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文档简介

专题30与圆有关的位置关系【专题目录】技巧1:有关圆的位置关系的四种判断方法技巧2:切线的判定和性质的四种应用类型技巧3:圆中常用的作辅助线的八种方法【题型】一、判断点与圆的位置关系【题型】二、三角形外接圆的相关计算【题型】三、确定圆的条件【题型】四、判断直线与圆的位置关系【题型】五、利用切线的性质定理进行计算【题型】六、切线性质与判定的综合【题型】七、利用切线长定理进行计算【题型】八、三角形内切圆的相关计算【题型】九、圆内接四边形的相关计算【题型】十、判断圆与圆的位置关系【考纲要求】1.了解直线和圆的位置关系,并会判断直线和圆的位置关系.2.了解点和圆的位置关系,并会判断点和圆的位置关系.3.了解切线的概念,并掌握切线的判定和性质.4.掌握三角形内切圆的性质.【考点总结】一、点、线与圆的位置关系如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:(1)点在圆外⇔d>r;(2)点在圆上⇔d=r;(3)点在圆内⇔d<r.2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交位置关系相离相切相交图形公共点个数012数量关系d>rd=rd<r3.切线的性质与判定(1)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

4.*切线长定理(1)切线长:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.(2)定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【技巧归纳】技巧1:有关圆的位置关系的四种判断方法类型一:点与圆的位置关系eq\a\vs4\al(方法1)定义法1.如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点).如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为()A.2eq\r(2)<r<eq\r(17)B.eq\r(17)<r<3eq\r(2)C.eq\r(17)<r<5D.5<r<eq\r(29)(第1题)2.在矩形ABCD中,AB=8,BC=3eq\r(5),点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD的长为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外,点C在圆P内C.点B在圆P内,点C在圆P外D.点B,C均在圆P内eq\a\vs4\al(方法2)比较法3.⊙O的半径r=5cm,圆心O到直线l的距离OD=3cm,在直线l上有P,Q,R三点,且有PD=4cm,QD=5cm,RD=3cm,那么P,Q,R三点与⊙O的位置关系各是怎样的?类型二:直线与圆的位置关系eq\a\vs4\al(方法3)交点个数法4.已知直线l经过⊙O上的A,B两点,则直线l与⊙O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.无法确定eq\a\vs4\al(方法4)距离比较法5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB,BC=4cm,以点C为圆心,4cm为半径画⊙C,试判断直线BD与⊙C的位置关系,并说明理由.(第5题)6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.若以点C为圆心、R为半径的圆与斜边只有一个公共点,求R的取值范围.(第6题)技巧2:切线的判定和性质的四种应用类型类型一:应用于求线段的长1.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若AE=4,cosA=eq\f(2,5),求DF的长.(第1题)类型二:应用于求三角函数值2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于E,∠ADC的平分线交AE于点O,以点O为圆心,OA为半径的圆经过点B,交BC于另一点F.(1)求证:CD与⊙O相切;(2)若BF=24,OE=5,求tan∠ABC的值.(第2题)类型三:应用于求圆的半径3.如图,已知AB为⊙O的直径,AD,BD是⊙O的弦,BC是⊙O的切线,切点为B,OC∥AD,BA,CD的延长线相交于点E.(1)求证:DC是⊙O的切线;(2)若AE=1,ED=3,求⊙O的半径.(第3题)类型四:应用于求图形的面积4.如图,AB为⊙O的直径,D为eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点,连接OD交弦AC于点F,过点D作DE∥AC,交BA的延长线于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)连接CD,若OA=AE=4,求四边形ACDE的面积.(第4题)技巧3:圆中常用的作辅助线的八种方法类型一:作半径,巧用同圆的半径相等1.如图,两正方形彼此相邻,且大正方形ABCD的顶点A,D在半圆O上,顶点B,C在半圆O的直径上;小正方形BEFG的顶点F在半圆O上,E点在半圆O的直径上,点G在大正方形的边AB上.若小正方形的边长为4cm,求该半圆的半径.(第1题)类型二:连接圆上两点,巧用同弧所对的圆周角相等2.如图,圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点,DP⊥AC,垂足是P,DH⊥BM,垂足为H.求证:AP=BH.(第2题)类型三:作直径,巧用直径所对的圆周角是直角3.如图,⊙O的半径为R,弦AB,CD互相垂直,连接AD,BC.(1)求证:AD2+BC2=4R2;(2)若弦AD,BC的长是方程x2-6x+5=0的两个根(AD>BC),求⊙O的半径及点O到AD的距离.(第3题)类型四:证切线时辅助线作法的应用4.如图,△ABC内接于⊙O,CA=CB,CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由.(第4题)类型五:遇弦加弦心距或半径5.如图,在半径为5的⊙O中,AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP的长为()A.3B.4C.3eq\r(2)D.4eq\r(2)(第5题)(第6题)6.如图,AB是⊙O的弦,OH⊥AB于点H,点P是优弧上一点,若AB=2eq\r(3),OH=1,则∠APB=________.类型六:遇直径巧加直径所对的圆周角7.如图,在△ABC中,AB=BC=2,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,且点D是BC的中点.(1)求证:△ABC为等边三角形;(2)求DE的长.(第7题)类型七:遇切线巧作过切点的半径8.如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,点P是圆外一点,PA切⊙O于点A,且PA=PB.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)已知PA=eq\r(3),∠ACB=60°,求⊙O的半径.(第8题)类型八:巧添辅助线计算阴影部分的面积9.如图,点B,C,D都在⊙O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=6eq\r(3)cm.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)求由弦CD,BD与eq\o(BC,\s\up8(︵))所围成的阴影部分的面积(结果保留π).(第9题)【题型讲解】【题型】一、判断点与圆的位置关系例1、若⊙A的半径为5,圆心A的坐标是(1,2),点P的坐标是(5,2),那么点P的位置为()A.在⊙A内 B.在⊙A上 C.在⊙A外 D.不能确定例2、已知⊙O的半径为5,若PO=4,则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法判断【题型】二、三角形外接圆的相关计算例3、有一题目:“已知;点为的外心,,求.”嘉嘉的解答为:画以及它的外接圆,连接,,如图.由,得.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全,还应有另一个不同的值.”,下列判断正确的是()A.淇淇说的对,且的另一个值是115°B.淇淇说的不对,就得65°C.嘉嘉求的结果不对,应得50°D.两人都不对,应有3个不同值例4、过三点(2,2),(6,2),(4,5)的圆的圆心坐标为()A.(4,) B.(4,3) C.(5,) D.(5,3)【题型】三、确定圆的条件例5、如图,、为⊙O的切线,切点分别为A、B,交于点C,的延长线交⊙O于点D.下列结论不一定成立的是()A.为等腰三角形 B.与相互垂直平分C.点A、B都在以为直径的圆上 D.为的边上的中线例6、如图,已知是的两条切线,A,B为切点,线段交于点M.给出下列四种说法:①;②;③四边形有外接圆;④M是外接圆的圆心,其中正确说法的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【题型】四、判断直线与圆的位置关系例7、如图,中,,,,以点为圆心,为半径作,当时,与的位置关系是()A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【题型】五、利用切线的性质定理进行计算例8、如图,AB是⊙O的弦,AC与⊙O相切于点A,连接OA,OB,若∠O=130°,则∠BAC的度数是()A.60° B.65° C.70° D.75°例9、如图,AB是的切线,A切点,连接OA,OB,若,则的度数为()A.40° B.50° C.60° D.70°例10、如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF上一点,则∠EPF的度数是()A.65° B.60° C.58° D.50°例11、如图,△ABC内接于圆,,过点的切线交的延长线于点.则()A. B. C. D.例12、如图,分别与⊙O相切于两点,,则()A. B. C. D.【题型】六、切线性质与判定的综合例13、如图,AB为⊙O的直径,点C是⊙O上一点,CD与⊙O相切于点C,过点A作AD⊥DC,连接AC,BC.(1)求证:AC是∠DAB的角平分线;(2)若AD=2,AB=3,求AC的长.例14、如图,在△ABC中,,以为直径的⊙O与相交于点,过点作⊙O的切线交于点.(1)求证:;(2)若⊙O的半径为,,求的长.【题型】七、利用切线长定理进行计算例15、如图,P为⊙外一点,PA、PB分别切⊙于A、B两点,若,则()A.2 B.3 C.4 D.5例16、如图,PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是()A.PA=PB B.∠BPD=∠APD C.AB⊥PD D.AB平分PD【题型】八、三角形内切圆的相关计算例17、如图,△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=5,BC=13,CA=12,则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A.4 B.6.25 C.7.5 D.9例18、如图,内心为,连接并延长交的外接圆于,则线段与的关系是()A. B. C. D.不确定【题型】九、圆内接四边形的相关计算例19、如图,四边形内接于,,为中点,,则等于()A. B. C. D.例20、如图,AB为⊙O的直径,点C,点D是⊙O上的两点,连接CA,CD,AD.若∠CAB=40°,则∠ADC的度数是()A.110° B.130° C.140° D.160°例21、如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是()A.70° B.110° C.130° D.140°【题型】十、判断圆与圆的位置关系例22、已知⊙A与⊙B外切,⊙C与⊙A、⊙B都内切,且AB=5,AC=6,BC=7,那么⊙C的半径长是()A.11 B.10 C.9 D.8例23、如果两个圆的圆心距为3,其中一个圆的半径长为4,另一个圆的半径长大于1,那么这两个圆的位置关系不可能是()A.内含 B.内切 C.外切 D.相交与圆有关的位置关系(达标训练)一、单选题1.图,在平面直角坐标系中,以M(3,5)为圆心,AB为直径的圆与x轴相切,与y轴交于A,C两点,则tan∠ACM的值是(

)A. B. C. D.2.如图,已知⊙O上三点A、B、C,连接AB、AC、OB、OC,切线BD交OC的延长线于点D,∠A=25°,则∠D的度数为(

)A.20° B.30° C.40° D.50°3.如图,的内接四边形中,,则为(

)A. B. C. D.4.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,点E为边CD上任意一点(不与点C,点D重合),连接BE,若∠A=60°,则∠BED的度数可以是(

).A.110° B.115° C.120° D.125°5.如图,的直径与弦的夹角为25°,过点C的切线与的延长线交于P,则的度数为(

)°.A.25 B.30 C.35 D.406.下列说法正确的是()A.为调查全国人民对粮食的关注度,应采用全面调查B.“三点确定一个圆”是必然事件C.成语“水中捞月”是随机事件D.随意掷一枚5角钱币,落地后每一面向上的机会一样二、填空题7.如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于点C.若∠BCD=50°,则∠ABC的大小为______°.8.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是______.三、解答题9.如图,已知AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.(1)求证:AB=AC;(2)求证:DE是⊙O的切线;(3)若⊙O的半径为6,∠BAC=60°,则DE=________.10.如图,AD是⊙O的弦,AB经过圆心O交⊙O于点C,∠A=∠B=30°,连接BD.求证:BD是⊙O的切线.与圆有关的位置关系(提升测评)一、单选题1.如图,四边形内接于,,则的度数是()A. B. C. D.2.如图,,分别与相切于点,,过圆上点作的切线分别交,于点,,若,则的周长是(

)A. B. C. D.3.如图,的内切圆与各边相切于,,,且,则是(

)A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形4.如图,已知圆心角,则圆周角(

)A. B. C. D.5.下列事件中,不是随机事件的是(

)A.函数中,当时,y随x的增大而减小B.平分弦的直线垂直于弦C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线D.的半径为5,若点P在外,则6.如图,、分别与相切于、,,为上一点,则的度数为(

)A. B. C. D.7.如图,是半圆的直径,点是弧的中点,若,则等于(

)A. B. C. D.8.如图,等边是的内接三角形,点D,E分别为边上的中点,延长交于点F,若,则(

)A. B. C. D.二、填空题9.如图,是的直径,、为上的点,若,则______°.10.如图,是的内接四边形,,则的度数是_____度.三、解答题11.如图,四边形中,,点E是边上一点,且平分,作的外接圆.(1)求证:是的切线;(2)若的半径为5,,求的长.12.如图,在中,,是的平分线,是上一点,以为半径的经过点.(1)求证:是切线;(2)若,,求的长.专题30与圆有关的位置关系【专题目录】技巧1:有关圆的位置关系的四种判断方法技巧2:切线的判定和性质的四种应用类型技巧3:圆中常用的作辅助线的八种方法【题型】一、判断点与圆的位置关系【题型】二、三角形外接圆的相关计算【题型】三、确定圆的条件【题型】四、判断直线与圆的位置关系【题型】五、利用切线的性质定理进行计算【题型】六、切线性质与判定的综合【题型】七、利用切线长定理进行计算【题型】八、三角形内切圆的相关计算【题型】九、圆内接四边形的相关计算【题型】十、判断圆与圆的位置关系【考纲要求】1.了解直线和圆的位置关系,并会判断直线和圆的位置关系.2.了解点和圆的位置关系,并会判断点和圆的位置关系.3.了解切线的概念,并掌握切线的判定和性质.4.掌握三角形内切圆的性质.【考点总结】一、点、线与圆的位置关系如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:(1)点在圆外⇔d>r;(2)点在圆上⇔d=r;(3)点在圆内⇔d<r.2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交位置关系相离相切相交图形公共点个数012数量关系d>rd=rd<r3.切线的性质与判定(1)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

4.*切线长定理(1)切线长:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.(2)定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【技巧归纳】技巧1:有关圆的位置关系的四种判断方法类型一:点与圆的位置关系eq\a\vs4\al(方法1)定义法1.如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点).如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为()A.2eq\r(2)<r<eq\r(17)B.eq\r(17)<r<3eq\r(2)C.eq\r(17)<r<5D.5<r<eq\r(29)(第1题)2.在矩形ABCD中,AB=8,BC=3eq\r(5),点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD的长为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外,点C在圆P内C.点B在圆P内,点C在圆P外D.点B,C均在圆P内eq\a\vs4\al(方法2)比较法3.⊙O的半径r=5cm,圆心O到直线l的距离OD=3cm,在直线l上有P,Q,R三点,且有PD=4cm,QD=5cm,RD=3cm,那么P,Q,R三点与⊙O的位置关系各是怎样的?类型二:直线与圆的位置关系eq\a\vs4\al(方法3)交点个数法4.已知直线l经过⊙O上的A,B两点,则直线l与⊙O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.无法确定eq\a\vs4\al(方法4)距离比较法5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB,BC=4cm,以点C为圆心,4cm为半径画⊙C,试判断直线BD与⊙C的位置关系,并说明理由.(第5题)6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.若以点C为圆心、R为半径的圆与斜边只有一个公共点,求R的取值范围.(第6题)答案1.B2.C3.解:如图,连接OR,OP,OQ.∵PD=4cm,OD=3cm,且OD⊥l,(第3题)∴OP=eq\r(PD2+OD2)=eq\r(42+32)=5(cm)=r.∴点P在⊙O上.∵QD=5cm,∴OQ=eq\r(QD2+OD2)=eq\r(52+32)=eq\r(34)(cm)>5cm=r.∴点Q在⊙O外.∵RD=3cm,∴OR=eq\r(RD2+OD2)=eq\r(32+32)=3eq\r(2)(cm)<5cm=r.∴点R在⊙O内.4.B5.解:直线BD与⊙C相交.理由如下:∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC=8cm.∴AC=eq\r(AB2-BC2)=4eq\r(3)cm.由三角形的面积公式得eq\f(1,2)AC·BC=eq\f(1,2)AB·CD,∴CD=eq\f(AC·BC,AB)=2eq\r(3)cm.∵2eq\r(3)cm<4cm,∴直线BD与⊙C相交.6.解:本题应分两种情况讨论.一种情况是:如图①,以C为圆心、R为半径的圆与斜边AB相切,过点C作CD⊥AB于点D,则CD=R.由勾股定理得AB=eq\r(AC2+BC2)=eq\r(32+42)=5.由三角形的面积公式,得S△ABC=eq\f(1,2)AC·BC=eq\f(1,2)CD·AB,解得R=CD=eq\f(AC·BC,AB)=eq\f(3×4,5)=2.4.另一种情况是:如图②,点A在圆内,以点C为圆心,R为半径的圆与斜边AB相交于一点,那么R应满足AC<R≤BC,即3<R≤4.综上所述,R的取值范围为R=2.4或3<R≤4.(第6题)技巧2:切线的判定和性质的四种应用类型类型一:应用于求线段的长1.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若AE=4,cosA=eq\f(2,5),求DF的长.(第1题)类型二:应用于求三角函数值2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于E,∠ADC的平分线交AE于点O,以点O为圆心,OA为半径的圆经过点B,交BC于另一点F.(1)求证:CD与⊙O相切;(2)若BF=24,OE=5,求tan∠ABC的值.(第2题)类型三:应用于求圆的半径3.如图,已知AB为⊙O的直径,AD,BD是⊙O的弦,BC是⊙O的切线,切点为B,OC∥AD,BA,CD的延长线相交于点E.(1)求证:DC是⊙O的切线;(2)若AE=1,ED=3,求⊙O的半径.(第3题)类型四:应用于求图形的面积4.如图,AB为⊙O的直径,D为eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点,连接OD交弦AC于点F,过点D作DE∥AC,交BA的延长线于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)连接CD,若OA=AE=4,求四边形ACDE的面积.(第4题)答案1.(1)证明:如图,连接OD,作OG⊥AC于点G.(第1题)∵OB=OD,∴∠ODB=∠B,又∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC.∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,∴∠ODF=∠DFC=90°,∴DF是⊙O的切线.(2)解:∵OG⊥AE,∴AG=eq\f(1,2)AE=2,∵cosA=eq\f(AG,OA),∴OA=eq\f(AG,cosA)=eq\f(2,\f(2,5))=5.∴OG=eq\r(OA2-AG2)=eq\r(21).∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°,∴四边形OGFD为矩形,∴DF=OG=eq\r(21).2.(1)证明:过点O作OG⊥DC,垂足为G,如图所示.[第2(1)题]∵AD∥BC,AE⊥BC于E,∴OA⊥AD.∴∠OAD=∠OGD=90°.在△ADO和△GDO中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OAD=∠OGD,,∠ADO=∠GDO,,OD=OD,))∴△ADO≌△GDO.∴OA=OG.∴CD与⊙O相切.(2)解:如图,连接OF.[第2(2)题]∵OA⊥BC,∴BE=EF=eq\f(1,2)BF=12.在Rt△OEF中,OE=5,EF=12,∴OF=eq\r(OE2+EF2)=13.∴AE=OA+OE=13+5=18.∴tan∠ABC=eq\f(AE,BE)=eq\f(3,2).3.(1)证明:如图,连接DO.∵AD∥OC,∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.(第3题)又∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO.∴∠COD=∠COB.在△COD和△COB中,∵OD=OB,∠COD=∠COB,OC=OC,∴△COD≌△COB(SAS).∴∠CDO=∠CBO.∵BC是⊙O的切线,∴∠CBO=90°.∴∠CDO=90°.∴CD是⊙O的切线.(2)解:设⊙O的半径为r,则OD=r,OE=r+1,∵CD是⊙O的切线,∴∠EDO=90°.∴ED2+OD2=OE2.∴32+r2=(r+1)2.解得r=4.∴⊙O的半径为4.4.(1)证明:∵D为eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点,∴OD⊥AC.∵AC∥DE,∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线.(2)解:如图,∵D为eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点,∴AF=CF,∵AC∥DE,且OA=AE,(第4题)∴F为OD的中点,即OF=FD,在△AFO和△CFD中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF=CF,,∠AFO=∠CFD,,OF=DF,))∴△AFO≌△CFD(SAS).∴S△AFO=S△CFD.∴S四边形ACDE=S△ODE.在Rt△ODE中,OD=OA=AE=4,∴OE=8,∴DE=eq\r(OE2-OD2)=4eq\r(3),∴S四边形ACDE=S△ODE=eq\f(1,2)×OD×DE=eq\f(1,2)×4×4eq\r(3)=8eq\r(3).技巧3:圆中常用的作辅助线的八种方法类型一:作半径,巧用同圆的半径相等1.如图,两正方形彼此相邻,且大正方形ABCD的顶点A,D在半圆O上,顶点B,C在半圆O的直径上;小正方形BEFG的顶点F在半圆O上,E点在半圆O的直径上,点G在大正方形的边AB上.若小正方形的边长为4cm,求该半圆的半径.(第1题)类型二:连接圆上两点,巧用同弧所对的圆周角相等2.如图,圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点,DP⊥AC,垂足是P,DH⊥BM,垂足为H.求证:AP=BH.(第2题)类型三:作直径,巧用直径所对的圆周角是直角3.如图,⊙O的半径为R,弦AB,CD互相垂直,连接AD,BC.(1)求证:AD2+BC2=4R2;(2)若弦AD,BC的长是方程x2-6x+5=0的两个根(AD>BC),求⊙O的半径及点O到AD的距离.(第3题)类型四:证切线时辅助线作法的应用4.如图,△ABC内接于⊙O,CA=CB,CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由.(第4题)类型五:遇弦加弦心距或半径5.如图,在半径为5的⊙O中,AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP的长为()A.3B.4C.3eq\r(2)D.4eq\r(2)(第5题)(第6题)6.如图,AB是⊙O的弦,OH⊥AB于点H,点P是优弧上一点,若AB=2eq\r(3),OH=1,则∠APB=________.类型六:遇直径巧加直径所对的圆周角7.如图,在△ABC中,AB=BC=2,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,且点D是BC的中点.(1)求证:△ABC为等边三角形;(2)求DE的长.(第7题)类型七:遇切线巧作过切点的半径8.如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,点P是圆外一点,PA切⊙O于点A,且PA=PB.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)已知PA=eq\r(3),∠ACB=60°,求⊙O的半径.(第8题)类型八:巧添辅助线计算阴影部分的面积9.如图,点B,C,D都在⊙O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=6eq\r(3)cm.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)求由弦CD,BD与eq\o(BC,\s\up8(︵))所围成的阴影部分的面积(结果保留π).(第9题)答案1.解:如图,连接OA,OF.设OA=OF=rcm,AB=acm.(第1题)在Rt△OAB中,r2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)+a2,在Rt△OEF中,r2=42+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4+\f(a,2)))eq\s\up12(2),∴eq\f(a2,4)+a2=16+16+4a+eq\f(a2,4).解得a1=8,a2=-4(舍去).∴r2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))eq\s\up12(2)+82=80.∴r1=4eq\r(5),r2=-4eq\r(5)(舍去).即该半圆的半径为4eq\r(5)cm.点拨:在有关圆的计算题中,求角度或边长时,常连接半径构造等腰三角形或直角三角形,利用特殊三角形的性质来解决问题.2.证明:如图,连接AD,BD.(第2题)∵∠DAC,∠DBC都是eq\o(DC,\s\up8(︵))所对的圆周角.∴∠DAC=∠DBC.∵CD平分∠ACM,DP⊥AC,DH⊥CM,∴DP=DH.在△ADP和△BDH中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAP=∠DBH,,∠DPA=∠DHB=90°,,DP=DH.))∴△ADP≌△BDH.∴AP=BH.点拨:本题通过作辅助线构造圆周角,然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC=∠DBC,为证两三角形全等创造了条件.3.(1)证明:如图,过点D作⊙O的直径DE,连接AE,EC,AC.(第3题)∵DE是⊙O的直径,∴∠ECD=∠EAD=90°.又∵CD⊥AB,∴EC∥AB.∴∠BAC=∠ACE.∴eq\o(BC,\s\up8(︵))=eq\o(AE,\s\up8(︵)).∴BC=AE.在Rt△AED中,AD2+AE2=DE2,∴AD2+BC2=4R2.(2)解:如图,过点O作OF⊥AD于点F.∵弦AD,BC的长是方程x2-6x+5=0的两个根(AD>BC),∴AD=5,BC=1.由(1)知,AD2+BC2=4R2,∴52+12=4R2.∴R=eq\f(\r(26),2).∵∠EAD=90°,OF⊥AD,∴OF∥EA.又∵O为DE的中点,∴OF=eq\f(1,2)AE=eq\f(1,2)BC=eq\f(1,2),即点O到AD的距离为eq\f(1,2).点拨:本题作出直径DE,利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形,给解题带来了方便.4.解:CD与⊙O相切,理由如下:如图,作⊙O的直径CE,连接AE.(第4题)∵CE是⊙O的直径,∴∠EAC=90°.∴∠E+∠ACE=90°.∵CA=CB,∴∠B=∠CAB.∵AB∥CD,∴∠ACD=∠CAB.∴∠B=∠ACD.又∵∠B=∠E,∴∠ACD=∠E.∴∠ACE+∠ACD=90°,即OC⊥DC.又∵OC为⊙O的半径,∴CD与⊙O相切.5.C6.60°(第7题)7.(1)证明:如图,连接AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵点D是BC的中点,∴AD是线段BC的垂直平分线.∴AB=AC.又∵AB=BC,∴AB=BC=AC.∴△ABC为等边三角形.(2)解:如图,连接BE.∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°.∴BE⊥AC.∵△ABC是等边三角形,∴AE=EC,即E为AC的中点.又∵D是BC的中点,故DE为△ABC的中位线.∴DE=eq\f(1,2)AB=eq\f(1,2)×2=1.8.(1)证明:如图,连接OB,∵OA=OB,(第8题)∴∠OAB=∠OBA.∵PA=PB,∴∠PAB=∠PBA.∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA,即∠PAO=∠PBO.又∵PA是⊙O的切线,∴∠PAO=90°.∴∠PBO=90°.∴OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线.(2)解:如图,连接OP,∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.∵OA=OB,∴点O在线段AB的垂直平分线上.∴OP为线段AB的垂直平分线.又∵BC⊥AB,∴PO∥BC.∴∠AOP=∠ACB=60°.由(1)知∠PAO=90°.∴∠APO=30°.∴PO=2AO.∵在Rt△APO中,AO2+PA2=PO2,∴AO2+3=(2AO)2.又∵AO>0,∴AO=1.∴⊙O的半径为1.(第9题)9.(1)证明:如图,连接CO,交DB于点E,∴∠O=2∠CDB=60°.又∵∠OBE=30°,∴∠BEO=180°-60°-30°=90°.∵AC∥BD,∴∠ACO=∠BEO=90°,即OC⊥AC.又∵点C在⊙O上,∴AC是⊙O的切线.(2)解:∵OE⊥DB,∴EB=eq\f(1,2)DB=3eq\r(3)cm.在Rt△EOB中,∵∠OBE=30°,∴OE=eq\f(1,2)OB.∵EB=3eq\r(3)cm,∴由勾股定理可求得OB=6cm.∵∠CDB=∠DBO,DE=BE,∠CED=∠OEB,∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE=S△OBE.∴S阴影=S扇形COB=eq\f(60,360)π·62=6π(cm2).【题型讲解】【题型】一、判断点与圆的位置关系例1、若⊙A的半径为5,圆心A的坐标是(1,2),点P的坐标是(5,2),那么点P的位置为()A.在⊙A内 B.在⊙A上 C.在⊙A外 D.不能确定【答案】A【提示】先根据两点间的距离公式计算出PA的长,然后比较PA与半径的大小,再根据点与圆的关系的判定方法进行判断.【详解】∵圆心A的坐标是(1,2),点P的坐标是(5,2),∴AP==4<5,∴点P在⊙A内,故选A.例2、已知⊙O的半径为5,若PO=4,则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法判断【答案】A【提示】已知圆O的半径为r,点P到圆心O的距离是d,①当r>d时,点P在⊙O内,②当r=d时,点P在⊙O上,③当r<d时,点P在⊙O外,根据以上内容判断即可.【详解】∵⊙O的半径为5,若PO=4,∴4<5,∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内,故选:A.【题型】二、三角形外接圆的相关计算例3、有一题目:“已知;点为的外心,,求.”嘉嘉的解答为:画以及它的外接圆,连接,,如图.由,得.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全,还应有另一个不同的值.”,下列判断正确的是()A.淇淇说的对,且的另一个值是115°B.淇淇说的不对,就得65°C.嘉嘉求的结果不对,应得50°D.两人都不对,应有3个不同值【答案】A【提示】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案.【详解】解:如图所示:∵∠BOC=130°,∴∠A=65°,∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补.故∠A′=180°−65°=115°.故选:A.例4、过三点(2,2),(6,2),(4,5)的圆的圆心坐标为()A.(4,) B.(4,3) C.(5,) D.(5,3)【答案】A【提示】根据题意,可知线段AB的线段垂直平分线为x=4,然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4,然后设圆的半径为r,则根据勾股定理可求解.【详解】设圆的半径为r,则根据勾股定理可知:,解得r=,因此圆心的纵坐标为,因此圆心的坐标为(4,).故选A【题型】三、确定圆的条件例5、如图,、为⊙O的切线,切点分别为A、B,交于点C,的延长线交⊙O于点D.下列结论不一定成立的是()A.为等腰三角形 B.与相互垂直平分C.点A、B都在以为直径的圆上 D.为的边上的中线【答案】B【提示】连接OB,OC,令M为OP中点,连接MA,MB,证明Rt△OPB≌Rt△OPA,可得BP=AP,∠OPB=∠OPA,∠BOC=∠AOC,可推出为等腰三角形,可判断A;根据△OBP与△OAP为直角三角形,OP为斜边,可得PM=OM=BM=AM,可判断C;证明△OBC≌△OAC,可得PC⊥AB,根据△BPA为等腰三角形,可判断D;无法证明与相互垂直平分,即可得出答案.【详解】解:连接OB,OC,令M为OP中点,连接MA,MB,∵B,C为切点,∴∠OBP=∠OAP=90°,∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△OPB≌Rt△OPA,∴BP=AP,∠OPB=∠OPA,∠BOC=∠AOC,∴为等腰三角形,故A正确;∵△OBP与△OAP为直角三角形,OP为斜边,∴PM=OM=BM=AM∴点A、B都在以为直径的圆上,故C正确;∵∠BOC=∠AOC,OB=OA,OC=OC,∴△OBC≌△OAC,∴∠OCB=∠OCA=90°,∴PC⊥AB,∵△BPA为等腰三角形,∴为的边上的中线,故D正确;无法证明与相互垂直平分,故选:B.例6、如图,已知是的两条切线,A,B为切点,线段交于点M.给出下列四种说法:①;②;③四边形有外接圆;④M是外接圆的圆心,其中正确说法的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【提示】由切线长定理判断①,结合等腰三角形的性质判断②,利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半,判断③,利用反证法判断④.【详解】解:如图,是的两条切线,故①正确,故②正确,是的两条切线,取的中点,连接,则所以:以为圆心,为半径作圆,则共圆,故③正确,M是外接圆的圆心,与题干提供的条件不符,故④错误,综上:正确的说法是个,故选C.【题型】四、判断直线与圆的位置关系例7、如图,中,,,,以点为圆心,为半径作,当时,与的位置关系是()A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【答案】B【提示】根据中,,,求出AC的值,再根据勾股定理求出BC的值,比较BC与半径r的大小,即可得出与的位置关系.【详解】解:∵中,,,∴cosA=∵,∴AC=4∴BC=当时,与的位置关系是:相切故选:B【题型】五、利用切线的性质定理进行计算例8、如图,AB是⊙O的弦,AC与⊙O相切于点A,连接OA,OB,若∠O=130°,则∠BAC的度数是()A.60° B.65° C.70° D.75°【答案】B【提示】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题.【详解】解:∵AC与⊙O相切于点A,∴AC⊥OA,∴∠OAC=90°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∵∠O=130°,∴∠OAB==25°,∴∠BAC=∠OAC﹣∠OAB=90°﹣25°=65°.故选:B.例9、如图,AB是的切线,A切点,连接OA,OB,若,则的度数为()A.40° B.50° C.60° D.70°【答案】D【提示】根据切线的性质可得,再根据三角形内角和求出.【详解】∵AB是的切线∴∵∴故选D.例10、如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF上一点,则∠EPF的度数是()A.65° B.60° C.58° D.50°【答案】B【提示】连接OE,OF.求出∠EOF的度数即可解决问题.【详解】解:如图,连接OE,OF.

∵⊙O是△ABC的内切圆,E,F是切点,

∴OE⊥AB,OF⊥BC,

∴∠OEB=∠OFB=90°,

∵△ABC是等边三角形,

∴∠B=60°,

∴∠EOF=120°,

∴∠EPF=∠EOF=60°,

故选:B.例11、如图,△ABC内接于圆,,过点的切线交的延长线于点.则()A. B. C. D.【答案】B【提示】连接OC,根据切线的性质得出∠OCP=90°,再由∠P=28°得出∠COP,最后根据外角的性质得出∠CAB.【详解】解:连接OC,∵CP与圆O相切,∴OC⊥CP,∵∠ACB=90°,∴AB为直径,∵∠P=28°,∴∠COP=180°-90°-28°=62°,而OC=OA,∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP,即∠CAB=31°,故选B.例12、如图,分别与⊙O相切于两点,,则()A. B. C. D.【答案】C【提示】连接OA、OB,根据切线的性质定理,结合四边形AOBP的内角和为360°,即可推出∠AOB的度数,然后根据圆周角定理,即可推出∠C的度数.【详解】解:连接OA、OB,

∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,

∴OA⊥PA,OB⊥PB,

∵∠P=72°,

∴∠AOB=108°,

∵C是⊙O上一点,

∴∠ACB=54°.

故选:C.【题型】六、切线性质与判定的综合例13、如图,AB为⊙O的直径,点C是⊙O上一点,CD与⊙O相切于点C,过点A作AD⊥DC,连接AC,BC.(1)求证:AC是∠DAB的角平分线;(2)若AD=2,AB=3,求AC的长.【答案】(1)见解析;(2)【提示】(1)连接OC,根据切线的性质可得∠OCD=90°,再根据AD⊥DC,和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线;(2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°,再证明Rt△ADC∽Rt△ACB,对应边成比例即可求出AC的长.【详解】解:(1)证明:连接OC,如图,∵CD与⊙O相切于点C,∴∠OCD=90°,∴∠ACD+∠ACO=90°,∵AD⊥DC,∴∠ADC=90°,∴∠ACD+∠DAC=90°,∴∠ACO=∠DAC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OAC,∴AC是∠DAB的角平分线;(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠D=∠ACB=90°,∵∠DAC=∠BAC,∴Rt△ADC∽Rt△ACB,∴,∴AC2=AD•AB=2×3=6,∴AC=例14、如图,在△ABC中,,以为直径的⊙O与相交于点,过点作⊙O的切线交于点.(1)求证:;(2)若⊙O的半径为,,求的长.【答案】(1)见详解;(2)4.8.【提示】(1)连接OD,由AB=AC,OB=OD,则∠B=∠ODB=∠C,则OD∥AC,由DE为切线,即可得到结论成立;(2)连接AD,则有AD⊥BC,得到BD=CD=8,求出AD=6,利用三角形的面积公式,即可求出DE的长度.【详解】解:连接OD,如图:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,∴∠B=∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∵DE是切线,∴OD⊥DE,∴AC⊥DE;(2)连接AD,如(1)图,∵AB为直径,AB=AC,∴AD是等腰三角形ABC的高,也是中线,∴CD=BD=,∠ADC=90°,∵AB=AC=,由勾股定理,得:,∵,∴;【题型】七、利用切线长定理进行计算例15、如图,P为⊙外一点,PA、PB分别切⊙于A、B两点,若,则()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【提示】根据切线长定理即可得到答案.【详解】因为PA和PB与⊙相切,根据切线长定理,所以PA=PB=3,故选B.例16、如图,PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是()A.PA=PB B.∠BPD=∠APD C.AB⊥PD D.AB平分PD【答案】D【提示】先根据切线长定理得到PA=PB,∠APD=∠BPD;再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB,根据菱形的性质,只有当AD∥PB,BD∥PA时,AB平分PD,由此可判断D不一定成立.【详解】∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB,所以A成立;∠BPD=∠APD,所以B成立;∴AB⊥PD,所以C成立;∵PA,PB是⊙O的切线,∴AB⊥PD,且AC=BC,只有当AD∥PB,BD∥PA时,AB平分PD,所以D不一定成立,故选D.【题型】八、三角形内切圆的相关计算例17、如图,△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=5,BC=13,CA=12,则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A.4 B.6.25 C.7.5 D.9【答案】A【提示】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°,继而证明四边形AEOF为正方形,设⊙O的半径为r,利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】∵AB=5,BC=13,CA=12,∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°,∵⊙O为△ABC内切圆,∴∠AFO=∠AEO=90°,且AE=AF,∴四边形AEOF为正方形,设⊙O的半径为r,∴OE=OF=r,∴S四边形AEOF=r²,连接AO,BO,CO,∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC,∴,∴r=2,∴S四边形AEOF=r²=4,故选A.例18、如图,内心为,连接并延长交的外接圆于,则线段与的关系是()A. B. C. D.不确定【答案】A【提示】连接,如图,根据三角形内心的性质得,,再根据圆周角定理得到,然后利用三角形外角性质和角度的代换证明,从而可判断.【详解】连接,如图,内心为,,,,,即,.故选A.【题型】九、圆内接四边形的相关计算例19、如图,四边形内接于,,为中点,,则等于()A. B. C. D.【答案】A【提示】根据,为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD,再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°,即可求出答案.【详解】∵为中点,∴,∴∠ADB=∠ABD,AB=AD,∵,∴∠CBD=∠ADB=∠ABD,∵四边形内接于,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴3∠ADB+60°=180°,∴=40°,故选:A.例20、如图,AB为⊙O的直径,点C,点D是⊙O上的两点,连接CA,CD,AD.若∠CAB=40°,则∠ADC的度数是()A.110° B.130° C.140° D.160°【答案】B【提示】连接BC,如图,利用圆周角定理得到∠ACB=90°,则∠B=50°,然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数.【详解】解:如图,连接BC,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=90°﹣∠CAB=90°﹣40°=50°,∵∠B+∠ADC=180°,∴∠ADC=180°﹣50°=130°.故选:B.例21、如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是()A.70° B.110° C.130° D.140°【答案】B【提示】根据圆内接四边形的对角互补计算即可.【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=70°,∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°,故选:B.【题型】十、判断圆与圆的位置关系例22、已知⊙A与⊙B外切,⊙C与⊙A、⊙B都内切,且AB=5,AC=6,BC=7,那么⊙C的半径长是()A.11 B.10 C.9 D.8【答案】C【提示】通过外切、内切的性质,列出方程组求解.【详解】设⊙A的半径为X,⊙B的半径为Y,⊙C的半径为Z.解得故选C例23、如果两个圆的圆心距为3,其中一个圆的半径长为4,另一个圆的半径长大于1,那么这两个圆的位置关系不可能是()A.内含 B.内切 C.外切 D.相交【答案】C【提示】首先利用一个圆的半径为4,另一个圆的半径大于1来求得两圆的半径之差的范围,然后根据圆心距d与两半径的关系判断即可.【详解】解:∵一个圆的半径R为4,另一个圆的半径r大于1,∴R﹣r<4﹣1,R+r>5即:R﹣r<3,∵圆心距为3,∴两圆不可能外切,故选:C.与圆有关的位置关系(达标训练)一、单选题1.图,在平面直角坐标系中,以M(3,5)为圆心,AB为直径的圆与x轴相切,与y轴交于A,C两点,则tan∠ACM的值是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】设切点为D,连接MD,过点C作CE⊥MD于点E,可知MD⊥x轴,从而AC∥MD,∠ACM=∠CME,根据M的坐标求出ME的长,利用正切的定义进行计算即可.【详解】图,设切点为D,连接MD,过点C作CE⊥MD于点E,∵AB为直径的圆与x轴相切,∴MD⊥x轴,∴AC∥MD,∴∠ACM=∠CME,∵M(3,5)即MD=MC=5,OD=CE=3,∴,∴,故选:C.【点睛】本题考查了切线的性质,圆的性质,勾股定理及解直角三角形,熟练掌握切线的性质是解题的关键.2.如图,已知⊙O上三点A、B、C,连接AB、AC、OB、OC,切线BD交OC的延长线于点D,∠A=25°,则∠D的度数为(

)A.20° B.30° C.40° D.50°【答案】C【分析】根据切线的性质得∠OBD=90°,再根据圆周角定理得到∠BOC=50°,然后利用互余计算出∠D的度数.【详解】解:∵BD为切线,∴OB⊥BD,∴∠OBD=90°,∵∠BOC=2∠A=2×25°=50°,∴∠D=90°-∠BOD=90°-50°=40°.故选:C.【点睛】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.3.如图,的内接四边形中,,则为(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】直接利用圆内接四边形的性质求解.【详解】解:∵四边形为的内接四边形,∴,∵,∴.故选:B.【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质.掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.4.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,点E为边CD上任意一点(不与点C,点D重合),连接BE,若∠A=60°,则∠BED的度数可以是(

).A.110° B.115° C.120° D.125°【答案】D【分析】根据圆内接四边形对角互补,可求出∠C的度数,然后利用三角形的外角可得∠DEB>∠C,即可解答.【详解】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∵∠A=60°,∴∠C=180°-∠A=120°,∵∠DEB是△DCE的一个外角,∴∠DEB>∠C,∴∠DEB的度数可能是:125°,故选:D.【点睛】本题考查了圆周角定理,熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键.5.如图,的直径与弦的夹角为25°,过点C的切线与的延长线交于P,则的度数为(

)°.A.25 B.30 C.35 D.40【答案】D【分析】连接OC,证明,利用,求出,即可求出.【详解】解:连接OC,∵PC切⊙O与点C,∴,∵,∴,∴.故选:D【点睛】本题考查圆周角定理,切线性质,解题的关键是求出,.6.下列说法正确的是()A.为调查全国人民对粮食的关注度,应采用全面调查B.“三点确定一个圆”是必然事件C.成语“水中捞月”是随机事件D.随意掷一枚5角钱币,落地后每一面向上的机会一样【答案】D【分析】根据随机抽样分类:抽样调查及全面调查及定义,事件分类:必然事件、随机事件及不可能事件及相关事件定义,概率定义逐项验证即可得到答案.【详解】解:A、为调查全国人民对粮食的关注度,适合使用抽样调查,不符合题意;B、只有不在同一直线上的三点确定一个圆,所以“三点确定一个圆”是不确定事件,不符合题意;C、成语“水中捞月”是不可能事件,不符合题意;D、随意掷一枚5角钱币,落地后每一面向上的机会一样,符合题意.故选:D.【点睛】本题考查概率统计相关概念,熟记随机抽样分类及定义、事件的分类及定义、概率定义等知识点是解决问题的关键.二、填空题7.如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于点C.若∠BCD=50°,则∠ABC的大小为______°.【答案】40【分析】直接利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出答案.【详解】解:连接CO,∵CD切⊙O于点C,∴CO⊥CD,∴∠OCD=90°,∵∠BCD=50°,∴∠OCB=90°-50°=40°,∵CO=BO,∴∠ABC=∠OCB=40°.故答案为:40.【点睛】此题主要考查了切线的性质,正确得出∠OCB的度数是解题关键.8.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是______.【答案】110°##110度【分析】根据圆的内接四边形对角互补计算∠ADC即可.【详解】解:∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠ABC+∠ADC=180°.∵∠ABC=70°,∴∠ADC=180°-70°=110°.故答案为110°.【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补的性质,熟练掌握这个性质是解题的关键.三、解答题9.如图,已知AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.(1)求证:AB=AC;(2)求证:DE是⊙O的切线;(3)若⊙O的半径为6,∠BAC=60°,则DE=________.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).【分析】(1)连接AD,由直径所对的圆周角度数及中点可证AD是BC的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质可得结论;(2)连接OD,由中位线的性质可得OD∥AC,由平行的性质与切线的判定可证;(3)易知是等边三角形,由等边三角形的性质可得CB长及度数,利用直角三角形30度角的性质及勾股定理可得结果.【详解】(1)连接AD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.又∵DC=BD,AD是BC的垂直平分线∴AB=AC.(2)连接OD.∵DE⊥AC,∴∠CED=90°.∵O为AB中点,D为BC中点,∴OD∥AC.∴∠ODE=∠CED=90°.∴DE是⊙O的切线.(3)由(1)得是等边三角形在中,根据勾股定理得【点睛】本题考查了圆与三角形的综合,涉及的知识点主要有圆的切线的判定、圆周角定理的推论、垂直平分线的性质、等边三角形与直角三角形的性质,灵活的将图形与已知条件相结合是解题的关键.10.如图,AD是⊙O的弦,AB经过圆心O交⊙O于点C,∠A=∠B=30°,连接BD.求证:BD是⊙O的切线.【答案】证明见解析【分析】连接OD,求出∠ODB=90°,根据切线的判定推出即可.【详解】如图,连接OD,∵OD=OA,∴∠ODA=∠DAB=30°,∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°,∴∠ODB=180°﹣∠DOB﹣∠B=180°﹣60°﹣30°=90°,即OD⊥BD,∴直线BD与⊙O相切.【点睛】此题主要考查了切线的判定,三角形的内角和以及三角形的外角性质,关键是证明OD⊥BD.与圆有关的位置关系(提升测评)一、单选题1.如图,四边形内接于,,则的度数是()A. B. C. D.【答案】C【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可.【详解】解:∵四边形内接于,∴∵,∴,故选:C.【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.2.如图,,分别与相切于点,,过圆上点作的切线分别交,于点,,若,则的周长是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据切线长定理,得到:,进而推出的周长等于,即可得解.【详解】解:∵,分别与相切于点,,∴,∵过圆上点作的切线分别交,于点,,∴,∴的周长是:;故选B.【点睛】本题考查切线长定理.熟练掌握切线长相等

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