安徽省亳州市2024-2025学年高三上学期开学摸底大联考数学试题

2025届安徽省高三摸底大联考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3．本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数乘法运算化简，然后由复数的几何意义可得.【详解】，所以复数在复平面内对应的点在第二象限．故选：B．2.已知集合．则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再求，进而得图中阴影部分表示的集合.【详解】由题，因为函数单调递增，所以，所以，所以图中阴影部分表示的集合为.故选：D.3.有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的定义求出分位数，再根据平均数定义得到方程，求出【详解】因为该组数据共6个，且，所以这组数据的分位数为从小到大第3个数，即6，则，解得．故选：B．4.已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为的球面上，该圆柱的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用球的体积公式求出球的半径，结合圆柱半径可得圆柱的高，然后可解.【详解】球的体积为，可得其半径，圆柱的底面直径为2，半径为，在轴截面中，可知圆柱的高为，所以圆柱的侧面积为.故选：A．5.已知，则值为（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】，利用三角恒等变换得到，求出答案.【详解】因为，所以，，即，所以，解得（负根舍去）.故选：C．6.已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设点，利用点到直线的距离公式，结合点在上即可求解.【详解】设点，则，即，又两条渐近线方程为，即，故有，所以．故选：B．7.已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性解方程组求解可得，然后可得.【详解】因为函数为偶函数，则，即①，又因为函数为奇函数，则，即②，联立①②可得，所以．故选：D．8.数列的前项和为，满足，则可能的不同取值的个数为（）A.45 B.46 C.90 D.91【答案】B【解析】【分析】利用累加法表示出，先计算时的，然后依次将调整为3可求得的最大值，然后可得解.【详解】由累加法可得，其中，故，且an奇偶交错出现.（1）若为奇数，由可得对可取遍中的每一个奇数；（2）若为偶数，由可得对可取遍中的每一个偶数，又，当时，；考虑时，调整为3，则对应的可增加，依次对至少一个调整为3后，即，从上述的调整过程可得取遍了中的奇数或偶数（取奇数还是偶数取决于的奇偶性），当时，取遍了中的奇数，合计46个.故选：B．【点睛】关键点睛：本题关键在于先根据求的最小值，然后依次将调整为3求的最大值，然后分析即可得解.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9已知随机变量满足：，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式列方程求出，然后根据期望性质和方差性质依次判断即可.【详解】对A，因为，所以，解得，故A错误；对B，由上知，故B正确；对C，，故C正确；对D，，故D正确．故选：BCD．10.设函数，定义域为，若关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（）A.的极大值为0B.点是曲线的对称中心C.直线与函数的图象相切D.若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为【答案】ABC【解析】【分析】根据解集确定，然后求导，利用导数求极值可判断A；计算即可判断B；设出切点坐标，根据导数几何意义求解可判断C；求出极小值，然后解，结合图象即可判断D.【详解】对于A，由，解得或，所以，则，当时，f′x<0；当或时，f′可知在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为f1=0，故A对于B，因为，故B正确；对于C，设切点为，则，解得所以直线与函数的图象相切于，故C正确；对于D，由A选项知在上单调递增，在上单调递减，又，令，解得或3，函数在区间上存在最小值，由图可知，的取值范围为，故D错误．故选：ABC．11.已知曲线，点为曲线上任意一点，则（）A.曲线的图象由两个圆构成B.的最大值为C.的取值范围为D.直线与曲线有且仅有3个交点【答案】AC【解析】【分析】根据题意，化简方程为，结合圆的标准方程，可判定A正确；由表示点到原点距离的平方，可判定B错误；设过点且与圆相切的直线方程为，结合点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，可判定C正确；由直线与圆均相切，可判定D错误．【详解】对于A中，由，得，即，即，所以或，即或，所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆，所以A正确；对于B中，由表示点到原点距离的平方，最大值为，所以B错误；对于C中，如图所示，设过点且与圆相切的直线方程为，则点到该直线的距离，解得，即图中直线的斜率为1，可得直线的方程为，点到直线的距离，则直线与圆相切，设过点且与圆相切的直线方程为，则点到该直线的距离，解得，又由表示的是点到点的斜率，故的取值范围为，所以C正确；对于D中，由C项可知直线与圆均相切，所以直线与曲线有且仅有2个交点，所以D错误．故选：AC．【点睛】方法点睛：有关与圆有关的最值问题的求解策略：1、借助几何性质与圆的有关最值问题，根据代数式的几何意义，结合数形结合思想求解：①形如：形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；②形如：形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；③形如：的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题；2、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；3、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12.已知向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标是_______．【答案】【解析】【分析】通过向量线性运算、向量平行求得参数，根据投影向量求法求解即可.【详解】由题意知，因为，可得，解得，所以，所以在上的投影向量为．故答案为：.13.已知函数与的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则______．【答案】##【解析】【分析】设出相邻三点的坐标，根据可知为等腰直角三角形，然后可得，求解即可得解.【详解】如图所示，设函数与的交点分别为，由得，所以，则，由对称性和已知可得为等腰直角三角形，所以点到直线的距离为，即，解得．故答案为：14.用个不同的元素组成个非空集合（，每个元素只能使用一次），不同的组成方案数记作，且当时，．现有7名同学参加趣味答题活动，参加一次答题，即可随机获得四种不同卡片中一张，获得每种卡片的概率相同，若每人仅可参加一次，这7名同学获得卡片后，可集齐全4种卡片的概率为________．【答案】【解析】【分析】利用结论列出对应取值表格，然后由排列组合知识和古典概型概率公式求解即可.【详解】根据题干可列出对应取值表格如下：12341121131314176151152510613190657163301350即个人集齐全4种卡片等价于7个不同元素组成4个非空集合，再将4个非空集合对应4种卡片，所以．故答案为：【点睛】关键点点睛：关键在于正确理解题干结论，利用结论求出，然后结合古典概型概率公式求解.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.在中，内角所对的边分别为．（1）求；（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用和差公式和三角形内角和定理将已知条件展开，然后化简整理即可得解；（2）利用三角形面积公式求出，然后由面积公式和余弦定理列方程组可得，可得周长.【小问1详解】由，得，①由，得，②由①②联立，得，由，得，所以，又由B∈0,π，得【小问2详解】因为的面积为，所以，得．由，即，所以．由余弦定理，得，即，所以，可得，所以的周长为．16.已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根据椭圆定义和离心率定义列方程组求解即可；（2）利用弦长公式和平行直线的距离公式即可得解.【小问1详解】由题意知，解得，则椭圆的方程为．【小问2详解】易知四边形为平行四边形，设Ax1联立直线与椭圆消去并整理得，由韦达定理得，因为与平行，所以这两条直线的距离，则平行四边形的面积．17.如图，在四棱锥中，，平面平面．（1）证明：；（2）若，点为棱的中点，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）利用勾股定理证明，然后由面面垂直性质定理可证平面，再由线面垂直的性质可得；（2）记为的中点，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后由二面角的向量法可得.【小问1详解】证明：因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即．又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】解：取的中点，连接，由（1）知，因为，易知，因为为的中点，为的中点，所以，所以平面，所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则，平面的法向量为，设平面的法向量为，则令，则，故，故，设二面角的大小为，由图形可知，为锐角，故二面角的余弦值为.18.已知函数．（1）若为函数的极值点，求的值；（2）若不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求导函数f′x，进而由求得，再检验即可.（2）先构造函数设，定义域为，接着求其导函数，再设，利用导数得在上单调递减，再结合，得到存在使gx0=0，从而得时h′x>0，函数hx单调递增，时h′x<0，函数hx单调递减，进而得，再结合题意得，根据函数的单调性得恒成立，于是由在上单调递减且gx0=0得恒成立，解即可得解.【小问1详解】由题，故，解得，此时，故定义域为1,+∞，，所以当时f′x<0，x∈2,+所以为函数的极值点，故.【小问2详解】设，定义域为，，设，所以，所以在上单调递减，又，在上连续，所以存使，当时，gx>0，即h′x当时，gx<0，即h′x所以函数hx，因为恒成立，即恒成立，设，则，所以单调递增，所以，即恒成立，因为在上单调递减，且gx0=0所以只需恒成立，即，解得.故的取值范围是.【点睛】思路点睛：对于函数恒成立求参问题，通常转换成最值问题，所以对于不等式恒成立可以先转化成求函数，，的最值，利用导数工具求出即可进一步求解，接下来根据恒成立，结合函数单调性得恒成立，再由在上单调递减且gx0=0得恒成立，解即可得解.19.已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．（1）判断数列是否为“凹数列”，请说明理由；（2）已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；（3）证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”．【答案】（1）数列是“凹数列”，理由见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算出，故满足“凹数列”的定义；（2）利用等差数列通项公式得到，由题意得对任意恒成立，化简得到，得到答案；（3）先证明出必要性，放缩得到，故，再证明充分性，取，则有，即，所以为“凹数列”.【小问1详解】因为，则，又，故，即，数列是“凹数列”．【小问2详解】因为等差数