专题02翻折、直尺、三角板中的平行问题(原卷版+解析)

七年级数学下册解法技巧思维培优专题02翻折、直尺、三角板中的平行问题典例题型一翻折与平行线1．（2020•西湖区校级月考）一次教学活动中，检验两条纸带①、②的边线是否平行（如图），小明和小华采用两种不同的方法：小明对纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝50°；小华对纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合．则纸带①的边线__________；纸带②的边线________．（横线上填“平行”或“不平行”）2．（2020•鄂州期中）把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠D′FD的度数为__________．3．（2020•覃塘区期末）如图，把长方形ABCD沿EF按图那样折叠后，点A，B分别落在G，H点处，若∠1＝50°，则∠AEF的度数是____________．典例题型二直尺、三角板与平行线4．（2020•莒南期末）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是__________．5．（2020•孟津期末）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是（）A．15° B．25° C．35° D．65°6．（2020•牡丹区期中）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝50°，那么∠1的度数为__________．典例题型三三角板与平行线7．（2020•长春模拟）将一副三角尺按如图的方式摆放，则∠α的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．105°8．（2020•丰城市期末）将一副三角板按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C；那么其中正确的结论有__________．9．（2020•岱岳区期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同条直线上，且两锐角顶点重合），连接另外两条锐角顶点，并测得∠1＝47°，则∠2的度数为__________．巩固练习1．（2020•长春模拟）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有BC∥AE；③如果∠1＝∠2＝∠3，则有BC∥AE；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④2．（2020•烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是________．3．（2020•苏州期末）将一张长方形纸条折成如图所示的图形，如果∠1＝64°，那么∠2＝__________．4．（2020•遂宁期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝52°，则∠AEG的度数是__________．5．（2020•东至期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若∠1＝52°，则∠2＝__________．6．（2020•河西区期中）如图，一副直角三角板技如图所示的方式摆放，其中点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为__________．7．（2020•沙坪坝区校级期末）将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G、D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝52°，则∠2﹣∠1＝____________°．8．（2020•诸城市期末）如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠图（2）形状，则∠FGD等于__________度．9．（2020•南昌期末）将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，∠2＝56°，则∠3的度数是____________．10．（2020•泉州期末）如图，将一张长方形纸条沿某条直线折叠，若∠1＝116°，则∠2等于__________．七年级数学下册解法技巧思维培优专题02翻折、直尺、三角板中的平行问题典例题型一翻折与平行线1．（2020•西湖区校级月考）一次教学活动中，检验两条纸带①、②的边线是否平行（如图），小明和小华采用两种不同的方法：小明对纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝50°；小华对纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合．则纸带①的边线不平行；纸带②的边线平行．（横线上填“平行”或“不平行”）【点睛】直接利用翻折变换的性质结合平行线的判定方法得出答案．【解析】解：如图①所示：∵∠1＝∠2＝50°，∴∠3＝∠2＝50°，∴∠4＝∠5＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠2≠∠4，∴纸带①的边线不平行；如图②所示：∵GD与GC重合，HF与HE重合，∴∠CGH＝∠DGH＝90°，∠EHG＝∠FHG＝90°，∴∠CGH+∠EHG＝180°，∴纸带②的边线平行．故答案为：不平行，平行．2．（2020•鄂州期中）把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠D′FD的度数为64°．【点睛】直接利用平行线的性质以及折叠的性质得出∠C′EG＝64°，进而得出答案．【解析】解：∵EF是折痕，∠EFB＝32°，AC′∥BD′，∴∠C′EF＝∠GEG＝32°，∴∠C′EG＝64°，∵CE∥FD，∴∠D′FD＝∠EGB＝64°．故答案为：64°．3．（2020•覃塘区期末）如图，把长方形ABCD沿EF按图那样折叠后，点A，B分别落在G，H点处，若∠1＝50°，则∠AEF的度数是115°．【点睛】依据平行线的性质即可得到∠AEF+∠BFE＝180°；借助翻折变换的性质求出∠BFE，即可解决问题．【解析】解：∵四边形ABCD为长方形，∴AE∥BF，∠AEF+∠BFE＝180°；由折叠变换的性质得：∠BFE＝∠HFE，而∠1＝50°，∴∠BFE=1∴∠AEF＝180°﹣65°＝115°．故答案为：115°．典例题型二直尺、三角板与平行线4．（2020•莒南期末）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是16°．【点睛】依据∠ABC＝60°，∠2＝44°，即可得到∠EBC＝16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1＝∠EBC＝16°．【解析】解：如图，∵∠ABC＝60°，∠2＝44°，∴∠EBC＝16°，∵BE∥CD，∴∠1＝∠EBC＝16°，故答案为：16°．5．（2020•孟津期末）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是（）A．15° B．25° C．35° D．65°【点睛】根据直尺的两边是平行的，从而可以得到CD∥EF，然后根据平行线的性质，可以得到∠2和∠DCE的关系，再根据∠ACB＝∠1+∠DCE，从而可以求得∠1的度数，本题得以解决．【解析】解：如右图所示，∵CD∥EF，∠2＝65°，∴∠2＝∠DCE＝65°，∵∠DCE+∠1＝∠ACB＝90°，∴∠1＝25°，故选：B．6．（2020•牡丹区期中）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝50°，那么∠1的度数为20°．【点睛】利用平行线的性质三角形的外角的性质即可解决问题．【解析】解：如图，∵m∥n，∴∠3＝∠2＝50°，∵∠3＝∠1+30°，∴∠1＝50°﹣30°＝20°．典例题型三三角板与平行线7．（2020•长春模拟）将一副三角尺按如图的方式摆放，则∠α的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．105°【点睛】根据平行线的性质和根据三角形的内角和计算即可．【解析】解：如图：∵∠DEC＝∠ABE＝90°，∴AB∥DE，∴∠AGD＝∠D＝30°，∴∠α＝∠AHG＝180°﹣∠A﹣∠AGD＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故选：D．8．（2020•丰城市期末）将一副三角板按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C；那么其中正确的结论有①②④．【点睛】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．【解析】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，∴∠1＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正确；∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；∵BC∥AD，∠B＝45°，∴∠3＝∠B＝45°，∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，∴∠2＝45°，故③错误；∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAE＝30°，∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正确；故答案为：①②④．9．（2020•岱岳区期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同条直线上，且两锐角顶点重合），连接另外两条锐角顶点，并测得∠1＝47°，则∠2的度数为58°．【点睛】由三角尺角的特殊性，利用平角定义及三角形内角和定理即可求出．【解析】解：如图所示，∠3＝180°﹣60°﹣45°＝75°，则∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣47°﹣75°＝58°．故答案为：58°巩固练习1．（2020•长春模拟）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有BC∥AE；③如果∠1＝∠2＝∠3，则有BC∥AE；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④【点睛】根据三角板的性质以及平行线的判定一一判断即可．【解析】解：∵∠EAD＝∠CAB＝90°，∴∠1＝∠3，故①正确，当∠2＝30°时，∠3＝60°，∠4＝45°，∴∠3≠∠4，故AE与BC不平行，故②错误，当∠1＝∠2＝∠3时，可得∠3＝∠4＝45°，∴BC∥AE，故③正确，∵∠E＝60°，∠4＝45°，∴∠E≠∠4，故④错误，故选：B．2．（2020•烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是45°．【点睛】根据折叠的轴对称性，180°的角对折3次，求出每次的角度即可；【解析】解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，∠AOB＝22.5°×2＝45°；故答案为45°．3．（2020•苏州期末）将一张长方形纸条折成如图所示的图形，如果∠1＝64°，那么∠2＝58°．【点睛】由折叠可得，∠2＝∠CEF，再根据平角的定义，即可得到∠2的度数．【解析】解：由折叠可得，∠2＝∠CEF，∵∠1＝64°，∴∠2=1故答案为：58°．4．（2020•遂宁期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝52°，则∠AEG的度数是76°．【点睛】由平行线的性质可求得∠DEF，由折叠可知∠GEF＝∠DEF，再由邻补角可求得∠AEG的度数．【解析】解：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝52°，又由折叠的性质可得∠GEF＝∠DEF＝52°，∴∠AEG＝180°﹣∠DEF﹣∠GEF＝180°﹣52°﹣52°＝76°．故答案为：76°．5．（2020•东至期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若∠1＝52°，则∠2＝76°．【点睛】依据邻补角的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．【解析】解：如图，由折叠性质可知∠3＝∠1+∠2∴∠1＝∠3﹣∠2＝180°﹣∠1﹣∠2，∠2＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×52°＝76°．故答案为76°．6．（2020•河西区期中）如图，一副直角三角板技如图所示的方式摆放，其中点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为15°．【点睛】先根据平行线的性质得出∠ABD的度数，进而可得出结论．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°．故答案为：15°．7．（2020•沙坪坝区校级期末）将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G、D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝52°，则∠2﹣∠1＝28°．【点睛】由折叠的性质可得，∠DEF＝∠GEF，根据平行线的性质可得，∠DEF＝∠EFG＝55°，根据平角的定义即可求得∠1，再由平行线的性质求得∠2，从而求解．【解析】解：∵AD∥BC，∠EFG＝52°，∴∠DEF＝∠FEG＝52°，∠1+∠2＝180°，由折叠的性质可得∠GEF＝∠DEF＝52°，∴∠1＝180°﹣∠GEF﹣∠DEF＝180°﹣52°﹣52°＝76°，∴∠2＝180°﹣∠1＝104°，∴∠2﹣∠1＝104°﹣76°＝28°．故答案为：28．8．（2020•诸城市期末）如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠图（2）形状，则∠FGD等于40度．【点睛】根据图形的翻折变换，依据平行线性质即可求解．【解析】解：根据折叠可知：∠AEG＝180°﹣20°×2＝140°，∵AE∥BF，∴∠EGB＝180°﹣∠AEG＝40°，∴∠FGD＝40°．故答案为：40．9．（2020•南昌期末）将三角尺的直角顶点放在直尺的