专题22相似三角形的常见模型（10大题型）（原卷版）

专题22相似三角形的常见模型（10大题型）【题型目录】题型一A字型相似题型二8字型相似题型三AX型相似题型四母子型相似题型五三角形内接矩形相似题型六射影定理相似题型七旋转相似题型八k字型相似题型九折叠相似题型十动态相似【经典例题一A字型相似】【模型解读】①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；③模型拓展2：如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．1．（2023秋·江苏无锡·九年级江苏省天一中学校考阶段练习）如图，在中，，、分别是、边上的高，连接，若，则的长为(

)

A． B． C． D．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，，，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且于点M，连接AF、CE，求的最小值是．3．（2023秋·上海长宁·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．4．（2023·全国·九年级专题练习）中，，，于，点在线段上，点在射线上，连接，，满足．(1)如图1，若，，求的长；(2)如图2，若，求证：；(3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，连接，若，．当最小时，直接写出的面积．【经典例题二8字型相似】【模型解读】①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．1．（2022春·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（）A． B． C． D．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则．3．（2023·全国·九年级专题练习）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）请回答：∠ADB＝

°，AB＝

（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长4．（2023春·河南·九年级专题练习）综合与实践：数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．问题情境：在中，点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E．“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形．(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由．请你帮助他们解决此问题．(3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，，．则的长为___________．（直接写出结果）【经典例题三AX型相似】【模型解读】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.1、（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）A． B． C． D．2、（2022·河北石家庄·九年级期末）已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点．①若，求的长；②作，垂足为，求证：．3、（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．4、（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．（1）请你探究：，是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．【经典例题四母子型相似】【模型解读】如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．1．（2021春·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（）A． B． C． D．2．（2022秋·江西抚州·九年级统考期中）如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为．4．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）【操作发现】（1）如图1，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点分别是，，连接，则______．【问题探究】（2）如图2，在中，为斜边上的一点，点分别在上，，，且四边形是正方形，求阴影部分的面积．小明运用图形旋转的方法，将绕点逆时针旋转，得到（如图3所示）请你利用小明的方法求阴影部分的面积；【问题解决】（3）如图4，有一个四边形的试验田，其中米，米，，与互余．点处是一个肥料池，点是的中点，且点到的距离等于之间的距离，为使灌溉方便，现要沿修建一条水渠，请你帮助管理者计算出水渠的长度．【经典例题五三角形内接矩形相似】【模型解读】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，1．（2022秋·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，中，，点E在上，于点F，，已知的面积为a，的面积为b，则矩形的面积为（）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图所示，在中，，，．

（1）若四边形为的内接正方形，则正方形的边长为；（2）若四边形为的内接矩形，当这个矩形面积最大时，则矩形的边长为．3．（2022秋·湖北宜昌·九年级校考期中）如图，在中，，高．矩形的一边在边上，E、F两点分别在、上，交于点H．

(1)若矩形为正方形，求该正方形的边长．(2)设，当x为何值时，矩形的面积最大？并求其最大值．4．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图①，在中，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，过点作的垂线交于点，以为边向上作矩形，点在或的延长线上，，当点与点重合时点停止运动，设点运动的时间为（秒）．

(1)求的长；(2)当平分矩形的周长时，求的值；(3)当点在的直角边的垂直平分线上时，直接写出的值；(4)如图②，当点在的延长线上时，、分别交边于点、，当与图中某个三角形全等时，求的值．【经典例题六射影定理相似】【模型解读】①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．1、（2022秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)2、（2022秋•杜尔伯特县期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．4、（2022秋•汝州市校级月考）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．【经典例题七旋转相似】【模型解读】①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．③如图所示，，则，，且．1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（

）A． B． C． D．2．（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，OB=5，OA=2，点C是y轴上一动点，连接，将绕点A顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为．4．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点D是等边边上的一动点(不与端点重合)，点D绕点C引顺时针方向旋转得点E，所得的边与交于点F，则的最小值为．

5．（2023·山西长治·统考模拟预测）综合与实践问题情境：在和中，，．将的顶点放在底边的中点处，的顶点与底边的中点重合．猜想证明：（1）如图1，与的交点记为，与的交点记为，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：将绕点旋转，边与交于点．（2）如图2，在旋转过程中，当平分时，求线段的长；（3）如图3，在旋转过程中，当时，直接写出线段的长．6．（2023·河南周口·校联考三模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．

【经典例题八k字型相似】【模型解读】(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.补充：其他常见的一线三等角图形1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（

）A．6 B． C．10 D．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为．3．（2023·河南周口·校联考三模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．

4．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）（1）问题如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．（2）探究若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．【经典例题九折叠相似】1（2022·河北邯郸·校考三模）如图，在矩形中，，．将矩形沿对角线折叠，点B的对称点为，连接，则的长是（

）A．1.5 B． C．1.4 D．12．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）如图，在中，，，，点、分别在边、上，连接，沿折叠该三角形，使点的对应点落在边上，若是直角三角形，则的长为．

3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，将矩形沿折叠，使点D落在边的点E处，过点E作交于点G，连接．

(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求的长．4．（2023·云南昆明·统考二模）（1）如图，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时，求的值；（2）在（1）的条件下，如图，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，请求出的值；

【经典例题十动态相似】1．（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）如图，中，，，，D为的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（），连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（

）

A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.52．（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，在中，连接，恰好与垂直，，，点O是对角线上一动点（不与点A、C重合），过点O作，交于点E，连接，点F是的中点，连接，则的最小值为．

3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系内已知点和点的坐标分别为，，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点，移动的时间为秒．

(1)求直线的解析式；(2)当为何值时，与相似？(3)当为何值时，的面积为个平方单位？4．（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）如图，在中，，．动点P从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，过P点作交于点H；同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向点C运动．设运动的时间为t秒（）．

(1)点C到边的距离为_________；_________（用含t的代数式表示）(2)是否存在某一时刻t，使存在，求t的值；不存在说明理由；(3)是否存在某一时刻t，使点P、Q、D共线？存在，求t的值；不存在说明理由．【重难点训练】1．（2021·山东临沂·三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：52．（2021·江苏无锡·九年级专题练习）如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于A．3 B．4 C．6 D．83．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（

）A．6 B． C．10 D．4．（2020·安徽·校联考三模）如图，为的边上一点，，，则的长为（

）A． B． C． D．5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，在中，点D在BC上，，连接AD，，则线段AD的长为．

6．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为．7．（2023春·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则．8．（2021秋·河北邢台·八年级统考期中）如图1，在中，，，，点为边上一点，则点与点的最短距离为．如图2，连接，作，使得，交于，则当时，的长为．9．（2023秋·全国·九年级专题练习）如