四川省内江市2025届数学高二上期末调研试题含解析

四川省内江市2025届数学高二上期末调研试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（）A.钱 B.钱C.钱 D.钱2．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（）A.30 B.40C.50 D.603．已知双曲线C的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B.C. D.5．为比较甲、乙两地某月时的气温状况，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）.考虑以下结论：①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；③甲地该月时的气温的标准差小于乙地该月时的气温的标准差；④甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A.①③ B.①④C.②③ D.②④6．沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A.月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B.这一年的总利润超过400万元C.这12个月利润的中位数与众数均为30 D.7月份的利润最大7．若椭圆的一个焦点为，则的值为（）A.5 B.3C.4 D.28．已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=A. B.C. D.10．设，，则与的等比中项为（）A. B.C. D.11．下列有关命题的表述中，正确的是（）A.命题“若是偶数，则，都是偶数”的否命题是假命题B.命题“若为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”D.若命题“”，“”均为假命题，则，均为假命题12．已知命题：△中，若，则；命题：函数，，则的最大值为.则下列命题是真命题的是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为__________.14．设，向量，，，且，，则___________.15．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是16．若椭圆和圆（c为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知四边形是空间直角坐标系中的一个平行四边形，且，，（1）求点的坐标；（2）求平行四边形的面积18．（12分）已知函数，其中（1）当时，求函数的单调区间；（2）①若恒成立，求的最小值；②证明：，其中.19．（12分）已知圆关于直线对称，且圆心C在轴上.（1）求圆C的方程；（2）直线与圆C交于A、B两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程.20．（12分）在中，角的对边分别为，已知，,且.（1）求角的大小；（2）若，面积为，试判断的形状，并说明理由.21．（12分）在等比数列中，是与的等比中项，与的等差中项为6（1）求的通项公式；（2）设，求数列前项和22．（10分）已知椭圆，离心率分别为左右焦点，椭圆上一点满足，且的面积为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点.过点且平行于的直线交椭圆于点，证明：为定值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决【详解】解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为，，，，则，，，，成等差数列，设公差为，整理上面两个算式，得：，解得，故选：2、C【解析】根据题意得到递增等差数列中，，，从而化成基本量，进行计算，再计算出，得到答案.【详解】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差，则所以解得所以最大项.故选：C3、B【解析】根据双曲线的离心率，求出即可得到结论【详解】∵双曲线的离心率是，∴，即1+，即1，则，即双曲线的渐近线方程为，故选：B4、D【解析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，则其焦点到渐近线的距离；故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.5、B【解析】根据茎叶图数据求出平均数及标准差即可【详解】由茎叶图知甲地该月时的平均气温为，标准差为由茎叶图知乙地该月时的平均气温为，标准差为则甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，故①正确，乙平均气温的标准差小于甲的标准差，故④正确，故正确的是①④，故选：B6、B【解析】根据图形和中位数、众数的概念依次判断选项即可.【详解】A：由图可知，月收入的最大值为90，最小值为30，故A正确；B：各个月的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以总利润为20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(万元)，故B错误；C：这12个月利润的中位数与众数均为30，故C正确；D：7月份的利润最大，为60万元，故D正确.故选：B7、B【解析】由题意判断椭圆焦点在轴上，则，解方程即可确定的值.【详解】有题意知：焦点在轴上，则，从而，解得：.故选：B.8、C【解析】利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论.【详解】若，则，即，此时，数列为单调递增数列，即“”“数列为单调递增数列”；若等差数列为单调递增数列，则，即“”“数列为单调递增数列”.因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件.故选：C.9、D【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D10、C【解析】利用等比中项的定义可求得结果.【详解】由题意可知，与的等比中项为.故选：C.11、C【解析】对于选项A：根据偶数性质即可判断；对于选项B：通过举例即可判断，对于选项C：利用逆否命题的概念即可判断；对于选项D：根据且、或和非的关系即可判断.【详解】选项A：原命题的否命题为：若不是偶数，则，不都是偶数，若，都是偶数，则一定是偶数，从而原命题的否命题为真命题，故A错误；选项B：原命题的逆命题：若是无理数，则也为正无理数，当，即为无理数，但是有理数，故B错误；选项C：由逆否命题的概念可知，C正确；选项D：由为假命题可知，，至少有一个为假命题，由为假命题可知，和均为假命题，故为假命题，为真命题，故D错误.故选：C.12、A【解析】由三角形内角及正弦函数的性质判断、的真假，应用换元法令，结合对勾函数的性质确定的值域即知、的真假，根据各选项复合命题判断真假即可.【详解】由且，可得或，故为假命题，为真命题；令，又，则，故，∵在上递减，∴，故的最大值为.∴为真命题，为假命题；∴为真，为假，为假，为假.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】直线与椭圆相交，求交点，利用列式求解即可.【详解】联立方程得，因为，所以,即，所以，.故答案为：.14、3【解析】利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出，，再由空间向量坐标运算法则求出，由此能求出【详解】解：设，，向量，，，且，，，解得，，所以，，，故答案为：15、对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0【解析】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠016、【解析】当圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间时，椭圆和圆有四个不同的焦点，由此列不等式，解不等式求得椭圆离心率的取值范围.【详解】由于椭圆和圆有四个焦点，故圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间，即.由得，两边平方并化简得，即①.由得，两边平方并化简得，解得②.由①②得.故填.【点睛】本小题主要考查椭圆和圆的位置关系，考查椭圆离心率取值范围的求法，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）由题设可得，结合向量的共线坐标表示求的坐标；（2）向量的坐标运算求边长，由余弦定理求，进而求其正弦值，再应用三角形面积公式求面积.【小问1详解】由题设，，令，则，∴，可得，故.【小问2详解】由（1），，，则，又，则，∴平行四边形的面积.18、（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）①1；②证明见解析【解析】（1）求出函数的导数，在定义域内，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）①分离参数得，令，利用函数的单调性求出的最大值即可；②由①知：，时取“=”，令，即，最后累加即可.【小问1详解】由已知条件得，其中的定义域为，则，当时，，当时，，综上所述可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；【小问2详解】①由恒成立，即恒成立，令，则，当时，，当时，，∴在上单调递增，上单调递减，∴，∴的最小值为1.②由①知：，时取“=”，令，得，∴，当时，.19、（1）（2）或【解析】（1）根据题意得到等量关系，求出，，进而求出圆的方程；（2）结合第一问求出的圆心和半径，及题干条件得到圆心到直线的距离为，列出方程，求出的值，进而得到直线方程【小问1详解】由题意得：直线过圆心，即，且，解得：，，所以圆C的方程为；【小问2详解】的圆心为，半径为2，由题意得：，圆心到直线的距离为，即，解得：或，所以直线的方程为：或.20、（1）；（2）为等边三角形【解析】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得sinB（2cosA﹣1）＝0，从而得角A；（2）由S△ABC＝bcsinA＝，可得bc＝3，①；再由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA可得b2+c2＝6，②；联立①②可求得b＝c＝，从而可判断△ABC的形状【详解】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC＝0，∴2sinBcosA﹣sin（A+C）＝0，sinB（2cosA﹣1）＝0∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝．∵0＜A＜π，∴A＝（2）△ABC为等边三角形，∵S△ABC＝bcsinA＝，即bcsin＝，∴bc＝3，①∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，A＝，a＝，∴b2+c2＝6，②由①②得b＝c＝，∴△ABC为等边三角形【点睛】本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题21、（1）；（2）.【解析】(1)设出等比数列的公比，根据给定条件列出方程求解作答.(2)由(1)的结论求出，再利用分组求和法计算作答.【小问1详解】设等比数列公比为，依题意，，即，解得，所以的通项公式【小问2详解】由(1)知，，.22、（1）（2）证明见解析【解析】（1）方法一：根据离心率以及，可得出，将条件转化为点在以为直径的圆上，即为圆与椭圆的交点，将的面