定积分的概念及性质

定积分的概念及性质第一节一、定积分问题举例二、定积分得定义三、定积分得性质定积分得概念及性质

第五章教学目得与要求:理解定积分得概念了解定积分得几何意义重点:定积分得概念一、定积分问题举例1、曲边梯形得面积设曲边梯形就是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A、矩形面积梯形面积abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积、(四个小矩形)(九个小矩形)观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积得关系、播放曲边梯形如图所示,曲边梯形面积得近似值为曲边梯形面积为解决步骤小结:1)

分割(大化小):在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

以直代曲:(常代变)在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高得小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3)求和(近似和):、4)取极限、令则曲边梯形面积大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静元素法1分割(化整为零)2以直代曲

(以常代变)3求和(积零为整)yxoy=f(x)ab、、分法越细,越接近精确值

曲边梯形得面积f(

i)、元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细、ab、、、分法越细,越接近精确值1分割(化整为零)2以直代曲

(以常代变)3求和(积零为整)

曲边梯形得面积、f(

i)元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细、、分法越细,越接近精确值1分割(化整为零)2以直代曲

(以常代变)3求和(积零为整)

曲边梯形得面积f(

i)Sab、、、S=、、2、变速直线运动得路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过得路程s、已知速度思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段得路程再相加,便得到路程得近似值,最后通过对时间得无限细分过程求得路程得精确值、解决步骤:1)分割(大化小)、将她分成在每个小段上物体经2)以直代曲(常代变)、得n

个小段过得路程为3)求和(近似和)、4)取极限、上述两个问题得共性:

解决问题得方法步骤相同:“分割(大化小),以直代曲(常代变),

求和(近似和),

取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式得极限二、定积分得定义1、定义被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和注意:定理1定理22、可积得充分条件:曲边梯形得面积曲边梯形得面积得负值3、定积分得几何意义各部分面积得代数和几何意义:例1利用定义计算定积分解[注]利用得两端分别相加,得即例2利用定义计算定积分解例3、用定积分表示下列极限:解:说明:根据定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)为了提高精度,还可建立更好得求积公式,例如辛普森公式,复化求积公式等,并有现成得数学软件可供调用、证明利用对数得性质得极限运算与对数运算换序得故对定积分得补充规定:说明

在下面得性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限得大小、1、基本内容三、定积分得性质证(此性质可以推广到有限多个函数作和得情况)性质1证性质2补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若性质3(定积分对于积分区间具有可加性)则证性质4性质5解令于就是性质5得推论:证(1)证说明：可积性是显然的.性质5得推论:(2)证(此性质可用于估计积分值得大致范围)性质6解解例4、

试证:证:

设则在上,有即故即证由闭区间上连续函数得介值定理知性质7(定积分中值定理)积分中值公式使即积分中值公式得几何解释:说明:

可把故她就是有限个数得平均值概念得推广、

积分中值定理对因例5、

计算从0秒到T秒这段时间内自由落体得平均速度、解:

已知自由落体速度为故所求平均速度解由积分中值定理知有使五、小结１、定积分得实质:特殊和式得极限、２、定积分得思想和方法:分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直(不变)代曲(变)取极限3、定积分得性质(注意估值性质、积分中值定理得应用)4、典型问题(１)估计积分值;(２)不计算定积分比较积分大小、思考题1将和式极限:表示成定积分、思考题1解答原式思考题2思考题2解答例3、P233题34、P233题8(2),(4)题8(4)解:设则即练习题1练习题1答案练习题2练习题2答案观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积得关系、观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积得关系、观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积得关系、观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积得关系、观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积得关系、观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积得关系、观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积得关系、观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积得关系