四川省仁寿第一中学南校区2025届高三数学下学期第二次模拟试题理

PAGEPAGE6四川省仁寿第一中学南校区2025届高三数学下学期其次次模拟试题理一、选择题：1．已知全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，∁UA＝{1，2，5}，则集合A等于（D）A．{0，1，2} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{0，3，4}2．已知复数z满意（2+i）z＝|4﹣3i|（i为虚数单位），则z＝（B）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i3．已知（1﹣x）5+（1+x）7＝a0﹣a1x+a2x2﹣a3x3+a4x4﹣a5x5+a6x6﹣a7x7，则a1+a3+a5+a7的值为（B）A．24 B．﹣48 C．﹣32 D．724．候鸟每年都要随季节的改变进行大规模的迁徙．探讨某种鸟类的专家发觉，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v＝a+log2（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，其耗氧量至少须要（C）个单位．A．70 B．60 C．80 D．755．已知数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满意，则S9＝（C）A．35B．40C．45D．506．某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（A）A．B．8C．D．47．已知在边长为3的等边△ABC中，＝+，则在上的投影为（）A． B． C． D．8．已知椭圆与直线交于A，B两点，焦点F（0，﹣c），其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（A）A． B． C． D．9．下列只有一个是函数（a≠0）的导函数的图象，则f（﹣1）＝（A）A． B． C． D．或10．已知函数f（x）＝cosωx（ω＞0），将f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，点A，B，C是f（x）与g（x）图象的连续相邻三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围为（）A．（0，π） B．（0，π） C．（π，+∞） D．（π，+∞）解：由题意可得g（x）＝cos（ωx﹣），作出两个函数图像，如图：A，B，C为连续三交点，（不妨设B在x轴下方），D为AC的中点，由对称性，则△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，AC＝T＝，由cosωx＝cos（ωx﹣），整理可得cosωx＝sinωx，可得cosωx＝±，则yC＝﹣yB＝，所以BD＝2|yB|＝，要使△ABC为钝角三角形，只需∠ACB＜即可，由tan∠ACB＝＝＜1，所以0＜ω＜π．选：B．11．设a＝3π，b＝π3，c＝33，则（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a解：考查幂函数y＝x3在（0，+∞）是单调增函数，且π＞3，∴π3＞33，∴b＞c；由y＝3x在R上递增，可得3π＞33，由a＝3π，b＝π3，可得lna＝πln3，lnb＝3lnπ，考虑f（x）＝的导数f′（x）＝，由x＞e可得f′（x）＜0，即f（x）递减，可得f（3）＞f（π），即有＞，即为πln3＞3lnπ，即有3π＞π3，则a＞b＞c，故选：C．12．已知F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为（D）A．1 B． C．2 D．解：记△AF1F2的内切圆圆心为C，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，易见C、E横坐标相等，则|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，由|AF1|﹣|AF2|＝2a，即|AM|+|MF1|﹣（|AN|+|NF2|）＝2a，得|MF1|﹣|NF2|＝2a，即|F1E|﹣|F2E|＝2a，记C的横坐标为x0，则E（x0，0），于是x0+c﹣（c﹣x0）＝2a，得x0＝a，同样内心D的横坐标也为a，则有CD⊥x轴，设直线的倾斜角为θ，则∠OF2D＝，∠CF2O＝90°﹣，在△CEF2中，tan∠CF2O＝tan（90°﹣）＝，在△DEF2中，tan∠DF2O＝tan＝，由r1＝2r2，可得2tan＝tan（90°﹣）＝cot，解得tan＝，则直线的斜率为tanθ＝＝＝2．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上.13．若x，y满意约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为2．14．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共须要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出17钱（所得结果四舍五入，保留整数）．15．设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的全部顶点都在一个球面上，且球的体积是，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是．16．已知函数f（x）＝x2cos，数列{an}中，an＝f（n）+f（n+1）（n∈N*），则数列{an}的前100项之和S100＝10200．解：∵f（x）＝x2cos，∴an＝f（n）+f（n+1）＝+，a4n﹣3＝+（4n﹣2）2＝﹣（4n﹣2）2，同理可得：a4n﹣2＝﹣（4n﹣2）2，a4n﹣1＝（4n）2，a4n＝（4n）2．∴a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n＝﹣2（4n﹣2）2+2（4n）2＝8（4n﹣1）．∴数列{an}的前100项之和S100＝8×（3+7+…+99）＝10200．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知acosB＝bcosA+c，（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）若D是AC边上一点，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD的面积．解（1）由正弦定理acosB＝bcosA+c化为：sinAcosB＝sinBcosA+sinC，∴sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，∴sin（A﹣B）＝sinC，∵A﹣B∈（﹣π，π），C∈（0，π），∴A﹣B＝C或A﹣B＝π﹣C（舍）∴A＝B+C，∴．即△ABC是直角三角形．（2）在△BCD中，CD＝3，BD＝5，BC＝6，由余弦定理得．∴．∴，∴AD＝AC﹣CD＝，又．∴．18．某工厂A，B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的状况下通过日常监控得知，A，B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p﹣1（0.5≤p≤1）．（1）从A，B生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0．（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．①已知A，B生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为推断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）依据一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图：用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X，求X的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．解：（1）P＝1﹣（1﹣p）（1﹣（2p﹣1））＝1﹣2（1﹣p）2．令1﹣2（1﹣p）2≥0.995，解得p≥0.95．故p的最小值p0＝0.95．（2）①由（1）可知A，B生产线上的产品合格率分别为0.95，0.9．即A，B生产线的不合格产品率分别为0.05和0.1．故从A生产线抽检的1000件产品中不合格产品大约为1000×0.05＝50件，故挽回损失50×5＝250元，从B生产线上抽检1000件产品．不合格产品大约为1000×0.1＝100，可挽回损失100×3＝300元，∴从B生产线挽回的损失较多．②X的可能取值为10，8，6，于是P（X＝10）＝＝，P（X＝8）＝＝，P（X＝6）＝＝，∴X的分布列为：X1086P∴EX＝10×+8×+6×＝8.1元．∴该厂生产2000件产品的利润的期望值为2000×8.1＝16200元．19．如图所示，△ABC是等边三角形，DE∥AC，DF∥BC，二面角D﹣AC﹣B为直二面角，AC＝CD＝AD＝DE＝2DF＝2．（1）求证：EF⊥BC；（2）求平面ACDE与平面BEF所成锐二面角的正切值．（1）证明：因为DE∥AC，DF∥BC，所以△ABC是等边三角形，所以∠EDF＝∠ACB＝60°，又AC＝DE＝BC＝2DF＝2，在△EDF中，由余弦定理可得，，所以EF2+DF2＝DE2，故EF⊥DF，所以EF⊥BC；（2）解：设线段AC的中点为O，连结BO，DO，因为△ABC和△ACD都是等边三角形，所以BO⊥AC，DO⊥AC，故∠BOD即为二面角D﹣AC﹣B的平面角，由于二面角D﹣AC﹣B是直二面角，所以∠BOD＝90°，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面BEF的法向量为，则有，即，令，则，所以，又，且是平面ACDE的一个法向量，所以，则，所以，故平面ACDE与平面BEF所成锐二面角的正切值为．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线l1与抛物线交于A、B两点，当l1⊥x轴时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）如图，过点F的另一条直线l2与C交于M、N两点，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝0（k1＞0），且3S△AMF＝S△BMN，求直线l1的方程．解：（1）依据题意可得F（，0），当l1⊥x轴时，直线l1的方程为x＝﹣，联立，解得y＝±p，所以A（，p），B（，﹣p），所以|AB|＝2p＝4，解得p＝2，进而可得抛物线的方程为y2＝4x．（2）由（1）可知F（1，0），设直线l1的方程为y＝k1（x﹣1），联立，得k12x2﹣（2k12+4）x+k12＝0，所以△＝（2k12+4）2﹣4k12＝16k12+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2＝，x1x2＝1，①因为k1+k2＝0，所以k1＝﹣k2，因为直线l2与抛物线交于点M，N，所以A与N关于x轴对称，M与B关于x轴对称，因为3S△AMF＝S△BMN，S△AMF＝S△BNF，所以3S△AMF＝S△AMF+S△BFM，所以2S△AMF＝S△BFM，所以2|AF|＝|BF|，由抛物线定义可得|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1，所以2x1+2＝x2+1，即x2＝2x1+1，代入①得（2x1+1）x1＝1，解得x1＝或﹣1（舍去），所以x2＝2x1+1＝2×+1＝2，所以x1+x2＝＝2，解得k12＝8，即k1＝2，所以直线l1的方程为y＝2（x﹣1）．21．已知函数．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）已知f（x）≤1对随意x∈R恒成立，求a的值．解：（Ⅰ）当a＝﹣1时，，，所以f（0）＝1，f'（0）＝﹣2切线l的斜率为k＝f'（0）＝﹣2．所以f（x）在x＝0处的切线方程为y＝﹣2x+1．（Ⅱ）依题意，f（x）≤1对随意x∈R恒成立，，（1）当a＝0时，，由于ex＞0，则f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在R内单调递减，因为f（0）＝1，故当x＜0时，f（x）＞1，不符合题意．（2）当a＜0时，令f'（x）＝0，得，因为f（0）＝1，那么f（x）在上单减，在上单增，所以结合f（x）的单调性知：当x＜0时，f（x）＞1，不符合题意．（3）当a＞0时，f（x）在上单增，在上单减：①当0＜a＜1时，，因为f（0）＝1，所以结合f（x）的单调性知当时，f（x）＞1，不符合题意．②当a＞1时，，因为f（0）＝1，所以结合f（x）的单调性知当时，f（x）＞1，不符合题意．③当a＝1时，．由f（x）的单调性知，f（x）max＝f（0）＝1，所以符合题意．综上，a＝1．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣4＝0，曲线C的参数方程为（t为参数）．以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）设射线θ＝α（ρ≥0，0≤α＜2π）与直线l和曲线C分别交于点M，N，求的最小值．解：（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，即有ρ＝；曲线C的参数方程为（t为参数），可得sin2t+cos2t＝+x2＝1，则ρ2cos2θ+ρ2sin2θ＝1，即为ρ2＝＝；（2）设M（ρ1，α），N（ρ2，α），其中0≤α＜或＜α＜2π，则＝+＝+＝1+＝1+sin（2α+），由sin（2α+）＝﹣1即α＝或时，取得最小值1﹣．23．已知函数f（x）＝|x|．（1）求不等式3f（x﹣1）﹣f（x+1）＞2的解集；（2）若不等式f（x﹣a）+f（x+2）≤f（x+3）的解集包含[﹣2，﹣1]，求a的取值范围．解：（1）∵f（x）＝|x|，∴3f（x﹣1）﹣f（x+1）＞2，即3|x﹣1|﹣|x+1|＞2，所以，①，或②，或③．解①得x≤﹣1，解②得﹣1＜x