第23课等式的基本性质（教师版）七年级数学上册讲义（浙教版）

第23课等式的基本性质目标导航目标导航学习目标1.经历等式的基本性质的发现过程.2.掌握等式的基本性质.3.会利用等式的基本性质将等式变形.4.会依据等式的基本性质将方程变形，求出方程的解.知识精讲知识精讲知识点01等式的基本性质等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；如果，那么.2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式.如果，，那么或能力拓展考点01等式的基本性质能力拓展【典例1】若x＝y，那么下列等式一定成立的是（）A．1﹣x＝1﹣y B．x＝﹣y C．x＝y D．x﹣＝y+【思路点拨】根据等式的基本性质分别进行解答，即可得出答案．【解析】解：A、1﹣x＝1﹣y，在等式的两边同时乘﹣1，再两边同时加1，等式成立；B、由x＝y，根据等式性质不能得到x＝﹣y，故等式不一定成立；C、由x＝y，根据等式性质不能得到，故等式不一定成立；D、由x＝y，根据等式性质不能得到x﹣，等式不一定成立；故选：A．【点睛】此题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．【即学即练1】下列说法正确的是（）A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若a＝b，则ac2＝bc2 C．若＝，则a＝b D．若ac2＝bc2，则a＝b【思路点拨】根据等式的性质逐个判断即可．【解析】解：A．∵a＝b，∴a+c＝b+c，故本选项不符合题意；B．∵a＝b，∴ac2＝bc2，故本选项符合题意；C．∵＝，∴a2＝b2，∴a＝±b，故本选项不符合题意；D．当c＝0时，由ac2＝bc2不能推出a＝b，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数（或式子），等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．考点02利用等式的基本性质解方程【典例2】利用等式的性质解方程：（1）5+x＝﹣2（2）3x+6＝31﹣2x．【思路点拨】（1）在等式的两边同时减去5；（2）在等式的两边同时加上（2x﹣6），然后再除以5．【解析】（1）5+x＝﹣25+x﹣5＝﹣2﹣5x＝﹣7；（2）3x+6＝31﹣2x3x+6+2x﹣6＝31﹣2x+2x﹣65x＝25x＝5．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．【即学即练2】用等式的性质解下列方程：（1）4x+7＝3；（2）x﹣x＝4．【思路点拨】（1）根据等式的两边都加或都减同一个数，结果仍是等式，等式的两边都除以同除以一个不为零的数，可得答案；（2）根据等式的两边都乘以同一个不为零的数，结果仍是等式，可得答案．【解析】解：（1）方程两边都减7，得4x＝﹣4．方程两边都除以4，得x＝﹣1．（2）方程两边都乘以6，得3x﹣2x＝24，x＝24．【点睛】本题考查了等式的性质，利用了等式的性质解方程．分层提分分层提分题组A基础过关练1.已知等式ax＝4a，则下列等式中不一定成立的是（）A．ax﹣4a＝0 B．ax﹣b＝4a﹣b C．ax＝12a D．x＝4【思路点拨】根据等式的基本性质进行分析判断．【解析】解：A、如果ax＝4a，那么ax﹣4a＝0，原变形成立，故此选项不符合题意；B、如果ax＝4a，那么ax﹣b＝4a﹣b，原变形成立，故此选项不符合题意；C、如果ax＝4a，那么ax＝12a，原变形成立，故此选项不符合题意；D、如果ax＝4a，则x＝4，这里必须a≠0，原变形不一定成立，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质．等式的性质：性质1、等式两边加同2.一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．2.下列判断正确的是（）A．如果3x＝2，那么x＝ B．如果ax＝bx，那么a＝b C．如果5x﹣y＝2y，那么5x＝3y D．如果a﹣2b＝0，那么＝2【思路点拨】根据等式的基本性质，分别对每个选项进行求解得到：A中解得x＝；B中可得x＝0或a﹣b＝0；D中当当b≠0时，＝2，由此求解．【解析】解：A.3x＝2，方程两边同时除以3，得x＝，不符合题意；B．ax＝bx，移项、合并同类项得，（a﹣b）x＝0，解得x＝0或a﹣b＝0，不符合题意；C.5x﹣y＝2y，移项、合并同类项得，3y＝5x，符合题意；D．a﹣2b＝0，移项得a＝2b，当b≠0时，＝2，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．3.设a，b，c均为实数，且满足（a﹣1）b＝（a﹣1）c，下列说法正确的是（）A．若a≠1，则b﹣c＝0 B．若a≠1，则＝1 C．若b≠c，则a+b≠c D．若a＝1，则ab＝c【思路点拨】根据等式的性质解答即可．【解析】解：A．∵a≠1，∴a﹣1≠0，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴除以（a﹣1）得：b＝c，∴b﹣c＝0，故本选项符合题意；B．∵a≠1，∴a﹣1≠0，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴除以（a﹣1）得：b＝c，如果c＝0，则不成立，题目中没有对c的取值进行限定，因此B选项不符合题意；C．若b≠c，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴a﹣1＝0，b、c的大小关系不能确定，故本选项不符合题意；D．若a＝1，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴a﹣1＝0，b、c的大小关系不能确定，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了等式的性质，注意：等式的性质是：①等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．4.已知a＝b，下列等式不一定成立的是（）A．a+c＝b+c B．c﹣a＝c﹣b C．ac＝bc D．【思路点拨】根据等式的基本性质逐一判断可得．【解析】解：A、由a＝b知a+c＝b+c，此选项一定成立；B、由a＝b知c﹣a＝c﹣b，此选项一定成立；C、由a＝b知ac＝bc，此选项一定成立；D、由a＝b知当c＝0时无意义，此选项不一定成立；故选：D．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．5.下列等式变形错误的是（）A．若x﹣1＝3，则x＝4 B．若x﹣1＝x，则x﹣1＝2x C．若x﹣3＝y﹣3，则x﹣y＝0 D．若3x+4＝2x，则3x﹣2x＝﹣4【思路点拨】利用等式的性质对每个式子进行变形，即可找出答案．【解析】解：A、若x﹣1＝3，根据等式的性质1，等式两边都加1，可得x＝4，故A选项正确；B、若x﹣1＝x，根据等式的性质2，两边都乘以2，可得x﹣2＝2x，故B选项错误；C、两边分别加上3﹣y可得：x﹣y＝0，故C选项正确；D、两边分别加上﹣2x﹣4，可得：3x﹣2x＝﹣4，故D选项正确；故选：B．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个等式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．另外，本题B选项的错误是在解题的过程中某一项漏乘而导致的．6.设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（）A． B． C． D．【思路点拨】根据第一个天平可得2●＝▲+■，根据第二个天平可得●+▲＝■，可得出答案．【解析】解：根据图示可得：2●＝▲+■①，●+▲＝■②，由①②可得●＝2▲，■＝3▲，则■+●＝5▲＝2●+▲＝●+3▲．故选：A．【点睛】本题考查了等式的性质，根据图示得出●、▲、■的数量关系是解题的关键．7.已知4m+2n﹣5＝m+5n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m＞n（填“＞”，“＜”或“＝”）．【思路点拨】利用等式的性质，把等式变形为m减n等于多少的形式，得结论．【解析】解：等式的两边都减去（m+5n﹣5），得3m﹣3n＝5，等式的两边都除以3，得m﹣n＝∴m＞n．故答案为：＞．【点睛】本题考查了等式的性质．注意：两个数的差大于0，被减数大于减数；两个数的差等于0，被减数和减数相等；两个数的差小于0，被减数小于减数．8.由等式3x﹣10＝2x+15的两边都减去（2x﹣10），得到等式x＝25，这是根据等式性质1；由等式﹣x＝的两边都乘以（﹣3），得到等式x＝﹣8．【思路点拨】根据等式的性质即可作答．等式的性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．【解析】解：由等式3x﹣10＝2x+15的两边都减去（2x﹣10），得到等式x＝25，这是根据等式性质1；由等式﹣x＝的两边都乘以（﹣3），得到等式x＝﹣8．故答案为：减去（2x﹣10），等式性质1；乘以（﹣3），﹣8．【点睛】本题考查了等式的性质．遇到此类题目要先确定等式变形前后用的是性质1还是2，再用相应的方法求解．9.下列方程的变形是否正确？为什么？（1）由3+x＝5，得x＝5+3．（2）由7x＝﹣4，得x＝．（3）由，得y＝2．（4）由3＝x﹣2，得x＝﹣2﹣3．【思路点拨】（1）根据左边减3，右边加3，可得变形不正确；（2）根据左边除以7，右边乘，可得变形不正确；（3）根据左边乘2，右边加2，可得变形不正确；（4）根据左边加x减3，右边减x减3，可得变形不正确．【解析】解：（1）由3+x＝5，得x＝5+3，变形不正确，∵方程左边减3，方程的右边加3，∴变形不正确；（2）由7x＝﹣4，得x＝，变形不正确，∵左边除以7，右边乘，∴变形不正确；（3）由，得y＝2，变形不正确，∵左边乘2，右边加2，∴变形不正确；（4）由3＝x﹣2，得x＝﹣2﹣3，变形不正确，∵左边加x减3，右边减x减3，∴变形不正确．【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边不是都加或都减同一个数，左右大小关系发生了变化，等式的两边不是都乘或都除同一个数（不为0），左右大小关系发生了变化．10.阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么？2（x﹣1）﹣1＝3（x﹣1）﹣1．两边同时加上1，得2（x﹣1）＝3（x﹣1），第一步两边同时除以（x﹣1），得2＝3．第二步．【思路点拨】错在第二步，两边不能同时除以x﹣1，因为x﹣1可能为0．【解析】解：解题过程第二步出错，理由为：方程两边不能除以x﹣1，x﹣1可能为0．【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．题组B能力提升练11.下列等式变形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y；（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（4）如果4a＝7b，那么＝，其中正确的有（）A．（1）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）【思路点拨】根据等式的性质以及绝对值的性质即可判断．【解析】解：（1）∵ax＝ay，当a≠0时，x＝y，故（1）选项不符合题意；（2）∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴a2＝（﹣b）2，即a2＝b2，故（2）选项符合题意；（3）∵|a|＝|b|，∴a＝±b，故（3）选项不符合题意；（4）∵4a＝7b，两边同时除以28，可得＝，故（4）选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了等式的基本性质以及绝对值的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．12.下列去分母正确的是（）A．由，得2x﹣1＝3﹣3x B．由，得2（x﹣2）﹣3x﹣2＝﹣4 C．由，得3y+3＝2y﹣3y+1 D．由，得12x﹣1＝5y+20【思路点拨】根据等式的性质，对每个选项进行分析判断．【解析】解：A、等式两边都乘6，得2x﹣6＝3﹣3x，原变形错误，故这个选项不符合题意；B、等式两边都乘4，得2（x﹣2）﹣3x+2＝﹣4，原变形错误，故这个选项不符合题意；C、等式两边都乘6，得3y+3＝2y﹣3y+1，原变形正确，故这个选项符合题意；D、等式两边都乘15，得12x﹣15＝5y+20，原变形错误，故这个选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质．等式性质：1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．13.下列等式变形正确的是（）A．若﹣3x＝5，则x＝﹣ B．若，则2x+3（x﹣1）＝1 C．若5x﹣6＝2x+8，则5x+2x＝8+6 D．若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1【思路点拨】根据等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决．【解析】解：A、若﹣3x＝5，则x＝﹣，错误，故本选项不符合题意；B、若，则2x+3（x﹣1）＝6，错误，故本选项不符合题意；C、若5x﹣6＝2x+8，则5x﹣2x＝8+6，错误，故本选项不符合题意；D、若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1，正确，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质定理．14.有下列等式：①由a＝b，得5﹣2a＝5﹣2b；②由a＝b，得ac＝bc；③由a＝b，得；④由，得3a＝2b；⑤由a2＝b2，得a＝b．其中正确的是①②④．【思路点拨】利用等式的性质判断即可．【解析】解：①由a＝b，得5﹣2a＝5﹣2b，正确；②由a＝b，得ac＝bc，正确；③由a＝b（c≠0），得＝，不正确；④由，得3a＝2b，正确；⑤由a2＝b2，得a＝b或a＝﹣b，不正确．故答案为：①②④【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．15.如果在方程5（x﹣2）＝2（x﹣2）的两边同时除以（x﹣2），就会得到5＝2．我们知道5不等于2，由此可以猜想（x﹣2）的值为0．【思路点拨】根据等式的性质，可得答案．【解析】解：由题意，得x﹣2＝0，故答案为：0．【点睛】主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以