2020-2021学年新人教A版（2019）高一数学暑假作业综合十四（含解析）

综合十四-【新教材】人教A版(2019)

高一数学暑假作业(含解析)

一、单选题

1.下列三个结论中，正确结论的序号是()

团集合{%|-1V%<3}是无限集；

肉集合4={2,3},集合8={幻区-1]<2},则4UB=(-1,3]；团若全集为U,

且BGU,则4nB=0是8=如4的充分不必要条件.

A.团团B.团团C.团团D.团团团

2.设函数/(x)=[3：二位>上则下列结论错误的是()

1-3十LtX<U

A./(%)的值域为RB.f(x)是奇函数

C./(|x|)是偶函数D.在定义域上是单调函数

3.下列说法不正确的是()

A.已知方程1=8-久的解在(乂/£+1)(462)内，则k=l

B.函数/(x)=--2%一3的零点是(一1,0),(3,0)

C.函数、=3%y=logs》的图像关于y=乂对称

D.用二分法求方程3,+3x-8=0在x€(1,2)内的近似解的过程中得到f(l)<0,

/(1.5)>0,/(1.25)<0,则方程的根落在区间(1.25,1.5)上

4.函数y=+2«»2工一i(工€[一：,争)的值域为()

A.[―V2,1]B.[―1,V2]C.[―V2,V2]D.[—1,1]

5.在给出的下列命题中，不正确的是()

A.设。,4,8,C是同一平面上的四个点，若瓦5=m•而+(1-m)•元(meR)，

则点4B,C必共线

B.若向量五石是平面a上的两个向量，则平面a上的任一向量不都可以表示为m=

+/?).且表示方法是唯一的

C.已知平面向量瓦?,南，灵满足万？•丽=51•元，同=4(嵩+焉)则448c

为等腰三角形

D.已知平面向量瓦?，OB，炉满足|瓦=|万矶=|元|=r(r>0),且以i+而+

OC=0.则△ABC是等边三角形

6.设有下面四个命题：

Pi：a=0是a+bi(a,b6R)为纯虚数的充要条件;

P2：设复数Z1=2—3i,Z2=-l+2i,则Z1+Z2在复平面内对应的点位于第四象

限；

P3：复数Z=:的共视复数5=-。

P4：设Zi是虚数，Z2=Zi+g是实数，则㈤=1.

Z1

其中真命题为（）

A.P1，p3B.Pi，P4c.p2,p3D,p2,p4

7.已知如图，六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，P4_L平面48CDEF.则下歹11结论

不正确的是（）

A.CD〃平面PAFB.DF_L平面PAFC.CF〃平面PABD.CFJ■平面

8.某车站在春运期间为了改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排

队到购到车票所用的时间K以下简称购票用时，单位：m讥）.下面是这次抽样的频

率分布表和频率分布直方图，则旅客购票用时的平均数可能落在（）

第2页，共30页

频率，

组距

0.1

0.06.............................——

°-02rrTn_____

510152025时间/min

A.第二组B.第三组C.第四组D.第五组

二、多选题

9.下列叙述正确的是()

A.已知函数/")=｛短巴鬣d驾,财⑹=8

B.命题“对任意的%>1,有“2>1”的否定为“存在X<1,有M<1"

C.已知正实数a,匕满足a+b=4,则白+白的最小值为:

a+10+32

D.已知/-Sax+b>0的解集为｛x|x>4或x<1｝,则a+b=5

10.下列说法正确的是()

A.已知/(%)=ax3+bxcosx+c,/(0)=1,/(2021)=100,则f(一2021)=-98

B.若正数x,y满足=+y=l,则x+j的最小值为8

C.若函数f")=logj—/+轨+5)在区间(37n-2,m+2)内单调递增，则实数m

的取值范围为g,3]

D晨黔gzL代

11.已知点。为△ABC所在平面内一点，且配+2赤+3元=6，则下列选项正确的

是()

A.AO=-2AB+-4AC

B.直线AO必过8c边的中点

C.S4AOB：S4Aoe=3:2

D.\OB\=\OC\=1,且醇L就，则|西=V13

12.如图，已知四棱锥P-4BCD中，PDABCD,

乙DAB=Z.CBD=90°,/.ADB=/.BDC=60°,E为PC

中点，F在CO上，AFBC=30°,PD=2AD=2,则

下列结论正确的是（）

A.BE〃平面PAD

B.PB与平面ABCD所成角为30。

C.四面体D-BEF的体积为巴

3

D.平面P4B，平面PAD

三、填空题

13.(1)已知函数/(x)=a2x~6+m(a>0,aM1)的图象恒过定点P(n,2),则m+

n=.

(2)央视前著名主持人崔永元曾自曝，自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心

狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，

8小时可放完满池水.若同时打开进水管和出水管，多少小时可注满空池？“这题

也太变态了，你到底想放水还是注水？”崔主持质疑这类问题的合理性.其实这类

放水注水问题只是个数学模型，用来刻画“增加量-消耗量=改变量”，这类数量

关系可以用于处理现实生活中的大量问题.例如，某仓库从某时刻开始4小时内只

进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到

把仓库中的货出完.假设每小时进、出货量是常数，仓库中的货物量y(吨)与时间x(

时)之间的部分关系如图，那么从不进货起小时后该仓库内的货恰好运

完.

14.如图，正方体力BCD-&B1GD1的棱长为1,线段

当为上有两个动点E,F,且EF=则下列结论

中正确的结论序号是①AC1BE；

②EF〃平面ABCC；③异面直线AE,BF所成的角

为定值；④直线AB与平面8EF所成的角为定值；⑤以A8EP为顶点的四面体的

体积不随或7位置的变化而变化.

15.有下列结论:

第4页，共30页

①某年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级学生中抽取一个

容量为280的样本，则此样本中男生人数为160；

②一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则列频

率分布表时应将样本数据分为9组；

③若V关于x的线性回归方程为亨=1.6%+32,其中x的取值依次为2,8,6,14,

20,则歹=46；

④用一组样本数据8,x,10,11,9来估计总体的标准差，若样本的平均数为10,

则估计总体的标准差为鱼.

其中正确的有.(填写所有正确结论的序号)

16.已知函数f(x)=2x,g(x)为偶函数，且当x20时，g(x)=/-4x.记max{a,b}=

:，'给出下列关于函数F(%)=max{/(x)，5(x))(xGR)的说法：①当x>6时，

F(x)=x2-4x；②函数F(x)为奇函数；③函数F(x)在［-2,2］上为增函数；④函数

F(x)的最小值为0,无最大值.其中正确的是.

17.如图，在团4BC中，^BAC=pAD=2DB，尸为C£>上一点，且满足而前+

［荏，m=；若回力BC的面积为2百，贝力而|的最小值为.

18.定义运算J：^\=ad-bc,则符合条件=0的复数z=,复数

z的共轨复数2在复平面内对应的点在第象限.

四、解答题

19.杭州市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登军峰山健身的活动，有N人

参加，现将所有参加人员按年龄情况分为［20,25),［25,30),［30,35)/35,40),

［40,45)/45,50),［50,55)等七组，其频率分布直方图如下图所示.已知［35,40)之间

的参加者有4人.

⑴求N和［30,35)之间的参加者人数Ni；

(2)组织者从［40,55)之间的参加者(其中共有4名女教师包括甲女，其余全为男教师

)中随机选取3名担任后勤保障工作，求在甲女必须入选的条件下，选出的女教师

的人数为2人的概率.

(3)已知［30,35)和［35,40)之间各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任

接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概

率.

20.已知有=(2sinx,cos2x),b=(V3cosx,2)>f(x)=~a-~b.

(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；

(2)求函数/(x)在区间［0,自上的最大值和最小值.

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21.已知函数/(%)=Asin(3x+口)(4>0,a)>0,0V0v2TT)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式；

⑵若贴)=/(©./Q-JXG[0,5,求九(%)的取值范围.

22.如图1,在矩形A8CQ中，48=2,BC=1,E是。C的中点；如图2,将△04E沿

AE折起，使折后平面D4E1平面ABCE.

(1)若平面AB。与平面CEO的交线为/,求证：CE//1,

(2)求证：8后_1_平面4。民

(3)求点C到平面BQE的距离.

23.对于两个定义域相同的函数/(x)和g(x),若存在实数m,n使/i(x)=mf(x)4-ng(x),

则称函数/i(x)是由“基函数/(%),g(x)”生成的.

(1)若/i(x)=3x2+2x+4是由"基函数/'(x)=x2+x,g(x)=kx+1”生成的，

求实数人的值；

(2)试利用“基函数f(x)=log2(4'+l),g(x)=x”生成一个函数八(x),且同时满

足以下条件：①h(x)是偶函数；②h(x)的最小值为1.求h(x)的解析式.

24.在四棱锥P—4BCD中，底面ABC。是平行四边形，Z.BCD=135°,侧面24B1底

®ABCD,PAA.AB,AB=AC=PA=2,E,尸分别为BC,A3的中点，过E尸

的平面与面尸CD交于M,N两点.

(1)求证：EF//MX；

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(2)求证：平面EFMN平面PAC；

(3)设然当；I为何值时四棱锥M-EFDC的体积等于1,求；I的值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了集合的表示法，子集的定义，交集、并集及其运算，以及必要条件、充

分条件与充要条件的判断，属于基础题.

由题意，由集合的表示法可判断(1)；先解不等式求出集合3,再由并集运算可判断(2)；

利用子集的定义，集合的运算及充分、必要条件的定义判断(3),由此可得结论.

【解答】

解:(1)集合{J-1<工<；，}是无限集，故(1)正确；

(2)集合4={2,3}，集合B={x||x-l|<2}={x[-l<x<3},则AU3=(-1,同，

故(2)正确；

(3)若全集为U,iLAQU,BQU,则4nB=。是8=Q4的必要不充分条件，故(3)错

误.

故选A.

2.【答案】D

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查分段函数，指数函数及其性质，属于基础题.

根据指数函数及其性质画出f(x)的图象，根据图象逐一判断.

【解答】

解：画出/(x)=E:二的图象如图，

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x<o时，y(x)<i,

则函数/(x)的值域为R,A正确；

函数/(x)是奇函数，8正确；

人因)是偶函数，C正确；

/(%)在定义域上不是单调函数，。错误.

故选。.

3.【答案】H

【解析】

【分析】

本题考查零点判断定理、零点的定义、反函数和二分法求求方程的近似解,属于基础题.

利用零点判断定理、零点的定义、反函数和二分法对选项逐个判断即可.

【解答】

解：对于选项4,令/(1)=『+』-8,

因为/(x)在R上是增函数，且f(l)=e—7<0/(2)=e2-6>0,

所以方程e*=8—x的解在(1,2),所以k=l,故月正确；

对于选项B，令/-2尤-3=0得*=-1或*=3,故函数/(x)的零点为一1和3,故8

错误；

对于选项C,函数y=3乂与函数y=10g3X互为反函数，所以它们的图像关于y=x对称，

故C正确；

对于选项。,由于八1.25)-/(5)<0](1)"(1.25)>0,所以由零点存在性定理可得方

程的根落在区间(1.25,1.5)上，故。正确.

故选B.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查函数的值域及三角恒等变换，属于中档题.

由三角恒等变换化简可得y=V2sin(2%+》,结合x的取值范围即可求得函数的值域.

【解答】

2sinx

解：y=黑号+2cos2x-Lf^+cos2x

COS2X

2sinxcosx

=--------------------Fcos2x=sin2x+cos2x

cos2x+sin2x

=V2sin(2%+[).

又久6[一式],则(2x+》e产，争，

所以sin(2x+：)G[―y,1]>

所以所求函数的值域为

故选艮

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的共线定理与平面向量基本定理，以及平面向量加法、减法与数量积

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的运算和几何意义，属中档题.

根据向量共线定理可判断4根据平面向量基本定理判断B,利用向量减法和数量积的

运算以及加法和共线的几何意义来判断C与D.

【解答】

解：对于A,设0,4B,C是同一平面上的四个点，若雨•赤+.沆

则罚一元=m（而一沆.♦.85=小诵，.,•点必共线.故A正确；

对于8,当为=6或方=6时，结论不成立，故B错误；

对于C,若平面向量瓦彳,而，能满足市・丽=市・瓦，则瓦？•（而一硝=0,即

OA•CB=0，OA±CBi

又同=A（^f-+隽），二。在4B4C的平分线所在直线上.

•••ZL4BC为等腰三角形，故C正确；

对于D,若平面向量万?，OB，瓦满足口句=\OB\=|OC|=r（r>0）,

贝l]O是A4BC的夕卜心；

又科+砺+沆^=6,则。又是44BC重心；

・•.△ABC是等边三角形.故D正确.

故选民

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查复数的复数的概念、几何意义、共聊复数、复数的模及四则运算，考查命题真

假判断，属于基础题.

根据复数的概念、儿何意义、共物复数判断命题Pi、P2、P3真假即可，命题P4：设Zl=

a+bi（a,beR,且b羊0）,根据z2=z1+；结合复数四则运算法则，即可得a?+肝=1,

从而可得命题真假.

【解答】

解：命题小：若a=0,b=0时，则a+bi=0不是纯虚数，所以pi为假命题；

命题P2：Z1+Z2=l-3在复平面内所对应的点的坐标为（1,一1）,位于第四象限，所

以P2为真命题；

命题P3：z=：=-i,它的共轨复数为2=3所以P3为假命题；

命题P4：设Zi=a+bi(a,b£R,且bHO),

则Z2=Zi+：a+bi+3^=(a+^%)+(b_/M)i,

因为Z2是实数，b00,所以a2+b2=l,即区|=1,所以P4为真命题.

故选D

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是正六边形的几何特征，线面平行和线面垂直的判定与性质，属于中

档题.

根据正六边形的几何特征，根据线面平行和线面垂直的判定定理与性质，对四个答案逐

一进行判断，即可得到结论.

【解答】

解：4；六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，

则A/7/CD,

又AFu平面PAF,CDC平面PAF,

故CD〃平面PAF,

故A正确；

B.PA，平面ABCDEF,DFu平面ABC,

则DF1PA,

由底面为正六边形，知CF_L4F,

又4FnP4=4,AF,。4<3平面24尸，

DF_L平面PAF,

故8正确；

C由底面为正六边形知CF〃48,

又48u平面PAB,CF仁平面PAB,

得CF〃平面PAB,

故C正确；

D因为H4平面ABCDEF,PAu平面PAD,

所以平面PAD_L平面ABCDEF,

因为平面PADC平面NBCDEF=AD,

CFu平面ABCDEF,

但CF不垂直于AD,

第14页，共30页

故cri平面"。错误，

故选D

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查平均数、频率的求法及应用，考查频率分布表和频率分布直方图等基础知识,

考查运算求解能力，是基础题.

由频率分布表和频率分布直方图得第四组的频率为0.5,从而求得旅客购票用时的平均

数，由此得到旅客购票用时的平均数落在第四小组.

【解答】

解：由频率分布表和频率分布直方图得第四组的频率为：

1-0.1-0.1-0.3=0.5,

由频率分布表和频率分布直方图得旅客购票用时的平均数为：

7.5x0.10+12.5x0.10+17.5x0.50

4-22.5x0.3=17.5,

•••旅客购票用时的平均数落在第四小组.

故选：C.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数，命题的否定，三个二次之间的关系，利用基本不等式求最值等,

属于中档题.

对4直接分段求即可;对8,全称量词命题的否定是存在量词命题，即可判断;对C:利用

基本不等式求最值，注意等号成立的条件；

对D,利用三个二次之间的关系结合韦达定理即可求解.

【解答】

解：对A,/(6)=2/(2)=4/(-2)=4X[2-|-2+2|]=8,故A正确;

对B,命题“对任意的%>1,有M>1”的否定为“存在*>1,有/《1”，故B错

误；

对C,由题a>0,b>0,a+b=4,即a+l+b+3=8,

•—池+D+S+3)端+京)号(2+鬻+公小(2+2).

当且仅当a+1=b+3,即a=3,b=1时取等号，+京的最小值为土故C正确;

对D,x2-5ax+b>0的解集为(-X.1)U(4,+x),由韦达定理可知，5a=5,b=4,

故可得a+b=5,所以。正确.

故选ACD.

10.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性的应用、复合函数的单调性，考查利用基本不等式求最值及三

角恒等变换化简求值，属于中档题.

对于选项A,首先利用/(0)=1求出c,再利用函数的奇偶性即可求解；

对于选项B,根据条件可得x+W=C+y)(x+9=4+£+xy,利用基本不等式求最

yxyxy

值即可判断；

对于选项C,求出函数的定义域，利用复合函数的单调性可得函数“尤)的单调递增区间，

即可得关于m的不等式，求解即可得实数>n的取值范围；

对于选项D,利用三角恒等变换化简求值即可.

【解答】

解：对于选项4,•••/(())=1,所以/(0)=c=l,

即/'(x)=ax3+bxcosx+1,可得f(%)—1=ax3+bxcosx

设g(x)=/(%)—1=ax3+bxcosx,

由g(r)=a(r)3+^(-x)cos(-x)=-(ax3+bxcosx')=-g(x)

即函数g(x)为奇函数，故g(-x)=/(-x)-1=-[/(x)-1],

故f(-2021)-1=-[/(2021)-1],

由/'(2021)=100,

得f(—2021)=-98,故选项A正确；

对于选项B,正数x,y满足:+y=l,

则x+(=(£+y)(x+楙)=4+盘+xy>4+2-xy=8,

当且仅当x=4,y=[时取等号，故选项8正确；

第16页，共30页

对于选项C,由一%2+4%+5>0,解得一1<X<5,

因为二次函数y=-x2+4%+5的对称轴为x=2,

由复合函数单调性可得函数f(x)的单调递增区间为(2,5),

要使函数/(%)在区间(3m-2,m+2)内单调递增，

(3m—2>2,

只需m+2〈5,解得：Sm<2,即实数胆的取值范围为g,2),

故。选项错误；

对于选项。，原式=—8(黑费-8)—

sin12°x2(2cos2120-1)

_V3(sinl2°-V3cosl2")

2sinl2°cosl2°cos24°

_2演sinl2°cos60°-cosl2°sin60°)

sin24°cos24°

_2x2旧sin(12。-60。)

2sin24°cos24°

=T遍sin48。=故。正确.

sm480

故选ABD.

11.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题主要考查的是向量的运算及向量的模的求法，属于中档题.

结合向量的线性运算及向量的数量积的运算性质分别判断即可.

【解答】

解：选项A,由万+2南+3瓦6得近+20+荏)+3(初+而)=6,

得4而=2荏+3正，即而=9而+：而，所以A正确；

24

选项8,由而+2而+3沆^=6得前=而+元=-2(而+元)，

设BC中点为。，E为AB中点，则DE〃/1C,

则配=一4前，设AO与BC交点为凡如图：

贝SDFOyCFa,所以笑=器=3

CFAC4

-11R44

]j!)\DF=-DC=-BD,BF=-BD,CF=-CD=-BD,

55555

所以BF:FC=3:2,故B错误；

选项C,因为BF:FC=3:2,所以史=g,爱型=I，

^AACFZbA0CFN

则SzUOB_SzLABf+S4。8f=WM'W+S-OCF)_3^所以。正确；

^AAOCSAACF"A0CF^AACF+^AOCF2

选项。，因为而+2而+3历=6，所以瓦？=2话+3元,

X|OB|=\OC\=1-且就，成，

则寸=4OB2+9OC2+12OB-OC=4+9=13-

所以|列|=VH，所以。正确.

故选ACD.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查了线面平行的证明、直线与平面所成的角、三棱锥体积公式以及面面垂直的判

定，属于中档题.

选项A,先证明面面平行，再由面面平行推出线面平行；选项8,找出PB与平面A8CD

所成的角，在直角三角形中得出该角等于45。；选项C,由等体积法％_BEF=/-8DF即

得；选项。，先证明线面垂直，再由线面垂直推出面面垂直.

【解答】

解：

该四棱锥的底面四边形如图所示，在RMABD中，AD=1,AADB=60°,所以8D=2,

在中，4BOC=60°,所以NBC。=30°="BC,所以BF=FC,又乙BFD=30°+

第18页，共30页

30°=60°=Z.5DC,

所以ZBDF为等边三角形，所以BD=BF=DF=CF=2,

且易得BF〃/1D,4。u平面PADBFC平面PAO,所以8/7/平面P4O,

对于4连接EF,由E为尸C中点、尸为CC中点得EF〃PD,PDc^ffiPAD,EF<t平

面PAD,所以EF〃平面PAD,

由EF与BF为平面BEF内两相交直线得平面BEF〃平面PAD,又BEu平面BEF,

所以BE〃平面P4),故选项4正确；

对于B.易知，PB与平面A8CC所成的角为NPBD,在Rt/PDB中，PD=2=BD，所以

Z.PBD=45°,故选项8错误；

对于C.由EF//PD、PD1平面ABCD得EF1平面ABCD,且EF=：PD=1,所以四面

体D-BEF的体积VDTEF=VE-BDF=^5ABDF•EF=：xfx22x1=?,故选项C正

确；

对于O.因为POJL平面ABC。、4Bu平面ABC。，所以P。148,又4B14D,PDAD

为平面PAD内两相交直线，所以AB1平面PAD,又ABu平面PA8,所以平面P4B1平

面PAD故选项。正确.

故选ACD.

13.【答案】(1)4(2)8

【解析】

(1)【分析】

本题主要考查了函数图象的应用以及指数函数的性质等知识点，属于基础题.

在解题时，首先根据函数表达式得出函数横过定点(3,m+1),由此可求得m=l,n=3.

【解答】

解：,••函数f(x)=。2*-6+小口>0,。看1),

当x=3时，/(x)=m+l,即函数横过定点(3,m+1),

又•.•函数图象恒过定点P(n,2),

『二］、，解得m=l,n=3,

<-zn+1=2

二wi+n=4.

(2)【分析】

本题主要考查了函数模型的应用、函数斜率的物理意义等知识点，属于基础题.

在解题时，首先可求出进货速度，然后求得出货速度，最后可得到出货完成所用的时间.

【解答】

解：当［0,4］时，斜率k=5,

即进货速度为5吨/小时，

当xe［4,12］时，斜率/£=箸=

1Z—44

即进货速度与出货速度的差值为不

•••出货速度为5—沪学吨/小时，

•••从不进货开始时，仓库有30吨货，

30+炉=8小时，

4

即从不进货起8小时后该仓库内的货恰好运完.

14.【答案】①②④⑤

【解析】

【分析】

本题考查棱柱的结构特征，熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及

线面垂直的证明是解答本题的关键，考查空间思维能力，属于较难题.

①4C1BE,可由线面垂直证两线垂直；②由面面平行的定义可证得结论正确；③可

由两个极端位置说明两异面直线所成的角不是定值；④把线面角转化为线线角即乙4BD,

即可得知④正确；⑤可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值.

【解答】

解：①•••ACL平面又BEu平面BBiDi。，.••ACLBE,故①正确；

②•.•平面4BCD〃平面4B1GD1，EFu平面为当的久，二EF〃平面A8CD,故②正确；

③由图知，当F与当重合时，令上底面中心为。，则此时两异面直线所成的角是Z&AO,

当E与A重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBG，此二角不相等，

故异面直线AE、8尸所成的角不为定值，故③错误；

④直线AB与平面8EF所成的角也就是直线AB与平面BBiQD所成的角，•:AC，平面

BBiDi。，.•.直线与平面BB/i。所成的角就是44BC为45。，因此，直线AB与平面

8EF所成的角为定值，故④正确；

⑤由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值,A点到面距离是定值，

故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，故⑤正确.

故答案为：①②④⑤.

第20页，共30页

15•【答案】①，②，④

【解析】

【分析】

本题考查分层抽样，频率分布直方图，回归方程及标准差，属于中档题.逐个判定即可.

【解答】

解：对于①，用分层抽样的方法从560名男生，420名女生中抽取一个容量为280的样

本，则此样本中男生人数为280160,故①正确；

对于②，•••数据的最大值是140,最小值是51,

故该组数据的极差为140-51=89,

又•二组距是10,

89+10=8.9,

故可将该组数据分成9组，故②正确;

2+8+6+14+20

对于③，由题意，x==10,

5

•••线性回归方程一定过这组数据的样本中心点,

.-.y=1.6X10+32=48,故③错误，

对于④，•••样本的平均数为10,

(8+x+10+11+9)+5=10,

・•・x=12,

.-.s2=1(4+4+0+1+1)=2,

s=近.即总体的标准差为四.故④正确.

故答案为①，②，④

16.【答案】①③

【解析】

【分析】

本题考查了函数的图象与性质、考查函数的单调性和奇偶性以及函数最值，考查分段函

数解析式的求法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题.

根据题意得到

x2+4x,x4—2

‘2+<°'F⑸=n«ix{/(x),ff(x)}(xeR)

g(h)2x,-2<x<6,画

x—4T,N20

x2—4r,x26

出图象，数形结合即可得出答案.

【解答】

解：根据题意可得g(x)=俨：+：?，

(%,-4%,%>0

F(z)=nuw{f(x\g(x)}(x€R)

x2+4x,x<—2

2x,-2<x<6,

{x2—4x,x>6

画出尸(x)的大致图象,

由图象可得：①当x26时，・；——4%22x,二F(x)=/—4x,正确；

②由图象可得：函数F(x)不为奇函数，错误；

③由图象知函数F(x)在［-2,6］上是增函数，因此函数FQ)在［-2,2］上为增函数，正确;

④由图象易知函数F(x)的最小值为尸(-2)=-4,无最大值.错误，

其中正确的是①③.

故答案为①③.

17.【答案】|

2

【解析】

【分析】

本题考查向量运算、向量平行条件应用、三角形面积公式、向量的模及利用基本不等式

第22页，共30页

求最值，属于中档题.

由题意得而=m而+?而，利用C,D,P三点共线，可得m+?=1,即可得小

利用回4BC的面积为2遍可得|荏|•|彳？|=8，进而得荏・彳？=4，根据|3?|2|=

《前+:荏产

=；|正『+；|荏/+土利用基本不等式可得|而|的最小值为2.

【解答】

解：■■■AD=2~DB

一3—

***AB=~AD

2

__,__1_____t13__________>

AP=mAC+-AB=mAC4--x-AD

332

一1―，

=mAC+-AD

・・•C,D,P三点共线

1

-m4--=1

解得m=I，

1__.—.

"S"ABC=]14BI•IACI•sikBAC

=-\AB\-\AC\-sin-=—\AB\-\AC\=2y/3

|AB|-|Zt|=8

]

：.AB-AC=\AB\-\AC\-cos^BAC=8x-=4

■.■AP=^AC+-AB,

23

•••\AP\2\=\^AC+^AB\2=^AC\2+^AB-AC+^\AB\2

11411__>4

222

=4l^C|+g|AB|+3>2tl^C|x-|AB|2+-

1一1一414

=2x-|?lC|x-|^|+-=-x8+-=4

乙DDDD

当且仅当:\AC\=^\AB|时等号成立

•••|都|22当且仅当|四|=2百|万|=竽时等号成立

即|都|的最小值为2

故答案为：1；2.

18.【答案】2-i

【解析】

【分析】

本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的四则运算，复数相等的充要条件，共甑

复数，属中档题.

设复数z=x+yi（x,y€R）,由定义运算可得（x-y）+（x+y）i=3+i,再由复数相等

的充要条件可解得x，y的值，再由共物复数的概念及复数的几何意义即可解答.

【解答】

解：设复数z=%+yi（x,yeR）,

由定义运算I：^\=ad-bc,

可得11：i=z（i+0-（1+20（1-0=0,

将z=x+yi代入整理可得（％-y）+（%+y）i=3+i,

所以解得x=2,y=-l,

i1十y--L

所以z=2-i；

所以2=2+i,所以复数z的共甑复数2在复平面内对应的点在第一象限.

故答案为：2—3

19.【答案】解：（1）由题可知,^35,40）=0.04x5=0.2,故N=^=20,

而P[30,35）=1-0.05-0.15-0.2-0.15-0.1-0.05=0.3,

则Ni=20x0.3=6.

（2）由题可知N[M,55）=20x0,3=6,则有4名女教师和2名男教师，

设女教师为甲，乙，丙，丁，男教师为4B,从中随机选取3名担任后勤保障工作，

由于甲女一定入选，所以只需从剩下的5名老师中选取2名，基本事件有如下10种情

况，（乙丙）（乙丁）（乙4）（乙B）（丙丁）（丙4）（丙B）（丁4）（丁其中恰有2女教师的

有（乙4）（乙B）（丙4）（丙8）（丁4）（丁8）共6种情况，

第24页，共30页

(3)由题可知，N［30,35)=6,N［35,40)=4,所以

设［30,35)中的两名数学教师分别为C、D,其余四名教师分别为1,2,3,4,

设［35,40)中的两名数学教师分别为E、F,其余两名教师分别为5,6,

则［30,35)中的基本事件有:IC,2C,3C,4C,ID,2D,3D,4D,CD,12,13,14,

23,24,34共15种情况，符合题意的有：IC,2C,3C,4C,\D,ID,3D,4D,CD

共9种情况；

则［35,40)中的基本事件有：5E,6E,5F,6F,EF,56共6种情况，符合题意的有：5E,

6E,5F,6F,M共5种情况;

且两组的选择互不影响，所以互为独立事件，

95351

故P=-X-=-X-=-.

K156562

【解析】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真

审题.

(1)先求出年龄在［35,40)内的频率，由此能求出总人数M先求出［30,35)内的频率，再

求Ni：

(2)年龄在［40,55)之间的人数为6人，其中女教师4人，设女教师为甲，乙，丙，丁，

男教师为A,B,用列举法计算基本事件的个数再求概率即可；

(3)由年龄在［30,35)之间的人数为6,年龄在［35,40)之间的人数为4,根据古典概型概

率的求法及相互独立概率计算公式计算即可.

20.【答案】解：(1)a=(2sinx,cos2x),b=(V3cosx,2).

由/(x)=ab=2V3sinxcosx+2cos2x

=V3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+-)+1,

6

・•・/(%)的最小正周期T=y=7T,

由2/CTT+1W2%+1W孚+2/CTT,kEZ,

262

得：-+kir<x<—4-kir,/cGZ,

63

/Q)的单调递减区间为,k6Z；

(2)由xe［0,守可得：+成序］,

当2x+旨软寸，函数f(x)取得最小值为2si吟+1=0,

当2X+?=5时，函数f(x)取得最大值为25呜+1=3,

故得函数/(x)在区间［05］上的最大值为3,最小值为0.

【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培

养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.

(1)由/(1)=7T］，根据向量的数量积的运用可得/(x)的解析式，化简，利用周期公式

求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式

得函数的单调递减区间；

(2)在［0卷］上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出/"(X)的

最大值和最小值.

21.【答案】解：(1)由图象有4=四，最小正周期T=［("+£)=兀，

所以3=景=2,所以/(%)=V^sin(2x+(p).

由/(工)=-V5，得2.工+＜=苧+2/OT,k&Z,

所以W=；+2kn,kGZ.

又因为0＜枢＜2兀，所以

所以fQ)=V5sin(2x+g).

(2)由(1)可知/(x)=V3sin^2x+§,

n

h(x)=/W-f(.x-不)

=V3sin(2x+xV3sin2x

1V3

=3sin2x(-sin2x+—cos2x)

3.3V3

=-sin^2x4-—sin2xcos2x

31—cos4x3V3

=----------1——sin4x

224

37T3

=-sin(4x--)+-

LC)4

因为久中用，所以4久―底产,科

所以sin(4x—6卜：,1］，

所以/i(x)的取值范围为［0,：］.

第26页，共30页

【解析】本题考查函数y=Asin(3x+@)的图象与性质的综合应用，属于中档题.

(1)考查由部分图象求解析式，由最值求A,最小正周期T求3,根据定点求0,即可求

出函数的解析式；

(2)由⑴可知f(x)=V3sin(2x+9,h(x)=/(x)-f(x-^)=|sin(4x-;)+^确定

©T的范围，即可求出h(x)的取值范围.

22.【答案】⑴证明：•.•四边形ABCC为矩形,

EC//AB,

EC//AB,4Bu平面ZMB,ECC平面DAB,

EC〃平面DAB,

•••平面。ECCI平面。AB=I,

ECu面DEC

二EC//1.

(2)证明：•••48=2,BC=1,E是C£>中点，

BE=AE=&，

BE2+AE2=AB2

・•・BE1AE,

•・•平面ZX4E1平面A8CE,平面DAEn平面48CE=AE,BEc®ABCE

・•・BEL平面ADE；

(3)由(2)可得BE工平面ADE,

vDEu平面ADE

.%BE1DE,过。作。。：E,

•・•平面DAE工平面ABCE,平面n平面/BCE=AE,DOu面ADE,

・•.DO•L平面ABCE,DO=—,

2

根据Pc-DEB—力-CEB，

则:•h-S^DEB—1.DO-SABCE,

1111

即-•h•BE•DE=-••BC•EC,

3232

解得h=p

所以C到平面8OE的距离是a

【解析】本题主要考查的是线面关系，面面关系，考查距离问题，是中档题.

(1)由线EC〃48可得到EC〃平面DAB,利用线面平行的性质定理得到CE〃/;

(2)易得再结合平面ZME1平面ABCE,可证得BE1平面4DE;

⑶过