《力学》第一至十五章详细笔记

《力学》第一至十五章详细笔记第一章：力学概述1.1力学的定义与分类力学是物理学的一个分支，研究物体的运动和受力规律。它可以分为以下几个主要类别：经典力学：研究宏观物体的运动，包括牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学。相对论力学：研究高速运动物体的力学，包括狭义相对论和广义相对论。量子力学：研究微观粒子的运动，涉及原子和亚原子粒子的行为。1.2力学的发展简史力学的发展可以追溯到古希腊时期，但真正意义上的现代力学始于牛顿的时代。古希腊时期：阿基米德提出了浮力原理和杠杆原理。文艺复兴时期：伽利略通过对自由落体的研究，奠定了实验科学的基础。牛顿时代：艾萨克·牛顿提出了三大运动定律和万有引力定律，建立了经典力学的体系。19世纪：拉格朗日和哈密顿发展了分析力学，为现代力学奠定了数学基础。20世纪：爱因斯坦提出了相对论，量子力学的发展改变了对微观世界的理解。1.3力学的基本概念与基本定律基本概念：质点：具有质量但忽略大小和形状的理想化物体。刚体：由无数质点组成的物体，各质点间距离保持不变。参考系：描述物体运动的坐标系，可以是固定的或随物体运动的。基本定律：牛顿第一定律（惯性定律）：一个物体如果不受外力作用，将保持静止状态或匀速直线运动状态。牛顿第二定律（动力学定律）：物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比，与物体的质量成反比，方向与合外力的方向相同，即

F=maF=ma。牛顿第三定律（作用与反作用定律）：两个物体之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反，作用在同一直线上。1.4力学的研究对象与方法研究对象：宏观物体：如汽车、飞机、建筑物等。微观粒子：如电子、质子、中子等。研究方法：实验方法：通过实验观察和测量物体的运动和受力情况。理论方法：建立数学模型，推导出描述物体运动的方程。数值方法：利用计算机模拟复杂的物理过程。第二章：质点运动学2.1位置、位移与速度位置：物体在空间中的具体位置，通常用坐标表示。直角坐标系：用

(x,y,z)(x,y,z)

表示物体的位置。极坐标系：用

(r,θ,ϕ)(r,θ,ϕ)

表示物体的位置。位移：物体从一个位置到另一个位置的变化，是一个矢量。位移公式：

Δr=r2−r1Δr=r2​−r1​速度：物体位置随时间的变化率，是一个矢量。平均速度：

vavg=ΔrΔtvavg​=ΔtΔr​瞬时速度：

v=lim⁡Δt→0ΔrΔt=drdtv=limΔt→0​ΔtΔr​=dtdr​2.2加速度加速度：物体速度随时间的变化率，是一个矢量。平均加速度：

aavg=ΔvΔtaavg​=ΔtΔv​瞬时加速度：

a=lim⁡Δt→0ΔvΔt=dvdta=limΔt→0​ΔtΔv​=dtdv​加速度的分量：切向加速度：

at=dvdtat​=dtdv​，沿速度方向的加速度。法向加速度：

an=v2Ran​=Rv2​，指向圆心的加速度，适用于曲线运动。2.3运动方程运动方程：描述物体位置随时间变化的方程。直线运动：

x(t)=x0+v0t+12at2x(t)=x0​+v0​t+21​at2抛物线运动：

x(t)=x0+v0xtx(t)=x0​+v0x​t，

y(t)=y0+v0yt−12gt2y(t)=y0​+v0y​t−21​gt2运动方程的求解：初始条件：

x(0)=x0x(0)=x0​，

v(0)=v0v(0)=v0​边界条件：

x(tf)=xfx(tf​)=xf​，

v(tf)=vfv(tf​)=vf​2.4直线运动与曲线运动直线运动：物体沿直线路径运动。匀速直线运动：

v=常数v=常数，

x(t)=x0+vtx(t)=x0​+vt匀加速直线运动：

a=常数a=常数，

v(t)=v0+atv(t)=v0​+at，

x(t)=x0+v0t+12at2x(t)=x0​+v0​t+21​at2曲线运动：物体沿曲线路径运动。圆周运动：

r=常数r=常数，

v=rωv=rω，

a=v2ra=rv2​抛物线运动：

x(t)=x0+v0xtx(t)=x0​+v0x​t，

y(t)=y0+v0yt−12gt2y(t)=y0​+v0y​t−21​gt22.5运动的相对性伽利略相对性原理：物理定律在所有惯性参考系中都具有相同的形式。惯性参考系：在该参考系中，牛顿第一定律成立。非惯性参考系：在该参考系中，牛顿第一定律不成立，需要引入惯性力。洛伦兹变换：在狭义相对论中，不同惯性参考系之间的时空坐标变换。时间变换：

t′=γ(t−vxc2)t′=γ(t−c2vx​)空间变换：

x′=γ(x−vt)x′=γ(x−vt)洛伦兹因子：

γ=11−v2c2γ=1−c2v2​​1​第三章：牛顿运动定律3.1牛顿第一定律（惯性定律）牛顿第一定律：一个物体如果不受外力作用，将保持静止状态或匀速直线运动状态。惯性：物体保持原有运动状态的性质。惯性参考系：在该参考系中，牛顿第一定律成立。惯性质量：物体抵抗运动状态改变的能力，用mm表示。质量的测量：通过牛顿第二定律

F=maF=ma

来测量。3.2牛顿第二定律（动力学定律）牛顿第二定律：物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比，与物体的质量成反比，方向与合外力的方向相同，即F=maF=ma。合外力：作用在物体上的所有外力的矢量和。动力学方程：

∑F=ma∑F=ma应用实例：自由落体：

F=mgF=mg，

a=ga=g斜面运动：

F∥=mgsin⁡θF∥​=mgsinθ，

a=gsin⁡θa=gsinθ弹簧振子：

F=−kxF=−kx，

a=−kmxa=−mk​x3.3牛顿第三定律（作用与反作用定律）牛顿第三定律：两个物体之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反，作用在同一直线上。作用力：物体A对物体B的作用力。反作用力：物体B对物体A的反作用力。应用实例：火箭推进：火箭喷射燃料产生的反作用力推动火箭前进。步行：脚对地面的作用力和地面对脚的反作用力。3.4力的合成与分解力的合成：将多个力合成为一个合力。矢量加法：

F合=F1+F2+⋯+FnF合​=F1​+F2​+⋯+Fn​力的分解：将一个力分解成多个分力。正交分解：

Fx=Fcos⁡θFx​=Fcosθ，

Fy=Fsin⁡θFy​=Fsinθ应用实例：斜面上的物体：将重力分解为平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力。悬挂物体：将张力分解为水平分力和竖直分力。3.5惯性参考系与非惯性参考系惯性参考系：在该参考系中，牛顿第一定律成立。地球参考系：近似为惯性参考系，但在某些情况下需要考虑地球的自转和公转。非惯性参考系：在该参考系中，牛顿第一定律不成立，需要引入惯性力。惯性力：为了使牛顿第二定律在非惯性参考系中成立，引入的虚拟力。科里奥利力：在旋转参考系中，由于参考系的旋转而产生的惯性力。应用实例：旋转木马：在旋转木马上的人会感到向外的离心力。汽车转弯：在转弯时，车内的人会感到向外的离心力。第四章：力与力矩4.1力的性质与分类力的性质：矢量性：力是一个矢量，既有大小又有方向。作用点：力作用在物体上的具体位置。单位：国际单位制中，力的单位是牛顿（N）。力的分类：接触力：物体之间直接接触产生的力，如摩擦力、弹力等。非接触力：物体之间不直接接触也能产生的力，如重力、电磁力等。保守力：做功与路径无关的力，如重力、弹簧力等。非保守力：做功与路径有关的力，如摩擦力。4.2力的表示方法力的表示：矢量表示：用带有箭头的线段表示力的大小和方向，箭头指向力的作用方向。分量表示：在直角坐标系中，力可以表示为

F=Fxi+Fyj+FzkF=Fx​i+Fy​j+Fz​k。力的图示：力的作用点：在物体上标明力的作用点。力的大小：用线段的长度表示力的大小。力的方向：用箭头表示力的方向。4.3力矩与力偶力矩：定义：力矩是力对物体产生转动作用的物理量，用

ττ

表示。计算公式：

τ=r×Fτ=r×F，其中

rr

是力的作用点到转动轴的距离矢量，

FF

是力。单位：国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米（N·m）。力偶：定义：力偶是由两个大小相等、方向相反、作用线不共线的平行力组成的力系。性质：力偶只能产生转动效应，不能产生平动效应。计算公式：

τ=r×Fτ=r×F，其中

rr

是两个力作用点之间的距离矢量，

FF

是其中一个力。4.4力的平衡条件静态平衡：平衡条件：物体处于静止状态或匀速直线运动状态。力的平衡：

∑F=0∑F=0，即物体所受的所有外力的矢量和为零。力矩的平衡：

∑τ=0∑τ=0，即物体所受的所有外力矩的矢量和为零。动态平衡：平衡条件：物体处于匀速转动状态。力的平衡：

∑F=0∑F=0。力矩的平衡：

∑τ=0∑τ=0。应用实例：桥梁设计：确保桥梁在各种外力作用下保持平衡。建筑结构：确保建筑物在风力、地震等外力作用下保持稳定。4.5静力学基本问题静力学问题：平衡问题：确定物体在各种外力作用下的平衡状态。约束问题：确定物体在约束条件下的运动状态。稳定性问题：确定物体在外界干扰下的稳定性。解决方法：受力分析：分析物体所受的所有外力和外力矩。建立方程：根据平衡条件建立方程。求解方程：解方程求出未知力或未知力矩。应用实例：吊车设计：确保吊车在吊起重物时保持平衡。机械设计：确保机械部件在工作时保持稳定。第五章：能量与功5.1功的概念与计算功：定义：力对物体做的功等于力的大小、物体在力的方向上移动的距离和二者夹角的余弦值的乘积。计算公式：

W=F⋅s=Fscos⁡θW=F⋅s=Fscosθ，其中

FF

是力，

ss

是位移，

θθ

是力和位移的夹角。单位：国际单位制中，功的单位是焦耳（J）。正功与负功：正功：当力和位移方向相同或夹角小于90°时，功为正值。负功：当力和位移方向相反或夹角大于90°时，功为负值。零功：当力和位移方向垂直或夹角为90°时，功为零。5.2动能与势能动能：定义：物体由于运动而具有的能量。计算公式：

K=12mv2K=21​mv2，其中

mm

是物体的质量，

vv

是物体的速度。单位：国际单位制中，动能的单位是焦耳（J）。势能：重力势能：物体由于高度而具有的能量。计算公式：

Ug=mghUg​=mgh，其中

mm

是物体的质量，

gg

是重力加速度，

hh

是物体的高度。弹性势能：物体由于形变而具有的能量。计算公式：

Ue=12kx2Ue​=21​kx2，其中

kk

是弹簧的劲度系数，

xx

是弹簧的形变量。5.3功能原理功能原理：定义：物体所受的合外力做的功等于物体动能的增量。计算公式：

W合=ΔKW合​=ΔK，其中

W合W合​

是合外力做的功，

ΔKΔK

是动能的增量。应用实例：自由落体：物体在重力作用下自由下落，重力做的功等于动能的增量。弹簧振子：弹簧振子在振动过程中，弹性力做的功等于动能和势能的转换。5.4保守力与非保守力保守力：定义：做功与路径无关的力，如重力、弹簧力等。特点：存在势能函数，力可以表示为势能函数的梯度。计算公式：

F=−∇UF=−∇U，其中

UU

是势能函数。非保守力：定义：做功与路径有关的力，如摩擦力。特点：不存在势能函数，力不能表示为势能函数的梯度。应用实例：滑块下滑：滑块在斜面上下滑时，重力是保守力，摩擦力是非保守力。汽车刹车：汽车刹车时，摩擦力是非保守力，消耗了动能。5.5机械能守恒定律机械能守恒定律：定义：在只有保守力作用的系统中，系统的总机械能（动能和势能之和）保持不变。计算公式：

E=K+UE=K+U，其中

EE

是总机械能，

KK

是动能，

UU

是势能。条件：系统内只有保守力作用，没有非保守力做功。应用实例：摆动：单摆在摆动过程中，动能和势能在不断转换，但总机械能保持不变。滚轮：滚轮在斜面上滚动时，动能和势能在不断转换，但总机械能保持不变。第六章：动量与冲量6.1动量的概念与守恒定律动量：定义：物体的质量和速度的乘积，用

pp

表示。计算公式：

p=mvp=mv，其中

mm

是物体的质量，

vv

是物体的速度。单位：国际单位制中，动量的单位是千克·米/秒（kg·m/s）。动量守恒定律：定义：在没有外力作用的系统中，系统的总动量保持不变。计算公式：

p初=p末p初​=p末​，其中

p初p初​

和

p末p末​

分别是系统初态和末态的总动量。条件：系统内没有外力作用，或外力的合外力为零。应用实例：碰撞：两个物体在碰撞过程中，系统的总动量保持不变。火箭发射：火箭在发射过程中，火箭和燃料的总动量保持不变。6.2冲量与动量定理冲量：定义：力在一段时间内的累积效应，用

JJ

表示。计算公式：

J=∫F(t)dtJ=∫F(t)dt，其中

F(t)F(t)

是力随时间的变化。单位：国际单位制中，冲量的单位是牛顿·秒（N·s）。动量定理：定义：物体所受的合外力的冲量等于物体动量的增量。计算公式：

J=ΔpJ=Δp，其中

JJ

是合外力的冲量，

ΔpΔp

是动量的增量。应用实例：打击：锤子打击钉子时，锤子的冲量等于钉子动量的增量。碰撞：两个物体在碰撞过程中，合外力的冲量等于系统动量的增量。6.3碰撞与反弹碰撞类型：完全弹性碰撞：碰撞前后，系统的总动能保持不变。计算公式：

K初=K末K初​=K末​，其中

K初K初​

和

K末K末​

分别是系统初态和末态的总动能。完全非弹性碰撞：碰撞后，两个物体黏在一起，系统的总动能减少。计算公式：

p初=p末p初​=p末​，但

K初>K末K初​>K末​。部分弹性碰撞：碰撞前后，系统的总动能部分减少。反弹：定义：物体在碰撞后返回原方向的运动。恢复系数：

e=v2f−v1fv1i−v2ie=v1i​−v2i​v2f​−v1f​​，其中

v1iv1i​

和

v2iv2i​

分别是碰撞前两个物体的速度，

v1fv1f​

和

v2fv2f​

分别是碰撞后两个物体的速度。应用实例：台球：台球在碰撞过程中，根据恢复系数的不同，可以分为完全弹性碰撞和部分弹性碰撞。篮球：篮球在地面反弹时，恢复系数决定了篮球反弹的高度。6.4中心碰撞与非中心碰撞中心碰撞：定义：两个物体的质心连线与碰撞点的连线重合。特点：碰撞前后，两个物体的速度方向不变，只改变速度大小。计算公式：

m1v1i+m2v2i=m1v1f+m2v2fm1​v1i​+m2​v2i​=m1​v1f​+m2​v2f​，其中

m1m1​

和

m2m2​

分别是两个物体的质量，

v1iv1i​

和

v2iv2i​

分别是碰撞前两个物体的速度，

v1fv1f​

和

v2fv2f​

分别是碰撞后两个物体的速度。非中心碰撞：定义：两个物体的质心连线与碰撞点的连线不重合。特点：碰撞前后，两个物体的速度方向和大小都会改变。计算公式：

p初=p末p初​=p末​，

L初=L末L初​=L末​，其中

LL

是角动量。应用实例：汽车碰撞：汽车在碰撞过程中，由于碰撞点不在质心连线上，会产生旋转效应。台球杆击球：台球杆击球时，由于击球点不在球的质心上，会产生旋转效应。第七章：刚体运动学7.1刚体的概念与性质刚体的定义：刚体：由无数质点组成的物体，各质点间的距离保持不变。刚体的特点：刚体在运动过程中，其形状和大小保持不变。刚体的自由度：平面刚体：在平面内运动的刚体有三个自由度（两个平动自由度和一个转动自由度）。空间刚体：在三维空间中运动的刚体有六个自由度（三个平动自由度和三个转动自由度）。7.2刚体的平动与转动平动：定义：刚体上所有点的运动轨迹平行。特点：刚体的各个质点具有相同的位移、速度和加速度。运动方程：

r(t)=r0+vt+12at2r(t)=r0​+vt+21​at2，其中

r0r0​

是初始位置，

vv

是速度，

aa

是加速度。转动：定义：刚体绕某一固定轴或固定点转动。特点：刚体上各点的运动轨迹为圆周。角速度：

ωω，表示刚体转动的快慢，单位是弧度/秒（rad/s）。角加速度：

αα，表示角速度的变化率，单位是弧度/秒²（rad/s²）。运动方程：

θ(t)=θ0+ω0t+12αt2θ(t)=θ0​+ω0​t+21​αt2，其中

θ0θ0​

是初始角度，

ω0ω0​

是初始角速度。7.3角速度与角加速度角速度：定义：单位时间内刚体转过的角度。计算公式：

ω=dθdtω=dtdθ​，其中

θθ

是角度。方向：角速度的方向垂直于转动平面，遵循右手定则。角加速度：定义：单位时间内角速度的变化率。计算公式：

α=dωdtα=dtdω​。方向：角加速度的方向与角速度的变化方向一致。线速度与角速度的关系：线速度：

v=ω×rv=ω×r，其中

rr

是质点到转轴的距离矢量。线加速度：

a=α×r+ω×(ω×r)a=α×r+ω×(ω×r)。7.4刚体的运动方程刚体的平动方程：牛顿第二定律：

F=MaF=Ma，其中

MM

是刚体的总质量，

aa

是刚体的质心加速度。刚体的转动方程：转动惯量：

I=∑imiri2I=∑i​mi​ri2​，其中

mimi​

是第

ii

个质点的质量，

riri​

是第

ii

个质点到转轴的距离。转动定理：

τ=Iατ=Iα，其中

ττ

是合外力矩，

II

是转动惯量，

αα

是角加速度。刚体的平面运动方程：平动方程：

F=MaF=Ma。转动方程：

τ=Iατ=Iα。7.5刚体的动能与势能刚体的动能：平动动能：

K平=12Mv2K平​=21​Mv2，其中

MM

是刚体的总质量，

vv

是质心的速度。转动动能：

K转=12Iω2K转​=21​Iω2，其中

II

是转动惯量，

ωω

是角速度。总动能：

K=K平+K转K=K平​+K转​。刚体的势能：重力势能：

Ug=MghUg​=Mgh，其中

MM

是刚体的总质量，

gg

是重力加速度，

hh

是质心的高度。弹性势能：

Ue=12kx2Ue​=21​kx2，其中

kk

是弹簧的劲度系数，

xx

是弹簧的形变量。应用实例：滚动物体：滚动物体的总动能包括平动动能和转动动能。摆动物体：摆动物体的总能量包括动能和势能。第八章：刚体动力学8.1转动惯量转动惯量的定义：转动惯量：刚体绕某一轴转动时的惯性大小，用

II

表示。计算公式：

I=∑imiri2I=∑i​mi​ri2​，其中

mimi​

是第

ii

个质点的质量，

riri​

是第

ii

个质点到转轴的距离。常见刚体的转动惯量：细棒：绕中心轴

I=112ML2I=121​ML2，绕端点

I=13ML2I=31​ML2。圆盘：绕中心轴

I=12MR2I=21​MR2。圆环：绕中心轴

I=MR2I=MR2。球体：绕直径

I=25MR2I=52​MR2。平行轴定理：定义：刚体绕任意轴的转动惯量等于绕通过质心的平行轴的转动惯量加上刚体质量与两轴间距平方的乘积。计算公式：

I=Icm+Md2I=Icm​+Md2，其中

IcmIcm​

是绕质心轴的转动惯量，

dd

是两轴的间距。8.2转动定理转动定理：定义：刚体绕固定轴转动时，合外力矩等于转动惯量与角加速度的乘积。计算公式：

τ=Iατ=Iα，其中

ττ

是合外力矩，

II

是转动惯量，

αα

是角加速度。应用实例：陀螺仪：陀螺仪的稳定性和进动现象可以用转动定理解释。飞轮：飞轮的转动惯量影响其储存和释放能量的能力。8.3刚体的平衡条件静态平衡：平衡条件：刚体处于静止状态或匀速转动状态。力的平衡：

∑F=0∑F=0，即刚体所受的所有外力的矢量和为零。力矩的平衡：

∑τ=0∑τ=0，即刚体所受的所有外力矩的矢量和为零。动态平衡：平衡条件：刚体处于匀速转动状态。力的平衡：

∑F=0∑F=0。力矩的平衡：

∑τ=0∑τ=0。应用实例：桥梁设计：确保桥梁在各种外力作用下保持平衡。机械设计：确保机械部件在工作时保持稳定。8.4刚体的平面运动平面运动的定义：平面运动：刚体在平面内的运动，包括平动和转动。运动方程：

r(t)=r0+vt+12at2r(t)=r0​+vt+21​at2，

θ(t)=θ0+ω0t+12αt2θ(t)=θ0​+ω0​t+21​αt2。平面运动的分析：质心运动：

F=MaF=Ma。转动运动：

τ=Iατ=Iα。应用实例：滑块-弹簧系统：滑块在弹簧的作用下沿平面运动，分析其质心运动和转动运动。双摆：双摆在平面内的运动，分析其质心运动和转动运动。8.5刚体的定点运动定点运动的定义：定点运动：刚体绕某一固定点的运动。运动方程：

r(t)=r0+vt+12at2r(t)=r0​+vt+21​at2，

θ(t)=θ0+ω0t+12αt2θ(t)=θ0​+ω0​t+21​αt2。定点运动的分析：质心运动：

F=MaF=Ma。转动运动：

τ=Iατ=Iα。应用实例：陀螺仪：陀螺仪绕固定点的运动，分析其质心运动和转动运动。旋转机械：旋转机械部件绕固定点的运动，分析其质心运动和转动运动。第九章：振动与波动9.1简谐振动简谐振动的定义：简谐振动：物体在回复力的作用下，沿直线或曲线的周期性运动。回复力：与位移成正比且方向相反的力，

F=−kxF=−kx，其中

kk

是劲度系数，

xx

是位移。简谐振动的运动方程：运动方程：

md2xdt2+kx=0mdt2d2x​+kx=0。解的形式：

x(t)=Acos⁡(ωt+ϕ)x(t)=Acos(ωt+ϕ)，其中

AA

是振幅，

ωω

是角频率，

ϕϕ

是初相位。角频率：

ω=kmω=mk​​。周期：

T=2πωT=ω2π​。频率：

f=1T=ω2πf=T1​=2πω​。简谐振动的能量：总能量：

E=12kA2E=21​kA2。动能：

K=12mv2K=21​mv2。势能：

U=12kx2U=21​kx2。能量守恒：

E=K+UE=K+U。应用实例：弹簧振子：弹簧振子的简谐振动，分析其运动方程和能量守恒。摆动：单摆的简谐振动，分析其运动方程和能量守恒。9.2阻尼振动与受迫振动阻尼振动：定义：物体在回复力和阻力的作用下，沿直线或曲线的周期性运动。阻尼力：与速度成正比且方向相反的力，

Fd=−bvFd​=−bv，其中

bb

是阻尼系数，

vv

是速度。运动方程：

md2xdt2+bdxdt+kx=0mdt2d2x​+bdtdx​+kx=0。解的形式：

x(t)=e−γt(Acos⁡(ωdt)+Bsin⁡(ωdt))x(t)=e−γt(Acos(ωd​t)+Bsin(ωd​t))，其中

γ=b2mγ=2mb​，

ωd=ω02−γ2ωd​=ω02​−γ2​。受迫振动：定义：物体在回复力、阻力和外力的作用下，沿直线或曲线的周期性运动。外力：

F(t)=F0cos⁡(ωt)F(t)=F0​cos(ωt)，其中

F0F0​

是外力的幅值，

ωω

是外力的角频率。运动方程：

md2xdt2+bdxdt+kx=F0cos⁡(ωt)mdt2d2x​+bdtdx​+kx=F0​cos(ωt)。稳态解：

x(t)=Xcos⁡(ωt−ϕ)x(t)=Xcos(ωt−ϕ)，其中

XX

是振幅，

ϕϕ

是相位差。共振：定义：当外力的频率接近系统的固有频率时，振幅达到最大值的现象。条件：

ω≈ω0ω≈ω0​。应用实例：汽车减震器：汽车减震器的阻尼振动，分析其运动方程和稳态解。桥梁振动：桥梁在风力作用下的受迫振动，分析其运动方程和共振现象。9.3振动的叠加振动的叠加原理：定义：多个简谐振动的叠加仍然是简谐振动。叠加公式：

x(t)=A1cos⁡(ω1t+ϕ1)+A2cos⁡(ω2t+ϕ2)+⋯+Ancos⁡(ωnt+ϕn)x(t)=A1​cos(ω1​t+ϕ1​)+A2​cos(ω2​t+ϕ2​)+⋯+An​cos(ωn​t+ϕn​)。拍频现象：定义：两个频率相近的简谐振动叠加时，振幅随时间缓慢变化的现象。条件：

ω1≈ω2ω1​≈ω2​。拍频：

ω拍=∣ω1−ω2∣ω拍​=∣ω1​−ω2​∣。应用实例：声波：两个频率相近的声波叠加时，产生拍频现象。电子电路：两个频率相近的电信号叠加时，产生拍频现象。9.4波动的基本概念波动的定义：波动：物质或场在空间中的周期性传播现象。波动的类型：机械波（如声波、水波）和电磁波（如光波、无线电波）。波动的基本参数：波长：

λλ，相邻两个波峰或波谷之间的距离。频率：

ff，单位时间内波的周期数。波速：

vv，波在介质中传播的速度。波速公式：

v=λfv=λf。波动方程：波动方程：

∂2y∂t2=v2∂2y∂x2∂t2∂2y​=v2∂x2∂2y​，其中

yy

是波的位移，

tt

是时间，

xx

是空间位置。应用实例：声波：声波在空气中的传播，分析其波动方程和基本参数。水波：水波在水面的传播，分析其波动方程和基本参数。9.5波动方程与波速波动方程的解：一般解：

y(x,t)=f(x−vt)+g(x+vt)y(x,t)=f(x−vt)+g(x+vt)，其中

ff

和

gg

是任意函数。行波解：

y(x,t)=Acos⁡(kx−ωt+ϕ)y(x,t)=Acos(kx−ωt+ϕ)，其中

AA

是振幅，

kk

是波数，

ωω

是角频率，

ϕϕ

是初相位。驻波解：

y(x,t)=Acos⁡(kx)cos⁡(ωt+ϕ)y(x,t)=Acos(kx)cos(ωt+ϕ)。波速的计算：机械波：

v=Tμv=μT​​，其中

TT

是张力，

μμ

是线密度。电磁波：

v=1μ0ϵ0v=μ0​ϵ0​​1​，其中

μ0μ0​

是真空磁导率，

ϵ0ϵ0​

是真空介电常数。应用实例：弦振动：弦上的波动，分析其波动方程和波速。电磁波：电磁波在真空中的传播，分析其波动方程和波速。第十章：流体力学基础10.1流体的性质与分类流体的定义：流体：能够流动的物质，包括液体和气体。流体的特点：没有固定的形状，能够适应容器的形状。流体的分类：理想流体：无黏性、不可压缩的流体，适用于理想化的理论分析。真实流体：具有黏性、可压缩的流体，适用于实际工程应用。流体的物理性质：密度：

ρρ，单位体积流体的质量，单位是kg/m³。压力：

pp，单位面积上的力，单位是Pa（帕斯卡）。黏度：

μμ，流体内部摩擦力的度量，单位是Pa·s（帕斯卡·秒）。10.2流体静力学流体静力学的定义：流体静力学：研究流体在静止状态下的力学性质和规律。流体静力学的基本方程：静力学基本方程：

dpdz=−ρgdzdp​=−ρg，其中

pp

是压力，

zz

是高度，

ρρ

是密度，

gg

是重力加速度。静压强公式：

p=p0+ρghp=p0​+ρgh，其中

p0p0​

是参考点的压力，

hh

是高度差。流体静力学的应用：液体压力：液体在容器中的压力分布。气压：大气压力随高度的变化。浮力：阿基米德原理，

Fb=ρfVgFb​=ρf​Vg，其中

ρfρf​

是流体的密度，

VV

是物体的体积。10.3流体动力学流体动力学的定义：流体动力学：研究流体在运动状态下的力学性质和规律。流体动力学的基本方程：连续性方程：

ρ1A1v1=ρ2A2v2ρ1​A1​v1​=ρ2​A2​v2​，其中

ρρ

是密度，

AA

是截面积，

vv

是流速。伯努利方程：

p1+12ρv12+ρgh1=p2+12ρv22+ρgh2p1​+21​ρv12​+ρgh1​=p2​+21​ρv22​+ρgh2​，其中

pp

是压力，

vv

是流速，

hh

是高度。流体动力学的应用：管道流动：流体在管道中的流动，分析流速和压力的变化。喷嘴：流体通过喷嘴时的速度和压力变化。飞行器：飞机和火箭在空气中的运动，分析升力和阻力。10.4黏性流体与纳维-斯托克斯方程黏性流体的定义：黏性流体：具有内部摩擦力的流体，黏度

μμ

是其重要特性。纳维-斯托克斯方程：纳维-斯托克斯方程：描述黏性流体运动的基本方程，

ρ(∂v∂t+v⋅∇v)=−∇p+μ∇2v+fρ(∂t∂v​+v⋅∇v)=−∇p+μ∇2v+f，其中

vv

是流速，

pp

是压力，

ff

是外力。纳维-斯托克斯方程的应用：湍流：流体在高雷诺数下的复杂流动。层流：流体在低雷诺数下的平稳流动。边界层：流体在固体表面附近的流动特性。雷诺数：定义：

Re=ρvLμRe=μρvL​，其中

ρρ

是密度，

vv

是流速，

LL

是特征长度，

μμ

是黏度。意义：表征流体流动的稳定性和湍流倾向。第十一章：相对论力学11.1伽利略相对性原理伽利略相对性原理：定义：物理定律在所有惯性参考系中都具有相同的形式。惯性参考系：在该参考系中，牛顿第一定律成立。伽利略变换：定义：不同惯性参考系之间的坐标变换，

x′=x−vtx′=x−vt，

y′=yy′=y，

z′=zz′=z，

t′=tt′=t，其中

vv

是参考系的相对速度。应用实例：火车上的物理实验：在匀速行驶的火车上进行物理实验，结果与地面参考系相同。11.2爱因斯坦相对性原理爱因斯坦相对性原理：定义：物理定律在所有惯性参考系中都具有相同的形式，光速在所有惯性参考系中都是常数。狭义相对论：适用于所有惯性参考系，不考虑重力。广义相对论：适用于所有参考系，包括非惯性参考系，考虑重力。洛伦兹变换：定义：不同惯性参考系之间的坐标变换，

x′=γ(x−vt)x′=γ(x−vt)，

y′=yy′=y，

z′=zz′=z，

t′=γ(t−vxc2)t′=γ(t−c2vx​)，其中

γ=11−v2c2γ=1−c2v2​​1​

是洛伦兹因子，

cc

是光速。应用实例：GPS卫星定位：GPS卫星需要考虑狭义相对论效应，以确保精确的定位。11.3时间膨胀与长度收缩时间膨胀：定义：在高速运动的参考系中，时间会变慢。公式：

Δt′=γΔtΔt′=γΔt，其中

Δt′Δt′

是运动参考系中的时间间隔，

ΔtΔt

是静止参考系中的时间间隔。长度收缩：定义：在高速运动的参考系中，物体的长度会缩短。公式：

L′=LγL′=γL​，其中

L′L′

是运动参考系中的长度，

LL

是静止参考系中的长度。应用实例：μ子的寿命：高速运动的μ子寿命延长，可以到达地面。高速列车：高速列车上的乘客会感觉时间变慢，长度缩短。11.4相对论动量与能量相对论动量：定义：

p=γmvp=γmv，其中

mm

是物体的静止质量，

vv

是速度。特点：当速度接近光速时，动量会显著增大。相对论能量：定义：

E=γmc2E=γmc2，其中

mm

是物体的静止质量，

cc

是光速。静能：

E0=mc2E0​=mc2，物体静止时的能量。动能：

K=E−E0=(γ−1)mc2K=E−E0​=(γ−1)mc2。应用实例：粒子加速器：高能粒子在加速器中的运动，需要考虑相对论效应。核反应：核反应中的能量释放，涉及相对论能量的转换。11.5相对论力学方程相对论力学的基本方程：相对论动量方程：

F=dpdt=ddt(γmv)F=dtdp​=dtd​(γmv)。相对论能量方程：

E2=(pc)2+(mc2)2E2=(pc)2+(mc2)2，其中

pp

是动量，

mm

是静止质量，

cc

是光速。应用实例：宇宙射线：宇宙射线中的高能粒子，需要使用相对论力学方程进行分析。黑洞：黑洞周围的物质运动，需要考虑广义相对论效应。第十二章：非惯性参考系12.1非惯性参考系的定义非惯性参考系：定义：在该参考系中，牛顿第一定律不成立，需要引入惯性力。特点：参考系本身具有加速度。惯性力：定义：为了使牛顿第二定律在非惯性参考系中成立，引入的虚拟力。类型：惯性力、科里奥利力、离心力。12.2惯性力惯性力：定义：由于参考系的加速度而产生的虚拟力，

F惯=−ma参考系F惯​=−ma参考系​，其中

mm

是物体的质量，

a参考系a参考系​

是参考系的加速度。应用实例：电梯中的物体：电梯加速上升时，物体受到向上的惯性力。汽车急刹车：汽车急刹车时，乘客向前倾斜，受到向后的惯性力。12.3科里奥利力科里奥利力：定义：在旋转参考系中，由于参考系的旋转而产生的虚拟力，

F科=−2mω×v相对F科​=−2mω×v相对​，其中

mm

是物体的质量，

ωω

是参考系的角速度，

v相对v相对​

是物体相对于参考系的速度。应用实例：地球上的大气运动：地球自转产生的科里奥利力影响大气运动，形成风向偏转。旋转木马：人在旋转木马上移动时，会感到侧向的科里奥利力。12.4非惯性参考系中的运动方程非惯性参考系中的牛顿第二定律：修正形式：

F外+F惯+F科=ma相对F外​+F惯​+F科​=ma相对​，其中

F外F外​

是外力，

F惯F惯​

是惯性力，

F科F科​

是科里奥利力，

a相对a相对​

是物体相对于参考系的加速度。应用实例：旋转平台上的物体：物体在旋转平台上的运动，需要考虑惯性力和科里奥利力。旋转机械：旋转机械部件的运动，需要考虑惯性力和科里奥利力的影响。12.5旋转参考系中的力学问题旋转参考系的特性：离心力：由于参考系的旋转而产生的虚拟力，

F离=−mω×(ω×r)F离​=−mω×(ω×r)，其中

mm

是物体的质量，

ωω

是参考系的角速度，

rr

是物体的位置矢量。有效重力：在旋转参考系中，物体受到的有效重力是重力和离心力的合成，

g有效=g−ω×(ω×r)g有效​=g−ω×(ω×r)。应用实例：地球上的重力：地球自转产生的离心力影响地表的重力分布。旋转洗衣机：洗衣机内的衣物在旋转时受到离心力的作用，被甩到筒壁上。第十三章：分析力学基础13.1拉格朗日方程拉格朗日方程的定义：拉格朗日方程：一种描述系统运动的方程，适用于广义坐标和广义速度。拉格朗日函数：

L=T−VL=T−V，其中

TT

是系统的动能，

VV

是系统的势能。拉格朗日方程的形式：标准形式：

ddt(∂L∂q˙i)−∂L∂qi=Qidtd​(∂q˙​i​∂L​)−∂qi​∂L​=Qi​，其中

qiqi​

是广义坐标，

q˙iq˙​i​

是广义速度，

QiQi​

是广义力。应用实例：单摆：单摆的运动可以通过拉格朗日方程描述，广义坐标为摆角

θθ。双摆：双摆的运动可以通过拉格朗日方程描述，广义坐标为两个摆角

θ1θ1​

和

θ2θ2​。13.2哈密顿原理哈密顿原理的定义：哈密顿原理：系统的运动路径使得作用量

SS

取极值，

S=∫L dtS=∫Ldt。作用量：定义：

S=∫L dtS=∫Ldt，其中

LL

是拉格朗日函数，

tt

是时间。变分原理：

δS=0δS=0，即作用量的变分为零。哈密顿方程：哈密顿函数：

H=T+VH=T+V，其中

TT

是系统的动能，

VV

是系统的势能。哈密顿方程：

q˙i=∂H∂piq˙​i​=∂pi​∂H​，

p˙i=−∂H∂qip˙​i​=−∂qi​∂H​，其中

qiqi​

是广义坐标，

pipi​

是广义动量。应用实例：谐振子：谐振子的运动可以通过哈密顿方程描述，广义坐标为位移

xx，广义动量为动量

pp。行星运动：行星绕太阳的运动可以通过哈密顿方程描述，广义坐标为位置矢量

rr，广义动量为动量矢量

pp。13.3作用量与变分原理作用量的定义：定义：

S=∫L dtS=∫Ldt，其中

LL

是拉格朗日函数，

tt

是时间。物理意义：作用量是系统运动路径的积分，反映了系统的整体行为。变分原理：定义：

δS=0δS=0，即作用量的变分为零。数学形式：

δS=∫(∂L∂qiδqi+∂L∂q˙iδq˙i)dt=0δS=∫(∂qi​∂L​δqi​+∂q˙​i​∂L​δq˙​i​)dt=0。应用实例：最短路径：光线在介质中的传播路径使得光学路径长度取极值。最小作用量原理：自然界中的许多物理过程都遵循最小作用量原理。13.4正则方程正则方程的定义：正则方程：通过引入广义动量

pipi​

和广义坐标

qiqi​，将拉格朗日方程转化为一组一阶微分方程。形式：

q˙i=∂H∂piq˙​i​=∂pi​∂H​，

p˙i=−∂H∂qip˙​i​=−∂qi​∂H​，其中

HH

是哈密顿函数。正则变换：定义：通过变换广义坐标和广义动量，使得哈密顿方程的形式保持不变。生成函数：

F(q,Q,t)F(q,Q,t)，其中

qq

和

QQ

分别是旧广义坐标和新广义坐标。应用实例：简谐振子：简谐振子的正则方程可以通过变换广义坐标和广义动量简化。刚体转动：刚体转动的正则方程可以通过引入欧拉角和角动量简化。13.5相空间与相轨迹相空间的定义：相空间：由广义坐标和广义动量构成的空间，描述系统的状态。相点：相空间中的一个点，表示系统在某一时刻的状态。相轨迹：相空间中相点随时间的运动轨迹。相空间的应用：稳定性分析：通过相轨迹的形状和性质，分析系统的稳定性。混沌系统：通过相轨迹的复杂性，研究混沌系统的动力学行为。应用实例：双摆：双摆的相轨迹可以显示系统的复杂动力学行为。非线性振子：非线性振子的相轨迹可以显示系统的周期性或混沌行为。第十四章：连续介质力学14.1连续介质的基本假设连续介质的定义：连续介质：假定物质是连续分布的，不考虑分子结构。基本假设：物质是连续的、均匀的、各向同性的。连续介质的性质：密度：

ρρ，单位体积的质量，单位是kg/m³。速度：

vv，单位时间内的位移，单位是m/s。应力：

σσ，单位面积上的力，单位是Pa（帕斯卡）。14.2应力与应变应力：定义：单位面积上的力，

σ=FAσ=AF​，其中

FF

是力，

AA

是面积。类型：正应力（法向应力）和剪应力（切向应力）。应变：定义：物体变形的程度，

ϵ=ΔLL0ϵ=L0​ΔL​，其中

ΔLΔL

是长度变化，

L0L0​

是原始长度。类型：线应变（纵向应变）和剪应变（横向应变）。胡克定律：定义：在弹性范围内，应力与应变成正比，

σ=Eϵσ=Eϵ，其中

EE

是弹性模量。弹性模量：

EE，反映材料的弹性性质，单位是Pa（帕斯卡）。14.3弹性力学基本方程平衡方程：定义：描述连续介质在平衡状态下的应力分布。形式：

∇⋅σ+f=0∇⋅σ+f=0，其中

ff