专题26一次函数与图形变换（3大类型）

专题26一次函数与图形变换（3大类型）题型归纳题型归纳题型1：一次函数与平移变换题型2：一次函数与轴对称变换直线两直线平行⟺两直线相交⟺两直线重合⟺两直线垂直⟺题型3：一次函数与旋转变换直线的对称规律（1）直线y=kx+b关于x轴对称得到直线y=kxb（2）直线y=kx+b关于y轴对称得到直线y=kx+b（3）直线y=kx+b关于原点对称得到直线y=kxb典例分析典例分析【考点1：一次函数与平移变换】【典例1】（2023•碑林区校级模拟）将直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，则k，b的值分别为（）A．k＝2，b＝﹣6 B．k＝2，b＝6C．k＝﹣2，b＝﹣6 D．k＝﹣2，b＝6【答案】A【解答】解：直线y＝kx向右平移3个单位的解析式为y＝k（x﹣3）＝kx﹣3k，∵直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，∴k＝2，b＝﹣3k，∴b＝﹣6．故选：A．【变式11】（2022秋•碑林区校级期末）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3【答案】D【解答】解：直线y＝2x向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2（x﹣2）+1，即y＝2x﹣3．故选：D．【变式12】（2022秋•沙坪坝区校级期末）将直线y＝﹣2x+6向左移1个单位，所得到的直线解析式为（）A．y＝﹣2x+7 B．y＝﹣2x+5 C．y＝﹣2x+8 D．y＝﹣2x+4【答案】D【解答】解：根据题意，将直线y＝﹣2x+6向左平移了1个单位后，得：y＝﹣2（x+1）+6＝﹣2x﹣2+6＝﹣2x+4，即该直线的解析式为：y＝﹣2x+4．故选：D．【变式13】（2022秋•皇姑区校级期末）将直线y＝3x向上平移2个单位长度，所得直线的表达式为（）A．y＝3x﹣2 B．y＝3（x+2） C．y＝3（x﹣2） D．y＝3x+2【答案】D【解答】解：将直线y＝3x向上平移2个单位长度，所得直线的表达式为：y＝3x+2．故选：D．【考点2：一次函数与轴对称变换】【典例2】（2021春•东昌府区期末）在直角坐标系中，已知A，B是x轴上的两点，且A（6，0），AB＝10，点M是y轴上一点，连接BM，将△ABM沿过A，M的直线AM折叠，点B恰好落在y轴的点B′处．（1）求直线AB′的函数表达式；（2）求直线AM的函数表达式．【答案】（1）y＝﹣x+8或y＝x﹣8(2)y＝﹣x+3或y＝x﹣3．【解答】解：（1）∵A（6，0），AB＝10，∴OA＝6，AB′＝10，∵AB′2＝AO2+B′O2∴OB′＝8，∴B′（0，±8），设直线AB′的解析式为y＝kx±8，把A（6，0）代入得，0＝6k±8，∴k＝﹣或，∴直线AB′的函数表达式为y＝﹣x+8或y＝x﹣8；（2）在△MOB中，设OM＝a，则MB＝OB′﹣MO＝8﹣a，∵AB＝10，OA＝6，∴OB＝4，∴OB2＝MB2﹣MO2即16＝（8﹣a）2﹣a2，∴a＝3，M（0，±3），设直线MA的解析式为y＝kx+b，∴或，解得：或，∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3或y＝x﹣3．【变式21】（2022•雁塔区校级三模）一次函数y＝﹣kx+3的图象关于x轴对称后经过（2，﹣1），则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【答案】A【解答】解：∵（2，﹣1）关于x轴对称点为（2，1），∴一次函数y＝﹣kx+3的图象过点P（2，1），∴1＝﹣2k+3，解得：k＝1，故选：A．【变式22】（2022•武功县一模）已知直线y＝2x+m与直线y＝nx+4（n≠0）关于y轴对称，则直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为（）A． B．1 C． D．2【答案】A【解答】解：∵直线y＝2x+m与直线y＝nx+4（n≠0）关于y轴对称，∴m＝4，﹣﹣＝0，∴m＝4，n＝﹣2，∴直线y＝mx+n的解析式为y＝4x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2；令y＝0，则x＝，∴直线y＝mx+n与坐标轴的交点为（，0）和（0，﹣2），∴直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为：×＝，故选：A．【变式23】（2023•榆阳区模拟）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一次函数y＝2x+1关于y轴对称，则一次函数y＝kx+b的表达式为（）A． B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣1 D．【答案】B【解答】解：一次函数y＝2x+1，则与该一次函数的图象关于y轴对称的一次函数的表达式为：y＝2（﹣x）+1，即y＝﹣2x+1．故选：B．【考点3：一次函数与旋转变换】【典例3】（2021春•碑林区校级期中）如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）求△AOB的面积．（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．【答案】（1）；（2）C（1，），y＝x+．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），∴3＝2+b，解得b＝1，∴y＝2x+1，令y＝0，则x＝﹣；令x＝0，则y＝1，∴A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1∴△AOB的面积＝＝；（2）作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，∴OD＝OB﹣BD＝，∴C（1，），设直线l的解析式为y＝mx+n，把A（﹣，0），C（1，）代入得，解得，∴直线l的解析式为y＝x+．【变式31】（2021秋•峡江县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．【答案】y＝x﹣3．【解答】解：作AD⊥AB交BC于D，过点D作DH⊥x轴于H，∵∠OAB+∠DAH＝90°，∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠OAB＝∠ADH，又∵∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∴∠ADB＝45°，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，在△AOB和△DHA中，，∴△AOB≌△DHA（AAS），∴AH＝OB，HD＝OA，∵OB＝3，OA＝，∴OH＝AH+OA＝3+＝，HD＝OA＝，∴D（，﹣），设直线BC为y＝kx﹣3，∴﹣＝k﹣3，∴k＝，∴y＝x﹣3．【变式32】（秋•宿迁期末）如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝，点A的坐标为（，）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由一次函数y＝（m+1）x+4，令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵S△OAB＝4，∴×OA×OB＝4，解得OA＝2，∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）代入y＝（m+1）x+4，得m＝1，故答案为：1；﹣2，0；（2）∵OP＝4OA，OA＝2，∴P（8，0），设直线BP的解析式为y＝kx+b，将（8，0），（0，4）代入得，解得k＝﹣，b＝4，∴直线BP的解析式为y＝﹣x+4；（3）设直线AB绕点B顺时针旋转45°得到直线BE，如图，过点A作AF⊥AB交BE于点F，作FH⊥x轴于H．则∠AHF＝∠BOA＝90°，AF＝BA，∠FAH＝∠ABO，∴△AOB≌△FHA（AAS），∴FH＝AO＝2，AH＝BO＝4，∴HO＝6，∴F（﹣6，2），设直线BE的解析式为y＝mx+n，则把点F和点B的坐标代入，可得，解得，∴直线BE的解析式为y＝x+4．【典例4】（2020秋•盱眙县期末）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：（1）求：直线CD的函数关系式；（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，①求证：∠OEF＝45°；②求：点F的坐标；（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．【答案】（1）y＝x+3(2)①略②F（﹣，）（3）（﹣，﹣）、（﹣8，﹣3）、（﹣，）；【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，∴A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，∴△AOB≌△COD，∴CO＝OA＝3，OD＝OB＝4，∴C（0，3），D（﹣4，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线CD的解析式为y＝x+3；（2）①由（1）知，△AOB≌△COD，∴OB＝OD，∠ABO＝∠CDO，∵OF⊥OE，∠COF+∠COE＝90°，∵∠COE+∠DOF＝90°，∴∠BOE＝∠DOF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF，∴OE＝OF，∵∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠OEF＝45°；②）如图2，∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4①，由（1）知，直线CD的解析式为y＝x+3②；联立①②得，E（，），过点F作FG⊥OD．过点E作EH⊥OB，由①知，△BOE≌△DOF，∴∠BOE＝∠DOF，OE＝OF在△OHE和△OGF中，，∴△OHE≌△OGF，∴OG＝OH＝，FG＝EH＝∴F（﹣，），（3）如图1，①∠DP'Q'＝90°，∵△P'Q'D≌△OCD，∴DP'＝OD＝4，∵∠CDO＝∠P'DQ'，∴cos∠P'DQ'＝，sin∠P'DQ'＝，作P'H⊥x轴，则DH＝DP'•cos∠PDQ＝，P'H＝DP'•cos∠PDQ＝，∴OH＝OD+DH＝∴点P'坐标（﹣，﹣）；②∠DQP＝90°，∵△PQD≌△COD，（SAS）∴DQ＝OD＝4，PQ＝3，∴点P坐标（﹣8，﹣3）；③∠DP''Q''＝90°，∵△P''Q''D≌△OCD，（SAS）∴DP''＝OD＝4，P''Q''＝OC＝3，∴P''G＝DP''•sin∠CDO＝，DG＝DP''•cos∠CDO＝，∴OG＝，∴点P坐标（﹣，）；即：△DPQ和△DOC全等时，点P的坐标为（﹣，﹣）、（﹣8，﹣3）、（﹣，）；【变式4】（莆田一模）规定：在平面直角坐标系内，某直线l1绕原点O顺时针旋转90°，得到的直线l2称为l1的“旋转垂线”．（I）求出直线y＝﹣x+2的“旋转垂线”的解析式；（II）若直线y＝k1x+1（k1≠0）的“旋转垂线”为直线y＝k2x+b．求证：k1•k2＝﹣1．【答案】（1）y＝x﹣2（2）略【解答】解：（I）直线y＝﹣x+2经过点（2，0）和（0，2），则这两点绕原点O顺时针旋转90°，得到的对应点为（0，﹣2）和（2，0），设直线y＝﹣x+2的“旋转垂线”的解析式为y＝kx+b，把（0，﹣2）和（2，0），代入y＝kx+b，可得，解得，∴直线y＝﹣x+2的“旋转垂线”的解析式为y＝x﹣2；（II）证明：直线y＝k1x+1（k1≠0）经过点（﹣，0）和（0，1），则这两点绕原点O顺时针旋转90°，得到的对应点为（0，）和（1，0），把（0，）和（1，0），代入y＝k2x+b，可得，∴，∴k1k2＝﹣1．夯实基础夯实基础1．（2023•渭滨区一模）将直线y＝2x﹣1绕原点旋转180°后，所得直线的函数表达式为（）A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x+1 C． D．y＝2x﹣1【答案】A【解答】解：∵直线y＝2x﹣1，∴直线与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，﹣1）．∵两点绕原点旋转180°后对应的点坐标为（﹣，0），（0，1），∴设旋转后的直线解析式为y＝kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线解析式为y＝2x+1．故选：A．2．（2022•澄城县二模）在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣3是由直线y＝2x+b经过平移得到的，则下列各点在直线y＝kx﹣3上的是（）A．（﹣2，1） B．（1，﹣2） C．（3，3） D．（5，13）【答案】C【解答】解：∵直线y＝kx﹣3是由直线y＝2x+b经过平移得到的，∴k＝2，∴一次函数为y＝2x﹣3，当x＝﹣2时，y＝﹣7，（﹣2，1）不在函数y＝2x﹣3的图象上；当x＝1时，y＝﹣1，（1，﹣2）不在函数y＝2x﹣3的图象上；当x＝3时，y＝3，（3，3）在函数y＝2x﹣3的图象上；当x＝5时，y＝7，（5，13）不在函数y＝2x﹣3的图象上；故选：C．3．（2022•碑林区校级三模）若直线y＝kx+2与直线y＝﹣3x+b关于直线x＝﹣1对称，则k、b值分别为（）A．k＝﹣3、b＝﹣2B．k＝3、b＝﹣2 C．k＝3、b＝﹣4 D．k＝3、b＝4【答案】C【解答】解：把x＝0代入y＝kx+2得，y＝2，∴直线y＝kx+2与y轴交点为（0，2），∵点（0，2）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，2），∴点为（﹣2，2）在直线y＝﹣3x+b上，代入直线y＝﹣3x+b，可得6+b＝2，解得b＝﹣4，∴一次函数y＝﹣3x﹣4与y轴交点为（0，﹣4），∵（0，﹣4）关于直线x＝﹣1的对称点（﹣2，﹣4）在直线y＝kx+2上，∴代入直线y＝kx+2，可得﹣2k+2＝﹣4，解得k＝3．故选：C．4．（2021•雁塔区校级三模）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（）A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．y＝﹣x+5【答案】A【解答】解：由题意得，直线AB的解析式为y＝2x+b，∵直线AB恰好过点（6，2），∴2＝2×6+b，解得b＝﹣10，∴直线AB的表达式为y＝2x﹣10，故选：A．5．（2023春•雨花区校级月考）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿x轴向右平移2个单位后恰好经过原点，则b的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【答案】C【解答】解：∵平移后抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）+b，平移2个单位后恰好经过原点，∴将（0，0）代入解析式可得0＝﹣4+b，∴b＝4．故选：C．6．（2023•秦都区校级二模）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx+4（k≠0）向右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【答案】C【解答】解：将直线y＝kx+4（k≠0）向右平移2个单位长度后得到y＝k（x﹣2）+4，∵经过原点，∴0＝k（0﹣2）+4，解得k＝2，故选：C．7．（2023春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且B（6，2），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过t秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，则t的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；∵四边形AOCB是平行四边形，∴BD＝OD，∵B（6，2），点C（4，0），∴D（3，1），设DE的解析式为y＝kx+b，∵平行于y＝2x+1，∴k＝2，∵过D（3，1），∴DE的解析式为y＝2x﹣5，∴直线y＝2x+1要向下平移6个单位，∴时间为6秒，故选：D．8．（2023•临潼区一模）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向右平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣7 B．7 C．﹣6 D．6【答案】B【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左右平移3个单位后，得到y＝2（x﹣3）+m﹣1，把（0，0）代入，得到：0＝﹣6+m﹣1，解得m＝7．故选：B．9．（2023•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣2的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1【答案】A【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣2的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣2，把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣2，解得m＝﹣4．故选：A．10．（2022秋•石景山区校级期末）把直线y＝3x向上平移1个单位长度后，其直线的表达式为（）A．y＝3x+1 B．y＝3x+3 C．y＝3x﹣1 D．y＝3x﹣3【答案】A【解答】解：根据题意，平移后的直线表达式为y＝3x+1，故选：A．11．（2019秋•灞桥区校级期中）如图，已知直线L1：与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线L1绕坐标原点O顺时针旋转135°，得到直线L2与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）直接写出点A、B的坐标是A，B．（2）点P（a，4）是直线L2上一点，求a的值．【答案】（1）（﹣2，0），（0，6）；（2）a＝1．【解答】解：（1）在直线L1：y＝3x+6中，令y＝0可得x＝﹣2，令x＝0可得y＝6，∴A为（﹣2，0），B为（0，6），故答案为：（﹣2，0），（0，6）；（2）如图所示，直线L1绕坐标原点O顺时针旋转135°，则A点对应的点坐标为（2，2），点B的对应点的坐标为（6，﹣6），设直线L2的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线L2的解析式为y＝﹣2x+6，∵点P（a，4）是直线L2上一点，∴﹣2a+6＝4，解得a＝1．12．（2021秋•无锡期末）如图1，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，将点A绕着点B顺时针旋转90°到C的位置．（1）若点C的横坐标为：﹣2，求直线AB的函数表达式；（2）如图2，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴相交于点E，过点C作CD⊥AE于点D，试探究AE与CD的数量关系；（3）如图3，将点O绕着点B逆时针旋转90°到点D，连接DC，在点B的运动过程中，CD与y轴相交于点F，则线段BF的长度是否改变？若不变，求出BF的长度，若改变，请说明理由．【答案】（1）y＝x+2（2）AE＝2CD（3）BF＝FG＝BG＝2【解答】解：（1）过点C作CG⊥y轴于点G，则∠BGC＝∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵∠CBG+∠ABO＝90°，∴∠BAO＝∠CBG，∵A（4，0），点C的横坐标为﹣2，∴OA＝4，CG＝2，由旋转可知：BA＝BC，在△ABO和△BCG中，，∴△ABO≌△BCG（AAS），∴BG＝OA＝4，OB＝CG＝2，∴B（0，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，2）代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+2；（2）如图2，延长CD与AB交于点H，∴∠CBH＝90°，∵CD⊥x轴，∴∠BCH+∠H＝90°，∵∠HAD+∠H＝90°，∴∠BCH＝∠HAD，由旋转可知：BA＝BC，在△CHB和