专题06幂的运算重难点题型专训(原卷版+解析)2

专题06幂的运算重难点题型专训【题型目录】题型一同底数幂的乘法题型二幂的乘方题型三积的乘方题型四同底数幂的除法题型五幂的混合运算题型六幂的运算含参问题题型七幂的运算新定义问题题型八幂的运算综合问题【经典例题一同底数幂的乘法】【要点梳理】法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.特别说明：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.【例1】（2022春·江苏·七年级专题练习）已知，，，现给出3个实数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练】【变式1】（2022秋·八年级单元测试）若（且），则，已知，，，那么，，三者之间的关系正确的有（

）①；②；③；④．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式2】（2023春·七年级课时练习）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是_______．【变式3】（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）阅读下列材料：一般地，个相同因数相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．(1)计算以下各对数的值：________，________，________．(2)写出（1）、、之间满足的关系式________．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：________（且，，）(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．【经典例题二幂的乘方】要点、幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.特别说明：（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【例2】（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）若，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式训练】【变式1】（2022秋·八年级单元测试）已知，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式2】（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如∶因为，所以．(1)根据上述规定，填空∶______；______；______；(2)小明在研究这种运算时发现一个特征；，并作出了如下的证明∶∵设，则，∴，即，∴∴试参照小明的证明过程，解决下列问题∶①计算；②请你尝试运用这种方法，写出之间的等量关系．并给予证明．【经典例题三积的乘方】要点、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.特别说明：（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：要点、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【例3】（2022秋·广东佛山·七年级统考期中）已知当时，，那么当时，（

）A．14 B．15 C．16 D．无法确定【变式训练】【变式1】（2022秋·四川广元·八年级校联考期中）下列计算：（1）；（2）；（3）；（4）若，，则中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）已知，则的值为______．【变式3】（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）（1）计算：①与；②与；③与；④与（2）根据以上计算结果猜想：分别等于什么？（直接写出结果）（3）猜想与验证：当p为正整数时，等于什么？（4）利用上述结论，求的值．【经典例题四同底数幂的除法】要点、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）特别说明：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.【例4】（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，，则代数式值是（

）A．3 B．6 C．7 D．8【变式训练】【变式1】（2022春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）已知，，则的值为（

）A．-1 B． C．1 D．72【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如果，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．（1）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，则a，b，c三者之间的数量关系是_____；（2）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），则t的值为_____．【变式3】（2023春·七年级单元测试）数学活动在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：与（，、都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作．运算法则如下：．解决问题根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：(1)填空：___________，___________；(2)如果，求出的值；(3)如果，请直接写出的值．【经典例题五幂的混合运算】【例5】（2020·七年级统考课时练习）计算的结果是(

)A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2022秋·天津南开·八年级校考期末）若，，，，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2022秋·八年级课时练习）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简，______．【变式3】（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；【经典例题六幂的运算含参问题】【例6】（2022秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）已知，，则的值是（

）A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2021·江苏·九年级自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【变式2】（2022秋·天津和平·八年级天津一中校考期末）若，，则______．【变式3】（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如果，那么我们规定，例如：因为，所以[理解]根据上述规定，填空：______，[说理]记，，，说明[应用]若，求的值【经典例题七幂的运算新定义问题】【例7】（2023春·七年级单元测试）若定义表示，表示，则运算÷的结果为（）A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2021春·江苏镇江·七年级校联考期中）定义：如果（），则叫做以为底的对数，记作.如：，记作.若，，则的值为（

）A．-0.4 B．-0.04 C．0.4 D．0.04【变式2】（2021春·上海奉贤·六年级校联考期末）本学期我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：am与an（a≠0，m，n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am÷an．其中“同底数幂除法”运算法则中规定当m＝n时，am÷an＝am﹣n＝a0＝1，根据“同底数幂除法”法则中的规定和你已经学过的知识，如果等式x2x+4÷xx+7＝1成立，则请写出满足等式成立的所有的x的值______．【变式3】（2022秋·北京海淀·八年级校考期中）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算．小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．小明课后借助网络查到了对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：(1)；；；__________；计算：__________；(2)计算后小明观黎（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：__________；（用对数表示结果）(3)于是他猜想：__________（且，，）．请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．(4)根据之前的探究，直接写出__________．【经典例题八幂的运算综合问题】【例8】（2020·甘肃天水·统考中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是()A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2020春·七年级统考课时练习）已知a=255，b=344，c=533，d=622，那么a,b,c,d大小顺序为（

）A．a<b<c<d B．a<b<d<c C．b<a<c<d D．a<d<b<c【变式2】（2022秋·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案（如图（3））．下列步骤：（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为_______；（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），此图形的周长为_________；（3）重复上述的作法，图（1）经过第_________次分形后得到图（3）的图形；（4）观察探究：上述分形过程中，经过n次分形得到的图形周长是____，面积是____．【变式3】（2023春·七年级单元测试）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：设①则②②①得，．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）______；（2）求______；（3）求的和；（请写出计算过程）（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）【培优检测】1．（2022秋·河南新乡·八年级统考阶段练习）计算的结果是（）A． B． C． D．2．（2021秋·吉林长春·八年级长春市实验中学校考期中）比较，，的大小正确的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·七年级单元测试）新型冠状病毒体积很小，这种病毒外直径大概在0.00000011米，则0.00000011这个数字可用科学记数法表示为（）A． B． C． D．4．（2021春·河北邯郸·七年级统考期中）已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（

）A． B． C．11 D．195．（2022春·山东青岛·七年级统考期中）一点P从距原点右侧8个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点处，第二次从跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，则第2022次跳动后，该点到原点O的距离为（

）A． B． C． D．6．（2022春·河南平顶山·七年级统考期中）下列有四个结论，其中正确的是（

）①若，则x只能是2；②若的运算结果中不含项，则③若，则；④若，，则可表示为．A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④7．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）已知，则______．8．（2022秋·河北廊坊·八年级校联考期末）已知，满足，则______；______．9．（2022秋·全国·八年级专题练习）若x，y均为实数，，则：（1）＝______x+y；（2）_______．10．（2021春·江苏无锡·七年级统考期中）观察以下一系列等式：①；

②；③；

④；……利用上述规律计算：=___________．11．（2022·湖南长沙·统考中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．12．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图①是一块正方形纸板，边长为1，面积记为S1，沿图①的底边剪去一个边长为的小正方形纸板后得到图②，图②的面积记为S2，然后再沿同一底边依次剪去一块更小的正方形纸板（即其边长为前一块被剪掉正方形纸板边长的）后得到图③，④，…，记第n块纸板的面积为Sn，则Sn+1﹣Sn＝__．（用含n的代数式表示）13．（2022春·江西九江·七年级统考期中）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是____（填序号）．14．（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）观察等式：；；按一定规律排列的一组数：，若，则用含a的代数式表示下列这组数的和_________．15．（2023春·七年级课时练习）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题：(1)的末尾数字是，的末尾数字是；(2)求的末尾数字；(3)求证：能被5整除．16．（2022秋·全国·八年级专题练习）如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．(1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____，d（10-2）=______；(2)“劳格数”有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数）(3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）．17．（2022春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3(1)根据上述规定，填空：（5，25）＝

，（2，1）＝

，（3，）＝

．(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：①计算（8，1000）﹣（32，100000）；②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．18．（2021·四川内江·统考一模）阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．如：数列1，3，9，27，为等比数列，其中，公比为．然后解决下列问题．(1)等比数列3，6，12，的公比为，第4项是．(2)如果已知一个等比数列的第一项（设为和公比（设为，则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，，．由此可得第项（用和的代数式表示）．(3)若一等比数列的公比，第2项是10，求它的第1项与第4项．(4)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．19．（2022秋·江苏·七年级专题练习）找规律：观察算式13＝113+23＝913+23+33＝3613+23+33+43＝100…（1）按规律填空）13+23+33+43+…+103＝；13+23+33+43+…+n3＝．（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）20．（2022秋·黑龙江大庆·七年级统考期末）阅读下列材料,并解决下面的问题:我们知道,加减运算是互逆运算,乘除运算也是互逆运算,其实乘方运算也有逆运算,如我们规定式子可以变形为也可以变形为.在式子中,3叫做以2为底8的对数,记为一般地,若则叫做以为底的对数,记为且具有性质:其中且根据上面的规定,请解决下面问题:(1)计算:_______(请直接写出结果)；(2)已知请你用含的代数式来表示其中(请写出必要的过程).21．（2022春·江苏·七年级专题练习）阅读材料：求l+2+22+23+24+…+22019的值．解：设S=l+2+22+23+24+…+22018+22019…①则2S=2+22+23+24+25+…+22019+22020…②②-①，得2S﹣S=22020-l即S=22020-l∴1+2+22+23+24+…+22019=22020-l仿照此法计算：(1)计算：1+3+32+33+34+…+3100.(2)计算：1++++…++=________(直接写答案)22．（2022春·江苏宿迁·七年级统考阶段练习）(1)你发现了吗？，，由上述计算，我们发现；(2)请你通过计算，判断与之间的关系；(3)我们可以发现：____(4)利用以上的发现计算：.专题06幂的运算重难点题型专训【题型目录】题型一同底数幂的乘法题型二幂的乘方题型三积的乘方题型四同底数幂的除法题型五幂的混合运算题型六幂的运算含参问题题型七幂的运算新定义问题题型八幂的运算综合问题【经典例题一同底数幂的乘法】【要点梳理】法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.特别说明：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.【例1】（2022春·江苏·七年级专题练习）已知，，，现给出3个实数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法公式即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可．【详解】解：∵2a＝3，2b＝6，2c＝12．∴2a×22＝3×4＝12，2b×2＝6×2＝12，2c＝12，∴a+2＝b+1＝c，即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，所以a+c＝2b，因此①正确；②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，所以a+b＝2c﹣3，因此②正确；③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确；④b＝a+1，因此④不正确；综上所述，正确的结论有：①②③三个，故选：C．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式，得出a、b、c的关系．【变式训练】【变式1】（2022秋·八年级单元测试）若（且），则，已知，，，那么，，三者之间的关系正确的有（

）①；②；③；④．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系．【详解】解：∵4n=12=4×3=4×4m=41+m，∴n=1+m，即n-m=1，故②错误；∵4p=48=12×4=4n×4=41+n，∴p=1+n，即p=n-m+n=2n-m，∴m+p=2n，故①正确；∵4p=48=3×16=4m×42=42+m，∴p=2+m，∴m+n=p-2+p-1=2p-3，故③错误；，故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式，本题属于中等题型．【变式2】（2023春·七年级课时练习）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是_______．【答案】m2﹣m##-m+m2【分析】归纳出数字的变化规律，给已知数列求和，并用含m的代数式表示出来即可．【详解】解：由题意得：2100+2101+2102+…+2199，＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299），＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），＝（2100）2﹣2100，＝m2﹣m，故答案为：m2﹣m．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，观察数字变化规律并利用规律用含m的代数式表示出结果是解题的关键．【变式3】（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）阅读下列材料：一般地，个相同因数相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．(1)计算以下各对数的值：________，________，________．(2)写出（1）、、之间满足的关系式________．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：________（且，，）(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．【答案】(1)(2)(3)(4)见解析【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，即可找到规律：，；（3）由特殊到一般，得出结论：；（3）根据同底数幂的乘法可得，根据对数的定义即证明．【详解】（1）解：∵∴，故答案为：；（2）∵，，，，∴，故答案为：；（3）由（2）的结果可得，故答案为：．（4）证明：设，，则∴∴即．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法应用，借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确地应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．【经典例题二幂的乘方】要点、幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.特别说明：（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【例2】（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）若，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法可求得，即可求得【详解】∵∴，解得：，故选：B【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练幂的运算【变式训练】【变式1】（2022秋·八年级单元测试）已知，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化成底数为3的幂，比较指数的大小即可判定．【详解】解：因为，，，因为所以，故选A．【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．【变式2】（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如∶因为，所以．(1)根据上述规定，填空∶______；______；______；(2)小明在研究这种运算时发现一个特征；，并作出了如下的证明∶∵设，则，∴，即，∴∴试参照小明的证明过程，解决下列问题∶①计算；②请你尝试运用这种方法，写出之间的等量关系．并给予证明．【答案】(1)(2)①0；②【分析】（1）由新定义计算得出结果即可；（2）①由推理过程可得，再相减结果得0即可；②设，，则，从而得到【详解】（1）故答案为：（2）①；②．证明：设，，则，所以，，，所以【点睛】本题主要考查幂的运算与新定义结合的题型，理解透题目的意思是解题的关键点．【经典例题三积的乘方】要点、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.特别说明：（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：要点、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【例3】（2022秋·广东佛山·七年级统考期中）已知当时，，那么当时，（

）A．14 B．15 C．16 D．无法确定【答案】B【分析】先将带入得到，再将带入得到，再根据积的乘法的运算法则将换算成即可得到答案．【详解】解：当时，，当时，=15，故选：B．【点睛】本题考查积的乘方，解题的关键是灵活运用积的乘方将整式进行换算．【变式训练】【变式1】（2022秋·四川广元·八年级校联考期中）下列计算：（1）；（2）；（3）；（4）若，，则中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】直接利用积的乘方、幂的乘方，同底数幂的运算，即可计算得出选项．【详解】解：（1），原计算错误，不符合题意；（2），原计算错误，不符合题意；（3），原计算正确，符合题意；（4）若，，则，原计算正确，符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方，同底数幂的运算，解题的关键是能熟记法则的内容．【变式2】（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）已知，则的值为______．【答案】1025【分析】先化简，再逆用幂的乘方，进行求值即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：1025．【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方，以及代数式求值．熟练掌握积的乘方，幂的乘方运算，是解题的关键．【变式3】（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）（1）计算：①与；②与；③与；④与（2）根据以上计算结果猜想：分别等于什么？（直接写出结果）（3）猜想与验证：当p为正整数时，等于什么？（4）利用上述结论，求的值．【答案】（1）①196

196

②

③36

36

④216

216（2）

（3）；（4）-4【分析】（1）第一个式子先计算乘法，再计算乘方，第二个式子先计算乘方，再计算乘法即可得到答案；（2）根据（1）的运算结果可知，；（3）由结合（2）可得答案；（4）将原式变形为进行求解即可．【详解】解：（1）①，；②，；③，；④与；（2）由（1）可知，；（3）（4）．【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，正确理解题意是解题的关键．【经典例题四同底数幂的除法】要点、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）特别说明：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.【例4】（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，，则代数式值是（

）A．3 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据可以得到然后再根据即可得到结果．【详解】解：两式相减，可得故选：B．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则的运用、代数式求值，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．【变式训练】【变式1】（2022春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）已知，，则的值为（

）A．-1 B． C．1 D．72【答案】B【分析】根据幂的乘方与同底数幂的除法法则进行计算即可得到答案．【详解】解：∵，，∴故选：B【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如果，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．（1）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，则a，b，c三者之间的数量关系是_____；（2）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），则t的值为_____．【答案】

a+b=c

80【分析】（1）根据积的乘方法则，结合定义计算；（2）根据定义解答即可．【详解】解：（1）∵（4，12）=a，（4，5）=b，（4，60）=c∴，∵12×5=60，∴，∴，∴a+b=c；故答案为：a+b=c.（2）设（m，16）=p，（m，5）=q，（m，t）=r∴∵（m，16）+（m，5）=（m，t），∴p+q=r∴，∴，即16×5=t∴t=80．故答案为：80．【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．【变式3】（2023春·七年级单元测试）数学活动在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：与（，、都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作．运算法则如下：．解决问题根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：(1)填空：___________，___________；(2)如果，求出的值；(3)如果，请直接写出的值．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）根据定义的运算法则计算即可；（2）逆用运算法则列一元一次方程求解；（3）分两种情况讨论：，求解可知；，求解可得，即可获得最终答案；【详解】（1）解：（2）解：原等式可化为：所以：解得：（3）解：当时，解得：当时，解得：所以：或【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算，掌握乘方运算法则、分类讨论思想的运用是解题的关键．【经典例题五幂的混合运算】【例5】（2020·七年级统考课时练习）计算的结果是(

)A． B． C． D．【答案】D【详解】===×（1-）==.故选D.【变式训练】【变式1】（2022秋·天津南开·八年级校考期末）若，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用乘方运算、负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别进行化简运算，然后比较大小即可得出答案．【详解】解：∵，，，，∴．故选：D．【点睛】此题主要考查了乘方运算、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质以及有理数大小比较等知识，正确化简各数是解题关键．【变式2】（2022秋·八年级课时练习）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简，______．【答案】【分析】先具体计算出S1，S2，S3，S4的值，得出面积规律，表示S2021，再设①，两边都乘以，得到②，利用①−②，求解S，从而可得答案．【详解】解：∵设①②①-②得，故答案为：．【点睛】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式3】（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；【答案】(1)(2)(3)(4)1(5)(6)【分析】（1）根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可；（2）先计算积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可；（3）先计算负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方，再进行有理数的混合运算即可；（4）根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘、除法法则计算即可；（5）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（6）先计算积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘、除法，再合并同类项即可．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【点睛】本题考查幂的混合运算和有理数的混合运算．涉及积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘、除法，负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方．掌握各运算法则是解题关键．【经典例题六幂的运算含参问题】【例6】（2022秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）已知，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据幂的乘方的逆运算求出，，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，，∴，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知，是解题的关键．【变式训练】【变式1】（2021·江苏·九年级自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案．【详解】解：由题意知，是100的倍数∵与100互质∴是100的倍数∴的末尾数字是01∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数，设：（t为正整数）则：∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01∴t的最小值为5，∴的最小值为10故答案为：B【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键．【变式2】（2022秋·天津和平·八年级天津一中校考期末）若，，则______．【答案】##0.5【分析】用同底数幂相乘和幂的乘方的逆用进行计算即可．【详解】解：∵，∴，，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方，解本题的关键是掌握幂的乘方和同底数幂相乘运算法则，并灵活运用．【变式3】（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如果，那么我们规定，例如：因为，所以[理解]根据上述规定，填空：______，[说理]记，，，说明[应用]若，求的值【答案】[理解]，；[说理]见解析；[应用]【分析】[理解]根据新定义进行计算即可求解；[说理]根据新定义得出，根据同底数幂的乘法即可得证；[应用]根据同底数幂的乘法即可求解．【详解】[理解]解：∵，∴，∵，∴；故答案为：，；[说理]证明：∵，，，∴，∴，∴；[应用]解：设，∴，∴，∵，∴，即，∴．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，负整数指数幂，有理数的乘法运算，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．【经典例题七幂的运算新定义问题】【例7】（2023春·七年级单元测试）若定义表示，表示，则运算÷的结果为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可．【详解】解：由题意可得：==．故选A．【点睛】本题主要考查了整单项式除法运算，根据新定义列出整式是解答本题的关键．【变式训练】【变式1】（2021春·江苏镇江·七年级校联考期中）定义：如果（），则叫做以为底的对数，记作.如：，记作.若，，则的值为（

）A．-0.4 B．-0.04 C．0.4 D．0.04【答案】D【分析】根据新定义的运算和幂的相关运算，求出关于m，n的式子再进行求解.【详解】∵，，∴5m=0.4,5n=4∴=(5m)2÷5n=(0.4)2÷4=0.04故选D.【点睛】此题主要考查实数新定义的运算，解题的关键是根据题意求出相关式子，再根据幂的运算法则进行求解.【变式2】（2021春·上海奉贤·六年级校联考期末）本学期我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：am与an（a≠0，m，n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am÷an．其中“同底数幂除法”运算法则中规定当m＝n时，am÷an＝am﹣n＝a0＝1，根据“同底数幂除法”法则中的规定和你已经学过的知识，如果等式x2x+4÷xx+7＝1成立，则请写出满足等式成立的所有的x的值______．【答案】1或-1或3【分析】根据已知分三种情况，底数是1或-1，及（2x＋4）−（x＋7）＝0，再求出x即可．【详解】有三种情况：①当x＝1时，x2x+4÷xx+7＝16÷18＝1，②当x＝-1时，x2x+4÷xx+7＝（-1）2÷（-1）6＝12÷16＝1，③（2x+4）﹣（x+7）＝0，解得：x＝3，所以x＝1或-1或3，故答案为：1或-1或3．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，同底数幂除法，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则、分类讨论思想运用等知识点．【变式3】（2022秋·北京海淀·八年级校考期中）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算．小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．小明课后借助网络查到了对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：(1)；；；__________；计算：__________；(2)计算后小明观黎（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：__________；（用对数表示结果）(3)于是他猜想：__________（且，，）．请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．(4)根据之前的探究，直接写出__________．【答案】(1)4，5；(2)；(3)，证明见解析；(4)．【分析】（1）根据对数与乘方之间的关系求解可得答案；（2）利用对数的定义结合（1）中结果求解可得答案；（3）根据（2）中结果进行猜想，设，，可得，，求出，根据对数的定义可得结论；（4）根据（3）中的探究可得，设，，可得，，求出，根据对数的定义可进行验证．【详解】（1）解：∵＝16，∴；∵＝32，∴；故答案为：4，5；（2）解：，故答案为：；（3）解：，证明：设，，则，，∴，∴，∴，故答案为：；（4）根据之前的探究，可得，设，，则，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘方，同底数幂的乘除运算，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用．【经典例题八幂的运算综合问题】【例8】（2020·甘肃天水·统考中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是()A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．【详解】解：由题意得：这组数据的和为：∵，∴原式=,故选：A．【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．【变式训练】【变式1】（2020春·七年级统考课时练习）已知a=255，b=344，c=533，d=622，那么a,b,c,d大小顺序为（

）A．a<b<c<d B．a<b<d<c C．b<a<c<d D．a<d<b<c【答案】D【详解】【分析】根据（am）n=amn,将各个式子化为指数相同，再比较底数的大小，指数大的，幂也就大.【详解】∵a=255=（25）11，b=344=（34）11，c=533=（53）11，d=622=(62)11,53＞34＞62＞25，∴（53）11＞（34）11＞（62）11＞（25）11，即a＜d＜b＜c，故正确选项为：D.【点睛】此题考核知识点:幂的乘方（am）n=amn.解题的关键：对有理数的乘方的正确理解.，化为底数相同的形式，再比较底数的大小.【变式2】（2022秋·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案（如图（3））．下列步骤：（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为_______；（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），此图形的周长为_________；（3）重复上述的作法，图（1）经过第_________次分形后得到图（3）的图形；（4）观察探究：上述分形过程中，经过n次分形得到的图形周长是____，面积是____．【答案】

2

【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求解；（2）观察图形，发现对正方形每进行1次变化，周长增加1倍，故可求解；（3）根据正方形雪花图案的形成过程，观察图形，可知对正方形每进行1次分形，周长增加1倍，由图（3）的图形，得出图（1）经过第2次分形后即可得到；（4）观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变．【详解】（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为；（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），原图形的周长为4a，观察图形，发现对正方形每进行1次变化，周长增加1倍，故此时图形的周长为；（3）重复上述的作法，图（1）经过第2次分形后得到图（3）的图形；（4）观察探究：上述分形过程中，对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变．∴经过n次分形得到的图形周长是4a×2n=，面积是．故答案为；；2；；．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，主要培养学生的观察能力和概括能力，观察出后一个图形的周长比它的前一个增加1倍是解题的关键，本题有一定难度．【变式3】（2023春·七年级单元测试）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：设①则②②①得，．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）______；（2）求______；（3）求的和；（请写出计算过程）（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；（2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果；（3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果；（4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解．【详解】解：根据阅读材料可知：（1）设s＝①，2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①得，2s−s＝s＝221−2；故答案为：221−2；（2）设s＝①，s＝②，②−①得，s−s＝-s＝-1，∴s＝2-，故答案为：2-；（3）设s＝①-2s＝②②−①得，-2s−s＝-3s＝+2∴s＝；（4）设s＝①，as＝②，②-①得：as-s=-a-，设m=-a-③，am=-④，④-③得：am-m=a-，∴m=，∴as-s=+，∴s=+．【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．【培优检测】1．（2022秋·河南新乡·八年级统考阶段练习）计算的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行求解即可．【详解】解：＝＝＝＝＝．故选：C．【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．2．（2021秋·吉林长春·八年级长春市实验中学校考期中）比较，，的大小正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将这三个数化成相同指数的形式，然后比较底数的大小即可；【详解】解：因为所以故选：B．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算；熟练掌握幂的乘方的运算技巧是解题的关键．3．（2023春·七年级单元测试）新型冠状病毒体积很小，这种病毒外直径大概在0.00000011米，则0.00000011这个数字可用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据科学记数法表示绝对值小于1的数即可解答．【详解】解：0.00000011=．故选B．【点睛】本题主要考查了科学记数法，将一个数表示成的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．确定a和n的是解答本题的关键．4．（2021春·河北邯郸·七年级统考期中）已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（

）A． B． C．11 D．19【答案】B【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算即可得出结果．【详解】解：x3a-2b=x3a÷x2b=（xa）3÷（xb）2，然后整体代入即可得原式=33÷42=．故选:B．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是明确同底数幂的除法和幂的乘方的法则，然后逆用代入计算即可．同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．5．（2022春·山东青岛·七年级统考期中）一点P从距原点右侧8个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点处，第二次从跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，则第2022次跳动后，该点到原点O的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意计算出来第一次、第二次及第三次的距离，然后找出规律求解即可．【详解】解：由题意可得：OM=8，点P从M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M1处，此时点到原点O的距离为8×，第二次从M1跳到OM1的中点M2处，此时点到原点O的距离为8×，第三次从点M2跳到OM2的中点M3处，此时点到原点O的距离为8×，…第n次从点Mn-1跳到OMn-2的中点Mn处，此时点到原点O的距离为8×，当n=2022时，点到原点的距离为：8×，故选：D．【点睛】题目主要考查负整数指数幂及规律的探索，理解题意，找出题中相应的规律是解题关键．6．（2022春·河南平顶山·七年级统考期中）下列有四个结论，其中正确的是（

）①若，则x只能是2；②若的运算结果中不含项，则③若，则；④若，，则可表示为．A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】根据零次幂、多项式乘多项式、完全平方公式及同底数幂的除法法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：①、若（x-1）x+1=1，则x是2或-1．故①错误；②、若（x-1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，∵（x-1）（x2+ax+1）=x3+（a-1）x2+（1-a）x-1，∴a-1=0，解得a=1，故②正确；③、由，可得，即可得：，两边开方得：，故③正确；④、∵4x=a，∴22x=a，∵8y=b，∴23y=b，∴22x-3y=22x÷23y=，故④正确；故选：B．【点睛】本题考查了零次幂、多项式乘多项式、完全平方公式以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）已知，则______．【答案】或##4或2【分析】根据，，（为整数），进行分类讨论求解即可．【详解】解：当时：，此时，满足题意；当时，即时：，满足题意；当时：即时，满足题意；综上：当或时，；故答案为：或．【点睛】本题考查零指数幂以及有理数的乘方运算．熟练掌握，，（为整数），是解题的关键．8．（2022秋·河北廊坊·八年级校联考期末）已知，满足，则______；______．【答案】

1

【分析】先利用绝对值和平方数的非负性得到，，从而得到，，再代入计算即可．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，，故答案为：1；．【点睛】本题考查零指数幂和负指数幂的计算，解题的关键是根据绝对值和平方数的非负性求出，．9．（2022秋·全国·八年级专题练习）若x，y均为实数，，则：（1）＝______x+y；（2）_______．【答案】

2022

1【分析】（1）将化成代入数值即可计算；（2），再由（1）知，得出即可求．【详解】（1）解：∵∴故答案为：2022；（2）解：∵∴∴故答案为：1．【点睛】本题主要考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的运算，根据运算法则将式子进行相应的换算是解题的关键．10．（2021春·江苏无锡·七年级统考期中）观察以下一系列等式：①；

②；③；

④；……利用上述规律计算：=___________．【答案】【分析】观察等式，将所有等式左右边分别相加，即可求解．【详解】解：∵①；

②；③；

④；……；∴+++……++++……+整理得：故答案为：【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，零次幂，找到规律是解题的关键．11．（2022·湖南长沙·统考中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．【答案】DDDD【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；，2的乘方的个位数字4个一循环，，的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；，，且，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD．【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．12．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图①是一块正方形纸板，边长为1，面积记为S1，沿图①的底边剪去一个边长为的小正方形纸板后得到图②，图②的面积记为S2，然后再沿同一底边依次剪去一块更小的正方形纸板（即其边长为前一块被剪掉正方形纸板边长的）后得到图③，④，…，记第n块纸板的面积为Sn，则Sn+1﹣Sn＝__．（用含n的代数式表示）【答案】【分析】根据图形的变化分别求出，，，再归纳类推出一般规律即可．【详解】解：由题意可知，，，，归纳类推得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，正确归纳类推出一般规律是解题的关键．13．（2022春·江西九江·七年级统考期中）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是____（填序号）．【答案】①②③【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可．【详解】解：∵，，．∴，，，∴a+2＝b+1＝c，即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，所以a+c＝2b，因此①正确；②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，所以a+b＝2c﹣3，因此②正确；③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确；④b＝a+1，因此④不正确；综上所述，正确的结论有：①②③三个，故选：C．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c的关系．14．（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）观察等式：；；按一定规律排列的一组数：，若，则用含a的代数式表示下列这组数的和_________．【答案】【分析】观察发现规律，并利用规律完成问题．【详解】观察、发现∴===（把代入）==．故答案为：．【点睛】此题考查乘方运算，其关键是要归纳出规律并运用之．15．（2023春·七年级课时练习）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题：(1)的末尾数字是，的末尾数字是；(2)求的末尾数字；(3)求证：能被5整除．【答案】(1)3，6；(2)4；(3)证明见解析．【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解；（2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论；（3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证．【详解】（1）解：，的末尾数字为3；的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，…的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是6；故答案为：3，6；（2）解：，∵的末尾数字是6，∴的末尾数字是4；（3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字为6；同理可得：的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1；的末尾数字9，∴的末尾数字是5，∴能被5整除．【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键．16．（2022秋·全国·八年级专题练习）如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．(1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____，d（10-2）=______；(2)“劳格数”有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数）(3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）．【答案】(1)1，﹣2(2)3(3)0.6020，0.699．【分析】（1）由“劳格数”的定义运算转化为同底数幂解答即可；（2）根据幂的乘方公式转化求解即可；（3）根据积的乘方公式、幂的乘方转化求解即可.【详解】（1）解：∵10b＝10，∴b＝1，∴d（10）＝1；10b＝10﹣2，∴b＝﹣2，∴d（10﹣2）＝﹣2；故答案为1，﹣2；（2）解：∵d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）∴故答案为3；（3）解：∵d（2）＝0.3010，∴d（4）＝2d（2）＝0.6020，d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.699．【点睛】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键.17．（2022春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3(1)根据上述规定，填空：（5，25）＝

，（2，1）＝

，（3，）＝

．(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：①计算（8，1000）﹣（32，100000）；②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．【答案】(1)2，0，-2(2)①0；②见解析【分析】（1）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可；（2）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可．（1）解：∵52=25，∴（5，25）=2；∵20=1，∴（2，1）=0；∵∴故答案为：2，0，-2；（2）①（8，1000）-（32，100000）=（23，103）-（25，105）=（2，10）-（2，10）=0；②设3x=2，3y=5，则3x·3y=3x+y=2×5=10，所以（3，2）=x，（3，5）=y，（3，10）=x+y，所以（3，2）+（3，5）=（3，10）．【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键．18．（2021·四川内江·统考一模）阅读下列材料：按照一定顺序