高中数学导数满分通关专题14 两个经典不等式的应用(原卷版)VIP

专题14两个经典不等式的应用逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．1．对数形式：x≥1＋lnx(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．2．指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋lnx(x>0，且x≠1)．注意：选填题可直接使用，解答题必须先证明后再使用．考点一两个经典不等式的应用1．对数形式：x≥1＋lnx(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．2．指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．【例题选讲】[例1](1)已知对任意x，都有xe2x－ax－x≥1＋lnx，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝ex－ax－1，g(x)＝lnx－ax－1，其中0<a<1，e为自然对数的底数，若∃x0∈(0，＋∞)，使f(x0)g(x0)>0，则实数a的取值范围是________．[例2]函数f(x)＝ln(x＋1)－ax，g(x)＝1－ex．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≥g(x)在x∈[0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．[例3]已知函数f(x)＝ex－a．(1)若函数f(x)的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值；(2)若f(x)－lnx>0恒成立，求整数a的最大值．[例4]已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－alnx(a∈R)．(1)求函数y＝f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，证明：对任意的x>0，f(x)＋ex>x2＋x＋2．[例5]已知函数f(x)＝x－1－alnx．(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)证明：对于任意正整数n，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))<e．【对点训练】1．已知函数f(x)＝ex，x∈R．证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝eq\f(1,2)x2＋x＋1有唯一公共点．2．(2018·全国Ⅰ改编)已知函数f(x)＝aex－lnx－1．(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a的值并求f(x)的单调区间；(2)求证：当a＝eq\f(1,e)时，f(x)≥0．3．(2020·山东)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

4．已知函数f(x)＝aex＋2x－1(其中常数e＝2．71828…是自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：对任意的a≥1，当x>0时，f(x)≥(x＋ae)x．5．已知函数f(x)＝alnx＋1(a∈R)．(1)若g(x)＝x－f(x)，讨论函数g(x)的单调性；(2)若t(x)＝eq\f(1,2)x2＋x，h(x)＝ex－1(其中e是自然对数的底数)，且a＝1，x∈(0，＋∞)，求证：h(x)>t(x)>f(x)．6．已知函数f(x)＝kx－lnx－1(k>0)．(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值；(2)证明：当n∈N*时，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)>ln(n＋1)．考点二经典不等式的变形不等式的应用【例题选讲】[例1]证明下列不等式(1)ex－1≥x；(2)ln(x＋1)≤x；(3)eq\f(x,1＋x)<ln(1＋x)(x>0)；(4)ex－ln(x＋2)>0．[例2](1)已知函数f(x)＝eq\f(1,ln(x＋1)－x)，则y＝f(x)的图象大致为()(2)函数f(x)＝ex－1－eq\f(1,2)ax2＋(a－1)x＋a2在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．{1}B．{－1，1}C．{0，1}D．{－1，0}[例3]设函数f(x)＝lnx－x＋1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1<eq\f(x－1,lnx)<x．[例4]已知函数f(x)＝ln(1＋x)．(1)求证：当x∈(0，＋∞)时，eq\f(x,1＋x)<f(x)<x；(2)已知e为自然对数的底数，证明：∀n∈N*，eq\r(e)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,n2)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(n,n2)))<e．【对点训练】1．已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，证明：f(x)≥eq\f(2a－1,a)．2．已知函数f(x