天津市东丽区天津耀华滨海学校2025届高一上数学期末统考模拟试题含解析

天津市东丽区天津耀华滨海学校2025届高一上数学期末统考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为A. B.C. D.2．函数，则下列坐标表示的点一定在函数图像上的是A. B.C. D.3．已知，，若对任意,或，则的取值范围是A. B.C. D.4．若tanα＝2，则的值为（）A.0 B.C.1 D.5．三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述正确的是①与是异面直线；②与异面直线，且③面④A.② B.①③C.①④ D.②④6．已知函数，记集合，，若，则的取值范围是（）A.[0,4] B.（0,4）C.[0，4) D.(0，4]7．已知a=1.50.2，b=log0.21.5，c=0.21.5，则（）A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.a>c>b8．函数的最小值和最大值分别为()A. B.C. D.9．定义域在R上的函数是奇函数且，当时，，则的值为（）A. B.C D.10．已知，，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数fx=12．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_________.13．已知A，B，C为的内角.（1）若，求的取值范围；（2）求证：；（3）设，且，，，求证：14．函数的单调递增区间为_____________15．边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________16．设函数则的值为________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设函数.（1）当时，求函数的零点；（2）当时，判断的奇偶性并给予证明；（3）当时，恒成立，求m的最大值.18．已知全集，集合，集合.（1）求；（2）若集合，且集合与集合满足，求实数的取值范围.19．某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据研究发现：生产某农产品，固定投入万元，最大产量万斤，每生产万斤，需其他投入万元，，根据市场调查，该农产品售价每万斤万元，且所有产量都能全部售出.（利润收入成本）（1）写出年利润（万元）与产量（万斤）的函数解析式；（2）求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值.20．已知（1）若，求的值；（2）若，且，求的值21．已知关于的函数.（1）若函数是偶函数，求实数的值；（2）当时，对任意，记的最小值为，的最大值为，且，求实数的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积【详解】根据题意，画出示意图如下图所示因为，所以三角形ABC为直角三角形，面积为，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值即当DQ⊥平面ABC时体积最大所以所以设球心为O，球的半径为R，则即解方程得所以球的表面积为所以选D【点睛】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题2、D【解析】因为函数，,所以,所以函数为偶函数，则、均在在函数图像上．故选D考点：函数的奇偶性3、C【解析】先判断函数g（x）的取值范围，然后根据或成立求得m的取值范围.【详解】∵g（x）＝﹣2，当x<时,恒成立，当x≥时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，即m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，则二次函数y＝m（x﹣2m）（x+m+3）图象开口只能向下，且与x轴交点都在（，0）的左侧，∴，即，解得＜m＜0，∴实数m的取值范围是：（，0）故选C【点睛】本题主要考查指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大4、B【解析】将目标是分子分母同时除以，结合正切值，即可求得结果.【详解】＝＝.故选：【点睛】本题考查齐次式的化简和求值，属基础题.5、A【解析】对于①，都在平面内，故错误；对于②，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形是正三角形，是中点，故与是异面直线，且，故正确；对于③，上底面是一个正三角形，不可能存在平面，故错误；对于④，所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故错误.故选A6、C【解析】对分成和两种情况进行分类讨论，结合求得的取值范围.【详解】当时，，此时，符合题意.当时，，由解得或，由得或，其中，，和都不是这个方程的根，要使，则需.综上所述，的取值范围是.故选：C7、D【解析】由对数和指数函数的单调性比较大小即可.【详解】因为，所以故选：D8、C【解析】2.∴当时，，当时，，故选C.9、A【解析】根据函数的奇偶性和周期性进行求解即可.【详解】因为，所以函数的周期为，因为函数是奇函数，当时，，所以，故选：A10、B【解析】根据题意不妨设，利用对数的运算性质化简x，利用指数函数的单调性求出y的取值范围，利用指数幂的运算求出z，进而得出结果.【详解】由，不妨设，则，，，所以，故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、0【解析】先令t=cosx，则t∈-1,1，再将问题转化为关于【详解】解：令t=cosx，则则f(t)=t则函数f(t)在-1,1上为减函数，则f(t)即函数y=cos2x-2故答案为：0.12、【解析】首先根据函数的解析式确定，再利用换元法将函数在区间上有两个不同的零点的问题，转化为方程区间上有两个不同根的问题，由此列出不等式组解得答案.【详解】函数在区间上有两个不同的零点，则，故由可知：，当时，，显然不符合题意，故，又函数在区间上有两个不同的零点，等价于在区间上有两个不同的根，设，则函数在区间上有两个不同的根，等价于在区间上有两个不同的根，由得，要使区间上有两个不同的根，需满足a2-5a+1>06a故答案为：13、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）根据两角和的正切公式及均值不等式求解；（2）先证明，再由不等式证明即可；（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.【小问1详解】,为锐角，，，解得，当且仅当时，等号成立，即.【小问2详解】在中，，,,.【小问3详解】由（2）知，令，原不等式等价为，在上为增函数，，，同理可得，，，，故不等式成立，问题得证.【点睛】本题第3问的证明需要用到，换元后转换为，再构造不等式是证明的关键，本题的难点就在利用函数单调性构造出不等式.14、【解析】先求出函数的定义域，再利用求复合函数单调区间的方法求解即得.【详解】依题意，由得：或，即函数的定义域是，函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，于是得在是单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故答案为：15、2【解析】取的中点，连接，，则，则为二面角的平面角点睛：取的中点，连接，，根据正方形可知，，则为二面角的平面角，在三角形中求出的长．本题主要是在折叠问题中考查了两点间的距离．折叠问题要注意分清在折叠前后哪些量发生了变化，哪里量没变16、【解析】直接利用分段函数解析式，先求出的值，从而可得的值.【详解】因为函数，所以，则，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）﹣3和1（2）奇函数，证明见解析（3）3【解析】（1）令求解；（2）由（1）得到，再利用奇偶性的定义判断；（3）将时，恒成立，转化为，在上恒成立求解.【小问1详解】解：当时，由，解得或，∴函数的零点为﹣3和1；【小问2详解】由（1）知，则，由，解得，故的定义域关于原点对称，又，，∴，∴是上的奇函数.【小问3详解】∵，且当时，恒成立，即，在上恒成立，∴，在上恒成立，令，易知在上单调递增∴，∴，故m的最大值为3.18、（1）；（2）【解析】（1）化简集合，按照补集，并集定义，即可求解；（2），得，结合数轴，确定集合端点位置，即可求解.【详解】（1）∵；∴；∴；（2）∵，∴；∴，∴，∴实数的取值范围为.【点睛】本题考查集合间的运算，以及由集合关系求参数，属于基础题.19、（1）；（2）当年产量为万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为万元【解析】（1）根据利润收入成本可得函数解析式；（2）分别在和两种情况下，利用二次函数和对勾函数最值的求法可得结果.【小问1详解】由题意得：；【小问2详解】当时，，则当时，；当时，（当且仅当，即时取等号），；，当，即年产量为万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为万元.20