中的最值问题（20题）一．选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（）A．6 B．12 C．4 D．62．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（）A． B． C．3 D．24．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（）A．1 B．﹣1 C． D．2﹣5．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（）A．1 B． C． D．6．在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值为（）A． B．3 C．2 D．27．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝6，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作▱PAQC，则对角线PQ长度的最小值为（）A．6 B．8 C．3 D．48．如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．若AB＝，DE＝BF，则AE+DF的最小值为（）A．4 B．5 C．4 D．49．如图，已知∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点A，B在∠MON两边上运动，若AB＝4，CB＝2，则线段OD的最大值为（）A． B． C．4 D．10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，AD＝1，点M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段DM，MN的中点，则线段EF长度的最大值为（）A．2 B． C．1 D．二．填空题（共5小题）11．如图，E是正方形ABCD的对角线AC上一动点，以DE为一边作正方形DEFG，H是DC的中点，连接GH，若正方形的边长AB＝2，则GH的最小值是．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，P为BC上一动点，则AP的最小值为．13．（选做）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，动点E在矩形的边AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为．14．如图，已知AB＝4，C为线段AB上一个动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作菱形ACDE和等边△BCF，点C、F、D在同一直线上，M、N分别是线段AD、BF的中点．当点C在线段AB上移动时，线段MN的最小值为．15．如图，四边形ABCD为矩形，AD＝3，AB＝4，点E是AD所在直线的一个动点，点F是对角线BD上的动点，且BF＝DE，则AF+BE的最小值是．三．解答题（共5小题）16．（选做）正方形ABCD中，AB＝2，点E、F分别是AD，CD上的动点，且AE＝DF，连接AF，BE交于点G，DG的最小值是多少？17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A（﹣3，2），连接AB，以AB为边向上作正方形ABCD．（1）当点B与点O重合时，求点C的坐标；（2）设点C的坐标为（x，y），请用含x的代数式表示y；（3）E是点C关于原点的对称点，连接AE，当点B在x轴上运动时，求AE的最小值．18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是x，y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，求OC的最大值．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC．（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）填空：连接EF，若AC＝3，BC＝4，则EF的最小值是．20．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AD，DC上两个动点，满足AE＝DF，连接AF，BE，它们相交于点H，连接DH，若正方形的边长为4，求线段DH长度的最小值．四边形中的最值问题（20题）一．选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（）A．6 B．12 C．4 D．6【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，过O作AB的垂线OE，然后根据直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．【解答】解：如图所示：∵四边形PAQC是平行四边形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，∴过点O作OE⊥AB，OE即为所求，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA，∵AO＝AC＝×12＝6，∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6，故选：A．2．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝OD＝BD＝6，由等腰三角形的性质可求∠OAD＝∠ODA＝30°，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD＝BD＝6，∵∠BOC＝120°＝∠AOD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，当OP⊥AD时，OP有最小值，∴OP＝OD＝3，故选：A．3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（）A． B． C．3 D．2【分析】连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC＝BC＝3，即可得出结果．【解答】解：连接MC，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F∴四边形MECF为矩形，∴EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，∴MC＝BC＝＝3，∴EF的最小值为3；故选：A．4．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（）A．1 B．﹣1 C． D．2﹣【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝2，∵AM＝DM＝DC＝2，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AC＝2，在Rt△ACN中，∵AC＝2，∠ACN＝∠DAC＝30°，∴AN＝AC＝，∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF＝AG，易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴AG的最大值为2，最小值为，∴EF的最大值为，最小值为，∴EF的最大值与最小值的差为．故选：C．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（）A．1 B． C． D．【分析】因为不论怎么变化MN始终是△AEF的中位线，MN＝AE这个等量关系不发生变化，当AE最小时，MN就最小，根据垂线段最短性质知，当AE⊥BC时，AE取最小值，求出此时的AE便可．【解答】解：∵点M，N分别是AF，EF的中点．∴MN＝AE，当AE⊥BC时，AE的值最小，此时MN取最小值，∵四边形ABCD是平行四边形中，AB∥CD，∠BCD＝120°，∴∠B＝60°，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝1，∴AE＝，∴，故选：C．6．在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值为（）A． B．3 C．2 D．2【分析】由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求FC，AN，EN，AE的长，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点N作NE⊥AD于E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠D＝60°，∵CF⊥AB，AN⊥CD，∴AN∥CF，∠BCF＝30°，∴四边形AFCN是平行四边形，BF＝BC＝2，CF＝BF＝2，∴AN＝CF＝2，∵AN⊥CD，∠D＝60°，∴∠NAD＝30°，∴EN＝AN＝，AE＝EN＝3，∵AM⊥BC，NE⊥AD，∴AM∥EN，∴当MN⊥EN时，MN有最小值为3，故选：B．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝6，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作▱PAQC，则对角线PQ长度的最小值为（）A．6 B．8 C．3 D．4【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．【解答】解：∵四边形APCQ是平行四边形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作OP′⊥AB与P′，∵∠BAC＝45°，∴△AP′O是等腰直角三角形，∵AO＝AC＝3，∴OP′＝AO＝，∴PQ的最小值＝2OP′＝3，故选：C．8．如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．若AB＝，DE＝BF，则AE+DF的最小值为（）A．4 B．5 C．4 D．4【分析】如图，延长DC到P使CD＝CP，连接AP，交BC于F，利用SAS证明△ADE≌△ABF，根据垂直平分线的性质可得DF＝PF，可得AE+DF＝AF+PF＝AP，根据点A、F、P在一条直线上可得AP的长为AE+DF的最小值，利用勾股定理求出AP的长即可得到答案．【解答】解：如图，延长DC到P使CD＝CP，连接AP，交BC于F，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS），∴AE＝AF，∵∠BCD＝90°，CD＝CP，∴DF＝PF，∴AE+DF＝AF+PF＝AP，∵点A、F、P在一条直线上，∴AP的长为AE+DF的最小值，∵AB＝，∴AD＝CD＝，DP＝2AC＝2，∴AP＝＝5，即AE+DF的最小值为5，故选：B．9．如图，已知∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点A，B在∠MON两边上运动，若AB＝4，CB＝2，则线段OD的最大值为（）A． B． C．4 D．【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD＜OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB＝4，点E是AB的中点，∴OE＝AE＝AB＝2，在Rt△ADE中，DE＝＝＝2，∴OD的最大值＝2+2．故选：A．10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，AD＝1，点M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段DM，MN的中点，则线段EF长度的最大值为（）A．2 B． C．1 D．【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN＝DB＝2，从而求得EF的最大值为1．【解答】解：∵点E，F分别是线段DM，MN的中点，∴ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝2，∴EF的最大值为1．故选：C．二．填空题（共5小题）11．如图，E是正方形ABCD的对角线AC上一动点，以DE为一边作正方形DEFG，H是DC的中点，连接GH，若正方形的边长AB＝2，则GH的最小值是．【分析】作EM⊥CD于点M，作GH⊥CD于点N，证明△DEM≌△GDN，然后设CM的长为x，把GH用含x的式子表示出来，再利用二次函数的性质即可得出答案．【解答】解：如图，作EM⊥CD于点M，作GH⊥CD于点N，∵∠EDG＝90°，∴∠DEM＝∠GDN，在△DEM和△GDN中，，∴△DEM≌△GDN（AAS），∴EM＝DN，DM＝GN，设CM＝x（0＜x＜2），则DM＝2﹣x，由勾股定理得GN＝，∴GH＝＝，∵0＜x＜2，∴当x＝时，GH取得最小值为，故答案为：．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，P为BC上一动点，则AP的最小值为．【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，AC⊥BD，AO＝CO＝1，BO＝DO＝2，由勾股定理可求AB的长，由菱形的面积公式可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝CO＝1，BO＝DO＝2，∴AC＝2，BD＝4，AB＝＝，∵P为BC上一动点，∴当AP⊥BC时，AP有最小值，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，∴AP＝，∴AP的最小值为，故答案为：．13．（选做）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，动点E在矩形的边AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为2﹣6．【分析】根据对称的性质可得P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于P′，然后根据勾股定理可得问题的答案．【解答】解：∵点A关于DE的对称点P，∴DA＝DP＝6∴P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于P′，∴BP′为最小值，∵AB＝4，AD＝6，∠DAB＝90°，∴BD＝＝2，∵半径为6，即OP′＝6，∴BP′＝2﹣6．故答案为：2﹣6．14．如图，已知AB＝4，C为线段AB上一个动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作菱形ACDE和等边△BCF，点C、F、D在同一直线上，M、N分别是线段AD、BF的中点．当点C在线段AB上移动时，线段MN的最小值为．【分析】连接CM、CN．首先证明∠MCN＝90°，利用勾股定理和二次函数的性质可求解．【解答】解：如图，连接EC，CN，设BC＝a，AC＝4﹣a，∵△CBF是等边三角形，点N是BF的中点，∴∠FCB＝60°，∠FCN＝∠BCN＝30°，BN＝FN＝，∴CN＝，∠ACD＝120°，∵四边形ACDE是菱形，∴点M是AD的中点，也是EC的中点，AD⊥EC，∠ACM＝60°，∴∠DAC＝30°，∠MCN＝90°，∴MC＝AC＝，∴MN＝＝＝，当a＝1时，MN的最小值为，故答案为：．15．如图，四边形ABCD为矩形，AD＝3，AB＝4，点E是AD所在直线的一个动点，点F是对角线BD上的动点，且BF＝DE，则AF+BE的最小值是．【分析】延长BC到点G，使BG＝DB，连接AG交BD于点H，连接FG，根据矩形的性质和BF＝DE等条件证明△GBF≌△BDE，则BE＝GF，再由两点之间线段最短证明当AF与GF成一条直线时，AF+GF的值最小，此时AF+BE的值也最小，根据勾股定理求出AG的长即可．【解答】解：如图1，延长BC到点G，使BG＝DB，连接AG交BD于点H，连接FG，∵四边形ABCD是矩形，∴CB∥AD，∴∠GBF＝∠BDE，∵BF＝DE，∴△GBF≌△BDE（SAS），∴GF＝BE，∴AF+BE＝AF+GF；∵AF+GF≥AG，∴当AF与GF在一条直线上，即点F与点H重合时，AF+GF＝AG，如图2，此时AF+GF的值最小，AF+BE的值也最小，∵∠BAD＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BG2＝DB2＝AD2+AB2＝32+42＝25，AB2＝42＝16，∵∠ABG＝90°，∴AG＝＝＝，∴AF+BE的最小值为，故答案为：．三．解答题（共5小题）16．（选做）正方形ABCD中，AB＝2，点E、F分别是AD，CD上的动点，且AE＝DF，连接AF，BE交于点G，DG的最小值是多少？【分析】由“SAS”可证△ABE≌△DAF，可证∠AGB＝90°，可得点G在以AB为直径的圆O上，即点G在OD上时，DG的长最小，由勾股定理可求OD的长，即可求DG的最小值．【解答】解：如图，连接OD，∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝90°＝∠ADF又∵AE＝DF∴△ABE≌△DAF（SAS）∴∠DAF＝∠ABE∴∠BAG+∠DAF＝90°∴∠ABE+∠BAG＝90°∴∠AGB＝90°∴点G在以AB为直径的圆O上，∴当点G在OD上时，DG的长最小，∴DG＝OD﹣OG＝﹣1＝﹣117．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A（﹣3，2），连接AB，以AB为边向上作正方形ABCD．（1）当点B与点O重合时，求点C的坐标；（2）设点C的坐标为（x，y），请用含x的代数式表示y；（3）E是点C关于原点的对称点，连接AE，当点B在x轴上运动时，求AE的最小值．【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，根据点A的坐标可得OE＝3，AE＝2，再根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，然后根据同角的余角相等求出∠ABE＝∠BCF，再利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝AE，CF＝BE，然后求解即可；（2）根据（1）的结论整理即可得解；（3）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数表示出点E，再利用勾股定理列式表示出AE，然后根据二次函数的最值问题解答即可．【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，∵点A（﹣3，2），∴OE＝3，AE＝2，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ABE＝∠BCF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BF＝AE，CF＝BE，∵点B与点O重合，∴OE＝BE＝3，OF＝BF＝AE＝2，∴点C的坐标为（2，3）；（2）由（1）可知，BF＝AE＝2，CF＝BE，∵点C的坐标为（x，y），∴BF＝x，CF＝y，∴OB＝y﹣3＝x﹣2，∴y＝x+1；（3）∵E是点C关于原点的对称点，∴点E的坐标为（﹣x，﹣x﹣1），∴AE＝＝，∴当x＝0时，AE最小＝＝3．18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是x，y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，求OC的最大值．【分析】取AB的中点E，连接OE、CE，根据线段中点的定义求出BE，利用勾股定理列式求出CE，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE＝BE，根据两点之间线段最短判断出点O、E、C三点共线时OC最大，然后求解即可．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、CE，则BE＝×2＝1，在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE＝＝，∵∠AOB＝