湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省“新高考联考协作体”高二10月联考数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知(1+i)z=1+3i，则复数A.1 B.-1 C.i 2.一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是(

)A.14 B.15 C.23 D.253.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深CD=4-22，锯道AB=42，则图中弧ACB与弦ABA.4π B.8 C.4π-4.已知cos(θ+π4)=-A.4+3310 B.3+43105.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，且∠A1AD=∠A1ABA.3 B.10 C.11 6.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，记事件A=“得到的点数为奇数”，记事件B=“得到的点数不大于4”，记事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是(

)A.事件B与C互斥 B.P(A∪B)=58

C.P(7.若某圆台有内切球(与圆台的上下底面及每条母线均相切的球)，且母线与底面所成角的正弦值为32，则此圆台与其内切球的表面积之比为(

)A.43 B.2 C.136 8.在△ABC中，BC=2，∠BAC=π3，O是△A.2 B.103 C.113二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是(

)A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件

B.“a=-2”是“直线ax+2y+a2=0与直线x+(a+1)y+1=0互相平行”的充要条件

C.直线x10.已知函数f(x)=cosx，A.函数m(x)=f(x)⋅g(x)在(π2,π)上单调递减

B.11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱AD、A.三棱锥E-FGH的外接球的表面积为π

B.过点E，F，H作正方体的截面，则截面面积为334

C.若P为线段B1D1上一动点(包括端点)，则直线PA1与平面A1BD所成角的正弦值的范围为[33,63]

D.若Q为线段CD上一动点(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知A(2,1)，B(4,3)两点到直线x-ay+1=0的距离相等，则13.在空间直角坐标系中已知A(1,2,1)，B(1,0,2)，C(-1,1,4)，CD为三角形ABC边AB上的高，则CD=14.对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=a⋅b|a|2+|b|2，a⊙b=a⋅b|四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求角B(2)若D是△ABC边AC上的一点，且满足BA⋅BD|BA|=16.(本小题15分)已知△ABC的顶点A(1,1)，边AC上的高BH所在直线的方程为x-y+8=0，边(1)求直线AC的方程;(2)求△ABC的面积.17.(本小题15分)

某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组(50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)，其中第1组的频数的平方为第2组和第4(1)若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理?(2)从样本数据在80≤x<90，90≤x<100两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于不同小组的概率.(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，⋯，x10，已知这10个分数的平均数x=90，标准差s18.(本小题17分)

在△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，满足DE//BC，且DE经过△ABC的重心.将△ADE沿DE折起到△(1)求证：A1C(2)当λ=12时，求二面角(3)设直线BM与平面A1BE所成线面角为θ，求sinθ19.(本小题17分)对于一组向量a1，a2，a3，⋯，an(n∈N+，且n≥3)，令sn=(1)设an=(x+n,n)(n∈N+)，若a3是向量组(2)若an=(cosnπ2,sinnπ2)(n∈N+)，向量组a1，a2，a(3)已知a1，a2，a3均是向量组a1，a2，a3的“H向量”，其中a1=(ex2答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查复数的概念，复数的四则运算及共轭复数，属于基础题．

根据复数的四则运算化简得z，由此可得z，从而得解.

【解答】

解：z=1+3i1+i=(1+32.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查上四分位数的定义，属于基础题．

由上四分位数的定义求解即可．

【解答】

解：数据按从小到大排列为：

11，14，16，17，19，23，27，31，

因为8×34=6，

所以上四分位数是23+273.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了扇形面积，勾股定理，考查了运算求解能力，属于基础题.

根据题意先求出半径r=OA=4，∠AOB=π2，再根据面积公式即可求出.

【解答】

解：设半径为r，则OD=OC-CD=r-4+22，

∵AB=42，

∴AD=24.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查二倍角公式，

两角和与差公式，同角三角函数基本关系，属于中档题.

由题可得θ+π4∈(π4,3π4)，所以sin(θ+π4)=1-cos2 (θ+π4)=35.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算，利用空间向量的数量积求向量的模，属于基础题.

先以

AA1，AD，AB为基底表示空间向量

BM，再利用数量积运算求解.

【解答】

解：BM=AA16.【答案】C

【解析】【分析】本题考查古典概型，独立事件、互斥事件判断，属于中档题．根据古典概型与独立事件、互斥事件的概念进行计算与判断．【解答】

解：由题意得，事件A的样本点为{1,3,5,7}，事件B的样本点为{1,2,3,4}，事件C的样本点为{2,3,5,7}，

对于A，事件B与C共有样本点2,3，所以不互斥，故A错误;

对于B，A∪B事件样本点1,2,3,4,5,7，所以P(A∪B)=68=34，故B错误;

对于C，P(A)=48=12，P(B)=48=12，P(C)=17.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查圆台和球的表面积，属于中档题.

设r1=1，r2=3，求出R=3，l=4，利用圆台和球的表面积公式即可求解.

【解答】

解：设圆台的上底面半径为r1，下底面半径为r2，母线长为l，球半径为R，

设r1=1，r2=3，

因为母线与底面所成角的正弦值为8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查平面向量的数量积问题，属于较难题.

先根据所给条件找出垂直关系，然后将OA⋅BC+BA⋅CA化简表示成-2+c2，转而求出c=43sinC≤43，即可求解.

【解答】

解：由题知，记△ABC的三边为a，b，c，因为O是△ABC的外心，记BC中点为D，

则有OD⊥BC，所以OD⋅BC=0，9.【答案】BCD

【解析】【分析】本题主要考查充分、必要、充要条件的判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直平行的位置关系的判断，属于中档题.

根据选项依次求解即可.【解答】解：A选项：当a=-1时，直线x-y+1=0与直线x+y-2=0斜率分别为1，-1，斜率之积为-1，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”，则a2+a=0，故a=0或a=-1，所以得不到a=-1，故必要性不成立，故A错误;

B选项：由直线平行得a(a+1)=2a≠a2,∴10.【答案】BC

【解析】【分析】

本题考查含正弦、余弦的三角函数性质问题，属中档题.

根据正弦型三角函数单调性判断A，证明m(x+2π)=m(x)判断B；分情况讨论值域判断C；利用n(-π4)≠n(3π4)判断D.

【解答】

解：A选项，当x∈(π2,π)时，g(x)=sinx，m(x)=sinxcosx=12sin2x，

此时2x∈(π,2π)，而y=sinx在11.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查了棱锥的结构特征、截面面积，属于较难题.

截面面积的求解要先找出截面，结合棱锥的结构特征依次分析可得答案.

【解答】

解：A选项，三角形EFG外接圆的半径为r=12，

三棱锥E-FGH的外接球的半径为R=r2+(12)2=22，

∴其表面积为2π，故选项A错误;

B选项，过点E，F，H作正方体的截面，其截面正六边形，边长为22，

∴其面积为S=6×12×22×22×sin60∘=334，故选项B正确;

C选项，设点P到平面A1BD的距离为h，

∵B1D1//BD，BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，

∴B1D1//平面A1BD.

∵P为线段B1D1上一动点(包括端点)，

∴点P到平面A1BD的距离即为点D1到平面A1BD的距离.

由VD1-A1BD=VB-DD1A1，可得13×34×22×h=13×12×1×1×1，解得h=33，

当点P在线段B1D1上运动时，

因为A1B112.【答案】2或1

【解析】【分析】

本题主要考查点到直线的距离公式，考查方程思想，属于基础题.

根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解.

【解答】

解：∵A(2,1)，B(4,3)两点到直线x-ay+1=0的距离相等，

∴|2-a13.【答案】3

【解析】【分析】本题主要考查空间向量的数量积的坐标运算，空间距离的向量表示，属于基础题.

根据题意可得|AD|=【解答】解：由题知，AC=(-2,-1,3)，AB=(0,-2,1)，

则|AC|=14，|AB|=14.【答案】14

；

32【解析】【分析】本题考查向量的定义新运算，属于较难题.

根据向量的基础性质和向量的定义进行运算即可.【解答】

解：设a与b的夹角为θ，

因为a⊕b和a⊙b都在集合{n4|n∈Z,0<n≤4}中，

所以其取值可能为14,12,34,1.

因为|a|>|b|>0，所以|a|2+|b|2>2|a||b|，

所以a⊕b=a⋅b|a|2+|b|2<|a||b|cos θ2|a||b|15.【答案】解：(1)∵ab=33sinC+cosC，

∴a=33bsinC+bcosC，

∴sinA=sin(B+C)=33sinBsinC+sinBcosC

⇒sinBcosC+cosBsinC=33sin【解析】本题考查解三角形、三角恒等变换和平面向量的综合应用，考查基本不等式求最值，属于一般题.

(1)利用正弦定理、三角恒等变换公式和同角基本关系求出tanB=3，即可求B;

(2)由数量积求出∠ABD16.【答案】解：(1)由于边AC上的高BH所在直线方程为x-y+8=0，

所以设直线AC的方程为x+y+c=0，

由于点A(1,1)在直线AC上，即1+1+c=0，解得c=-2，

所以直线AC的方程为x+y-2=0.

(2)由于点C既满足直线5x-3y-10=0的方程，又满足x+y-2=0的方程，

所以5x-3y-10=0x+y-2=0，解得x=2y=0，故C(2,0)，

所以AC=(2-1【解析】本题考查了直线方程、点的坐标及三角形面积的求解，属于中档题．

(1)设直线AC的方程为x+y+c=0，代入A(1,1)求出c，进而可求直线AC的方程；

(2)先求得C17.【答案】解：(1)由题意知0.0162=0.008a，解得a=0.032，又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1，解得b=0.004，所以a=0.032，b=0.004，

成绩落在[50,70)内的频率为：0.16+0.32=0.48，落在[50,80)内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88，

设第60百分位数为m，则(m-70)×0.04=0.6-0.48，解得m=73，所以晋级分数线划为73分合理;

(2)由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人.分别记为a，b，c，d和A，B，

则所有的抽样有：Ω={AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd}，共15个样本点，

A=“抽到的两位同学来自于不同小组”，则A={Aa,【解析】本题考查了频率分布直方图、百分位数、平均数、方差，考查古典概率，属于中档题.(1)由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出

a

的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值；再利用频率分布直方图计算第60百分位数即可；(2)利用古典概率计算即可；(3)根据平均数和方差的计算公式求出结果.18.【答案】(1)证明：因为∠C=90∘，所以AC⊥BC，

因为DE//BC，所以AC⊥DE，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，始终有DE⊥A1D，DE⊥CD，

因为A1D∩CD=D，A1D，CD⊂平面A1CD，所以DE⊥平面A1CD，

又A1C⊂平面A1CD，所以DE⊥A1C，

因为A1C⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE⊂平面BCDE，所以A1C⊥平面BCDE.

(2)由(1)可知，A1C，CD，CB两两垂直，翻折前，因为DE经过△ABC的重心，且DE//BC，

所