专题20一次函数特殊图形的存在性问题-

专题20一次函数特殊图形的存在性问题【考法导图】◎考法类型1直角三角形存在性问题方法技巧：分类讨论哪个角为直角，一般分三种情况，简称“两垂线+一圆”1．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，，是直线与两坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点．(1)求，，三点的坐标；(2)点是折线上一动点．①如图（1），当点是线段的中点时，在轴上找一点，使最小；用直尺和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点的坐标；②是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，(2)①作图见解析，；②点的坐标为或【分析】（1）根据直线与坐标轴交点，解方程即可得到结论；（2）①如图1，根据中点坐标公式得到，点关于轴的对称点的坐标为，设直线的解析式为，求得，于是得到结论；②当点在上时，由得到，根据等腰直角三角形的性质得到；当点在上时，如图，设交轴于点，根据全等三角形的性质得到结论．【详解】（1）解：在中，令，得；令，得，，，把代入，得，直线为，在中，令，得，点的坐标为；（2）解：①如图所示：点是的中点，，，，点关于轴的对称点的坐标为，设直线的解析式为，把，代入，得，解得，，故直线解析式为，点在轴上，令，得点的坐标为；②存在，理由如下：当点在上时，设交轴于点，过作轴，如图1所示：，为等腰直角三角形，即，，为等腰直角三角形，，，，，，点的坐标为；当点在上时，设交轴于点，如图2所示：在与中，，，点的坐标为，，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，由图可知，点是直线与直线交点，联立方程组，解得，点的坐标为．【点睛】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，联立方程组求解即可解决问题．2．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是的中点．(1)求直线的解析式；(2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标；(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在；或【分析】（1）求出C点坐标，代入解析式可求解；（2）先根据题意，求出，设点D，再根据即可求解；（3）假设存在，设点P的坐标为，分两种情况讨论，①，②，由直角三角形的性质可求解．【详解】（1）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则有：时，；时，；A，B，，点C是的中点，，C，设直线的解析式为：，代入A，C可得：，解得：，直线的解析式为：；（2）A，C，，，，设点D，则，，解得：或，点D的坐标为或；（3）假设存在，设点P的坐标为，A，B，C，，，，因为确定，所以是直角三角形需分2种情况分析：①，此时点P与原点O重合，坐标为；②，，即，解得：，此时点P的坐标为，综上所述，满足条件的P点的坐标为或．【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形性质，勾股定理等，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．3．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点．(1)填空：m＝______，b＝______；(2)求的面积；(3)在线段上是否存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(4)点P在线段上，连接，若是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标．【答案】(1)3，6(2)的面积为50(3)存在，点M的坐标为(4)所有符合条件的点P坐标为或【分析】（1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出；（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积；（3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标；（4）由是直角三角形、是锐角，分和两种情况讨论，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）∵是一次函数与的图象的交点，∴，解得，∴，解得，故答案为：3，6；（2）一次函数中，当时，；当时，，∴，一次函数中，当时，，∴，∴，∴，∴的面积为50；（3）如图：在线段上存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为，∵的面积与四边形的面积比为，∴，∴，即，∴，∵点M在线段上，∴点M的坐标为；（4）点P在线段上，是锐角，若是直角三角形，则或，设点，∵，∴，，，当时，，∴，整理得，，解得或（舍去），∴点P坐标为；当时，，∴，解得，∴点P坐标为；综上所述，所有符合条件的点P坐标为或．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．4．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.(1)点C的坐标为(2)求原点O到直线的距离；(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标.【答案】(1)；(2)；(3)存在，点的坐标为或【分析】(1)令，即可求解；(2)首先可求得点A、B的坐标，根据两点间距离公式可求得的长，再根据，设原点到直线的距离为，列方程即可求解；(3)设点的坐标为，根据题意可知不为直角，分两种情况，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：令，则，解得：，所以点的坐标为；（2）解：代入A、两点可得：，，解得：，，故，，，，设原点到直线的距离为，则，解得：，故原点到直线的距离为；（3）解：存在，设点的坐标为，根据题意可知不为直角，所以当是直角三角形分两种情况：①当时，此时点的坐标为；②当，，故，解得：，此时点的坐标为；综上所述，满足条件的点的坐标为或．【点睛】本题考查了两点间距离公式，坐标与图形，求不规则图形的面积，直角三角形的判定，解答的关键是采用分类讨论的思想．◎考法类型2等腰三角形存在性问题方法技巧：分类讨论哪两条边相等，一般分三种情况，简称“两圆+一中垂线”5．（2022秋·山东济南·八年级校考期末）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．(1)求点A的坐标；(2)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点D，E，若，求a的值．(3)在（2）的条件下，点Q为x轴负半轴上一点，直接写出为等腰三角形时Q点的坐标．【答案】(1)(2)或4；(3)或或．【分析】（1）联立两条直线的解析式即可得出点A的坐标；（2）由点P的坐标可得出点D，E的坐标，根据，求解可得a的值；（3）由（2）可得点D，E的坐标，再结合等腰三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：联立两条直线的解析式得：，解得：∴；（2）解：由题意可知，，，∴，解得或，∴a的值为或4；（3）设点Q的横坐标为b，，当时，，，若是等腰三角形，分以下三种情况：当时，，解得或（不合题意，舍去）；时，，解得或（不合题意，舍去）；，此时x轴上不存在符合题意的点D，舍去；当时，，，若是等腰三角形，分以下三种情况：当时，，解得或（不合题意，舍去）；时，，解得（不合题意，舍去）；，此时x轴上不存在符合题意的点D，舍去；故点Q的坐标为或或．【点睛】本题为一次函数的综合应用，主要考查待定系数法、函数图象的交点、等腰三角形的性质、方程思想等知识．分类思想的运用是解题的关键．6．（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将沿直线对折，使点A和点B重合，直线与x轴交于点C，与交于点D．(1)求A，B两点的坐标；(2)求线段的长；(3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)点A的坐标为，点的坐标为(2)(3)存在，点坐标为，，，【分析】（1）令，求出，，求出，即可得出答案；（2）设，则，，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得出的长，然后求出的长，最后根据勾股定理求出的值即可；（3）分，，三种情况分别求出点P的坐标即可．【详解】（1）解：令，则，解得：；令，则，故点A的坐标为，点的坐标为．（2）解：设，则，，∵，∴，即，解得：，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，，．（3）解：当时，点与点重合，此时；当时，或；当时，∵，∴，∴；综上分析可知，点坐标为，，，．【点睛】本题主要考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握勾股定理，利用数形结合的思想，进行分类讨论．7．（2021秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点为轴上一动点，连接．(1)求点、的坐标；(2)当点在轴负半轴上，且的面积为6时，求点的坐标；(3)是否存在点使得为等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，点的坐标为或或或【分析】（1）令和即可求得点的坐标（2）由为的边上的高，利用的面积即可求得点的坐标（3）分三种情况讨论，即可求得点的坐标【详解】（1）在中，令，得，所以点的坐标为；令，得，所以点的坐标为．（2）设点的坐标为，易得，．因为为的边上的高，所以，解得，所以点的坐标为．（3）因为，，所以．当为等腰三角形时，需分以下三种情况：①当时，因为，所以．又因为，所以此时点的坐标为或；②当时，因为，所以，所以此时点的坐标为；③当时，如图．设，则，，所以，，所以解得，所以此时点的坐标为．综上所述，存在点使得为等腰三角形，点的坐标为或或或．【点睛】本题考查了一次函数的应用，属于综合题，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得点的坐标8．（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点，轴于点．(1)求点和点的坐标；(2)求直线的函数表达式；(3)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）把代入可得点的坐标，把代入可得点的坐标；（2）根据待定系数法可求得直线的函数表达式；（3）分三种情况：①当点为等腰的顶点，即时；②当点为等腰的顶点，即时；③当点为等腰的顶点，即时，分别进行讨论即可．【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，∴当时，，解得：，∴，∵点在直线上，∴当时，，∴，∴．∴点的坐标为，点的坐标为．（2）设直线的函数表达式为，∵点和点在直线上，∴，解得：，∴直线的函数表达式为．（3）∵，轴于点，∴，又∵，∴，，∴，①当点为等腰的顶点，即时，则点与点重合，∴此时点的坐标为；②如图，当点为等腰的顶点，即时，∵，，∴此时点的坐标为或；③当点为等腰的顶点，即时，∵，，∴为的中点，即．∵，，∴此时点的坐标为．综上可知，在轴上存在点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或．【点睛】本题考查一次函数的应用，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质．分类讨论是解题的关键．◎考法类型3等腰直角三角形存在性问题方法技巧：分类讨论哪个角为直角且哪两条边相等9．（2022秋·陕西榆林·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线相交于点C，过B作x轴的平行线l，点P为直线l上的动点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)若，求点P的坐标；(3)在第一象限内是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；；(2)点P的坐标为或；(3)点E的坐标为或．【分析】（1）对于直线，分别令x、y等于0，即可求得点A、B坐标，解方程组即可求得点C的坐标；（2）根据三角形的面积公式列式，求解即可；（3）分①当点B为直角顶点，②当点A为直角顶点时，过点E作y轴或x轴的垂线，构造全等三角形，分别求出相应的点E的坐标即可．【详解】（1）解：对于，当时，；当时，，解得，∴．联立解得∴点C的坐标为；（2）解：∵；，，点P在直线l上，∴，点P的纵坐标为6．解得，∴点P的坐标为或；（3）解：①当点B为直角顶点时，如图1：过点E作轴于点G，则．∴，∴，∴，∴，∴此时点E的坐标为；②当点A为直角顶点时，如图2：作轴于点H，则，∴，∴，∴，∴，∴此时点E的坐标为．综上可知，第一象限内存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，点E的坐标为或．【点睛】此题考查一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确的作出所需要的辅助线，构造直角三角形、全等三角形，解题过程中还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用．10．（2022春·陕西西安·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A（－1，0）、交y轴于点B（0，3）．(1)求直线l对应的函数表达式；(2)在直线l沿x轴正方向平移t个单位长度，得到直线m．若直线m上存在点C，使得△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，求t的值．【答案】(1)y＝3x＋3；(2)t＝．【分析】（1）用待定系数法求解析式；（2）过点C作CG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥CG于点H，易证△BCH≌△CAG（AAS），设OG＝x，根据全等三角形的性质可得方程2−x＝x，解方程可得C点坐标，即可求出t的值．（1）解：设直线l的函数表达式：y＝kx＋b，代入A（−1，0），B（0，3），得，解得，∴直线l对应的函数表达式：y＝3x＋3；（2）过点C作CG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥CG于点H，图象如下：则∠BHC＝∠CGA＝90°，∴∠HBC＋∠HCB＝90°，∵△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴∠BCA＝90°，BC＝AC，∴∠BCH＋∠GCA＝90°，∴∠HBC＝∠GCA，∴△BCH≌△CAG（AAS），∴BH＝CG，HC＝AG，设OG＝x，则AG＝HC＝1＋x，∴CG＝3−（1＋x）＝2−x，∴2−x＝x，解得x＝1，∴C（1，1），设直线l平移后的解析式为y＝3（x−t）＋3，代入C点坐标，得3（1−t）＋3＝1，解得t＝．【点睛】本题考查了一次函数与等腰直角三角形的综合，熟练掌握一次函数的性质与等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是解题的关键，本题综合性较强．11．（2022春·重庆·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线为交y轴于点，交x轴于点B，经过点且平行于y轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．(1)求点B的坐标；(2)求的面积（用含n的代数式表示）；(3)当时，在第一象限找点C，使为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标．【答案】(1)（4，0）(2)(3)或或，或，【分析】（1）将代入得，即知，令得；（2）根据题意得，，，可得的面积为；（3）由，得，设，，而，可得，，，分三种情况：①若、为直角边，则，，即，可得，②若，为直角边，，得；③若，为