新人教版八年级上册第十一章《三角形》导学案

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新人教版八年级—上册.第十一章_《三角形》—导学

案

第十一章三角形IL1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边

学习目标：

1、明确三角形的相关概念；能正确对三角形进行分类；2、能利用三

角形三边关系进行有关计算。新课导学：

三角形的有关概念一一阅读课本第1至3页，回答以下问题：

(1)三角形概念：由不在同一直线上的条线段连接所组成的图形。

(2)三角形的表示法(如图1)三角形ABC可表示为：；(3)AABC的

顶点分别为A、、；(3)AABC的内角分别为NABC,,；

(4)△ABC的三条边分别为AB,,；或@,、；

(5)顶点A的对边是，顶点B的对边分别是，顶点C的对边分别

是。三角形的分类：

(1)下图中，每个三角形的内角各有什么特点？

(2)下图中，每个三角形的三边各有什么特点？

(3)结合以上图形你认为三角形可以如何分类？试一试

①按角分类：②按边分类：

(5)等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰的等腰三角形。

3、三角形的三边关系

问题1：如图，现有三块地，问从A地到B地有几种走法，哪一种走法

的距离最近？请将你的设计方案填写在下表中：

微一-B地Ajt?—►C地一＞8地

比我

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A地

B地

(3)阅读课本第3页，填写：三角形两边的和

(4)用式子表示：BC+ACAB(填上“>"或“<")①BC+AB

AC(填上“>”或“<”)②

4、例题：用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底

边的2倍，那么各边的长是多少？

解：设底边长为xcm,则腰长是cm因为三角形的周长为cm

所以：所以x=cm

答：三角形的三边分别是、、课堂练习：A组

1.①图中有个三角形，分别为

AB+ACBC（填上“>"或“<”）③

第1题

②△ABC的三个顶点是、、；三个内角是、、

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2、如图中有个三角形，用符号表示

3.判断下列线段能否组成三角形：

(4)在等腰三角形中，叫做腰，另外一边叫做，两腰的夹角叫做，

①4,5,6()②1,2,3()③2,2,6()@8,8,2()叫做

底角。

-1-

A

A

图(二)

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A

图（三）

4、等腰三角形一腰长为6,底边长为7,则另一腰为，周长为。5、

等腰三角形一边长为6,一边长为7,则第三边是，周长为。

B组

例题：

用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若有一边的长为4cm,

那么另两边为多少？分析：

题中没有说明已知的边是底还是腰，所以4cm可以作底，也可以作腰,

本题分两种情况；解：当长的边4cm为底边，设腰长为xcm,

则，x=；

当长的边4cm为腰，设底边为xcm,则，x=；

答：三角形另两边为思考：按上述方法求得线段能否构成三角形？

6、等腰三角形一边长为8,一边长为2,则第三边是，周长为。

7、等腰三角形周长为22,一边长为10,求另两边长；

8、等腰三角形周长为30,一边长为8,求另两边长;

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9、等腰三角形周长为10,一边长为6,求另两边长；

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

学习目标：

正确理解三角形的中线、角平分线、高；利用它们的性质解简单几何

计算题。课前知识：

如右图，顶点A的对边是,顶点B、C的对边分别是、。NBAC的

对边是，

ZABC,NBCA的对边分别是、。新课导学：

1、阅读课本第4页至第5页，了解什么是三角形的高线、中线、角平

分线；2、请在下图中分别画出三角形的高AD、中线AE、角平分线AF；

过点A作三角形的高AD

画三角形的中线AE

画角平分线AF

(1)三角形的中线(如图一)：

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1

2

②AB=2=2(2)三角形的角平分线(如图二)：

：BE是AABC中NABC的角平分线

.•.①/1=N2=ZABC②NABC=2/=2/(3)三角形的高线(如图

三)•

VAD为△ABC中BC边上的高，

.•.①!②/=Z=90°

-2-

四.巩固练习：A组:

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1、按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线

3、如图2,AD为AABC中BC边上的高，ZB=35°,ZC=45°,则

ZBDA=°ZBAD=°,ZCAD=°。

4、如图3,△ABC的周长为20,AB=6,AC=8,AD是BC边上的中线，则

BC=,BD=,CD=。

5、下列三个图中三个NB有什么不同？过点A作画出下列三角形的

高，这三个三角形ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置上？你能

说出其中的规律？

解：图一NB是角，这个三角形ABC的边BC上的高AD在

图二NB是角，这个三角形ABC的边BC上的高AD在图三NB是角，

这个三角形ABC的边BC上的高AD在

6、在aABC中，AD是中线，AE是角平分线、AF是高，填空：（1）

BD==

1

;2

(2)

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1

(3)(4)S

ABC

画中线AD画DF边上的高EM

图2

图1

1

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7、如图，在AABC中，ZBAC=60°,ZB=45°,AD是AABC的一条

角平分线，求NADB的度数。

8、ZB=30°,ZC=70°,AD、AE分别为BC边上的角平分线、高。求

ZDAE的度数。、

C组：

如图，△ABC中，AB=2,BC=4,AABC

的高AD与CE的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式）

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2、如图1：ZBAC=60°,AD是三角形ABC的角平分线，则NBAD=°,

ZCAD=°；

A

A

BC

图㈠

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11.1.3三角形的稳定性及复习

学习目标：

1、了解三角形的稳定性；2、复习三角形有关线段新课导学：

阅读课本第6页至第7页回答下列问题

盖房子时，在窗框未安装好前，木工师傅常先在窗框上斜钉一根木条,

为什么？

⑴

⑵

三角形有关线段复习

(3)(4)

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(5)

(6)

一、知识点:

按角分类三角形三条边

的等腰三角形等腰三角形

三角形三边的关系:

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1、三角形的任意两边之和第三边；2、三角形的任意两边之差第三

边。

如图一，+>；->三角形的重要线段：

(1)三角形的高(2)三角形的中线(3)三角形的角平分线

如图，在

中，AD±BC,AE平分NBAC,F是BC边上的中点，则有

(1)AD1BC,Z=Z=90°

(2)•.,AE平分NBAC,AZ=/=/

(3)是BC边上的中点，,==

(四)三角形的稳定性：

盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，(如右图)为什么

要这样做呢？

答：

练习：要是四边形木架不变形，至少要在钉几根木条？

至少要钉根木条至少要钉根木条根木条二、练习：(一)、选择

题：

1.如图，共有三角形的个数是()(A)3(B)4(C)5(D)6

2.以下列长度(cm)的三条小木棒，若首尾顺次连接，能钉成三角形

的是()。(A)10、14、24(B)12、16、32(C)16、6、4(D)8、

10、12(二)填空：

1、如图：AD、AE分别是

的角平分线和中线，如果

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ZBAD=50°,CE=5cm,那么NBAC=度，BC=cm；2、等腰三角形的

两条边长分别为10cm和5cm，它们的周长是cm。

3、已知等腰三角形的一边长等于5cm,一边长等于6cm,则它的周长

为cm。4、一个等腰三角形的周长是20cm,

（1）若一条边长为5cm,则另两边的长分别为；（2）若一条边长

为6cm,则另两边的长分别为。5、如图，在aABC中，ZBAC=90°,AD

是BC边上的高，DELAB于E,那么图中共有个直角三角形。（三）按要

求画出下列三角形的高

画AC边上高

画DE边上高

画HG边上高

-4-

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11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角

学习目标:

（1）学会利用已学的相交线与平行线等相关性质证明三角形的内角和

定理；（2）初步了解什么是几何证明，并感受证明几何问题的基本结构和

推导过程；（3）基本学会利用三角形内角和定理解决生活中的实际问题。

新课导学：

N

图1⑴

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（五）巩固练习

比一比，看谁最快求出下列各图形中，Z1,N2或N3的度数;

ZZ3=

（六）应用举例

如图3,C岛在A岛的北偏东50度方向，B岛在A岛的北偏东80度方

向，C岛在B岛的北偏西

40度方向，从C岛看A、B两岛的视角NACB是多少度？

（-t）练习A组

A

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,则N1等于

2、若在AM上任取一点

(2),

E

则：（1）N2等于度，根据:

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（2）N3等于度，根据：（3）N1+N2+N3等于度。

（三）问题：任剪一个三角形，按下列要求进行实验（1）先剪下NB

和NC（如图2）,然后把它们与/A拼合在一起，就得到一个平角.有多

少种不同的拼合方法？请你把这些不同的方法分别拼出来；这个实验说明

什么？你会证明吗？

实验说明：

（2）在（1）中你觉得哪几种拼合的结果有助于发现证明三角形内角和

等于180度思路？它们有什么共同的特点？

（四）证明三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180°；

已知：如图3,三角形ABC求证：NA+NB+NC=证明：（方法一）

2、求下列图形中的Nl、N2的度数：

（1）（2）（3）

AB〃CD

Zl=°Zl=°Zl=°Z2=°Z2=°Z2=°3、如图，从A处观测C

处时仰角/CAD=30。，从B处观测C处时仰角为NCBD=45°,则NCBA是度，

第3题

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图2

从C处观测A,B两处时视角NACB是度。

B组

4、如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,其中NA=150

度，NB=ND=40度，求NC的度数。

9、如图3,A岛在B岛的北偏东50度方向，C岛在B岛的北偏东80度

方向，C岛在A岛的现偏东30度方向，从C岛看A、B两岛的视角NACB

是多少度？

5、如图，AD±BC,Z1=Z2,NC=65°，求NBAC的度数。

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B

D

第5题

6、在三角形ABC中NB=NA+10°,ZC=ZB+10°,求三角形ABC的各

内角的度数；

7、如图，AB〃CD,ZA=40°,ZD=45°,求N1和N2；

8、如图AB〃CD,ZA=45°,ZC=ZE,求NC；

第七章三角形（五）一一三角形的外角

学习目标：

1、知道什么叫三角形的外角；理解三角形外角的两条性质定理；

2.能用三角形外角的有关定理解答问题。复习回顾：

1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于。2、如图，^ABC中

NA+NB+NC=

3、如图，在AABC中若NA=60°,ZB=35°,则NACB=°,

NACD=；新课导入：

（一）认识三角形的外角，阅读课本第74页，了解什么是三角形的外

角，并回答下列问题：1、如图，AABC的一个外角是；2、如图，若

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ZC=50°,ZB=28°,则NBAC=°NDAB=°（二）三角形外角的性质定

理：

1、如图，△ABC的一个外角是

,和它不相邻的内角

-6-

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（第4题）

是，。

2、猜想：NBAD和NB、NC之间的关系是。证明：

归纳：①三角形的一个外角等于；②三角形的一个外角大于一个。

几何语言：Z1=Z+N；

ZABE=+；Z1>Z；Z1>Z；

（三）三角形的外角和一一每一个三角形的内角相应地取其中一个外角

相加的结果；

思考：如图，Zl+Z2+Z3=°（你能证明得到的结论吗？）证明：

归纳：三角形的外角和等于°

三、巩固练习：A组：计算:

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2、如图，CE〃AB

AZ2=°ZCDE=°,ZE=°3、ZA,ZB,NC是AABC的三个

内角，ZA=90°,ZB=55°,则NC=°

4、ZA,ZB,NC是△ABC的三个内角，NA=90°,ZB=55°,则与

NC相邻的外角=°

5、右图：AACD的外角是。

6、下列说法正确的是（）

A.三角形的一个外角大于它的一个内角；B.三角形的一个外角等于

它的两个内角；

C.三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和；D.以上答案都

不对。

B组：

1、下列各图中，表示N1是aABC的外角的是（）

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1

2

2AB

C

D

A、NEFD是ABFC的一个外角；B、NDFC是ABFC的一个外角；C、

ZEFD+ZFBC+ZFCB=180°；

.\Z1=AZ2=°AZ3=°

D、ZCDF=ZA+ZABD

3、如图，D是AABC边上的一点,E是BD上一点，则对Zl>N2、

NA之间的关系描述正确的是（）。A、ZA<Z1>Z2B、

Z2>Z1>ZAC、Z1>Z2>ZAD、无法确定

Z4=°，N5=°AZ6=°

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第3题

4、填空：

(1)一个三角形最多有个直角，一个三角形最多有个钝角；

(2)一个三角形的三个外角中，最多有个锐角，最多有个直角，最

多有个钝角。

5、如右图：D是AABC中BC边上的一点，ZB=ZBAD,ZADC=80°,

ZBAC=70°,求：ZB,NC的度数。

6、如右图：在直角三角形ABC中，CD_LAB于D,ZBCD=35°,求

NA、NEBC的度数。C组：

如图，4ABC中，分别延长aABC的边AB、AC到D、E,NCBD与NBCE

的平分线相交于点P,爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：若/A

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=50°,则NP=°；若NA=90°,则NP=°；若NA=100°,贝UNP

_O

请你用数学表达式归纳NA与NP的关系，并说明理由。

第七章三角形（六）一一练习2

一、知识点：三角形的角：

1.三角形的内角和等于°2.三角形的外角和等于°如图，Z是

的一个外角3.三角形外角性质：

第2、3小题

如图，ZACD=Z+Z；

（2）三角形的一个外角大于。如图，ZACD>；ZACD>三角形的

三边关系：

三角形的任意两边之和第三边；三角形任意两边之差第三边。即：

三角形两边<三角形的第三边〈三角形的两边

二、练习：

2.有一块直角三角形纸片ABC,把它折叠，使点C落在AB边上。若

ZC=90°,NB=40°,则NDAB=。3.在△ABC中（如图），BD平分

ZABC,ZA=36°,ZC=72°,

那么NABD的度数是；NBDC的度数是。

4、等腰三角形的两条边长分别为8cm和5cm,它们的周长是cm

5.一个等腰三角形的周长是18cm,其中一边长为5,则其余两边的长

分别是。

6.如图：1〃2,Zl=80°,Z2=30°,求N3的度数；B条且

7.如图：AB〃CD,AD//CD,Zl=50°,Z2=80°。（1）ZBDC,

NDBC分别是多少度？（2）/C等于多少度？

-8-

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第2题

1.如图：AB〃CD,AD和BC交于点0

,若NA=42°ZC=59°,则NAOB等于.

第1题

11

第6题

第7题

（1）三角形的一个外角等于；

8.在AABC中，若NA:NB:NC=2:3:4,则NA、NB度数

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9.在中

10.在中-35。，求

11.如图：Z\ABC中,ZACB=90°,CD是斜边上的高，如果NA=2NB,

求NB,NACD的度数。

-9-

C/且

12.如图，AB〃CD,ZBAE=ZDCE=45°,求NE的度数。

1

求

13.已知4ABC中AB=AC,且BD平分AC,若BD把4ABC的周长分为

12cm和15cm两部分，求三边的长。

第七章三角形（七）多边形的内角和与外角和1

一、学习目标:

八l

B----------c

4

256

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了解多边形外角，并能简单识别掌握多边形内角和定理、外角和公式的

推导方法能灵活运用定理和公式进行计算解决问题。二、教学过程：

环节一、复习回顾，如图，填空：(1)Zl+Z2+Z3=；(2)

Z4+Z5+Z6=；

(3)Z4=Z+Z；Z5=+；(4)Z6>Z；Z6>Z

环节二、学习多边形的有关概念，阅读课本第79至80页，回答：1、

由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做。

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2、如果一个多边形由n条线段组成，你们这个多边形就叫做n边形，

填空：

边形边形边形

3、阅读课本，了解凸多边形的概念，并判断下列图形是凸多边形有；

4、连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的。

环节三、新课探索：（一）多边形的内角和：

1、回忆：三角形的内角和等于度；2、问题：四边形的内角和又会是

多少？即：ZA+ZB+ZC+ZD=o你会利用所学知识说明以上结论？

3、探索规律：（仿照以上问题中做对角线的方法进行研究）5、如

图，请画出下列多边形中的A点与其他顶点的对角线，并回答问题：

四边形被对角线分成个三角形五边形被对角线分成个三角形

6、各角都，各边都的多边形叫正多边形

正边形正边形正边形正边形

-10-

n边形的内角和=o

（二）问题：多边形的外角和是多少？1、试一试：如图：

VZ4+Z5+Z6=°

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Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=°

.*.Z1+Z2+Z3=°

...三角形的外角和为°

(2)如图：VZ5+Z6+Z7+Z8=°

且N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=°

.*.Z1+Z2+Z3+Z4=°工四边形的外角和为°

(3)如图：VZ6+Z7+Z8+Z9+Z10=°

HZl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8+Z9+Z10=°AZ1+Z2+Z3

+N4+N5=°，五边形的外角和为°2、归纳：任意多边形的外角和都

为°环节四、课堂练习1、求出下列图中X的值：

第七章三角形（A）多边形的内角和与外角和2

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一、学习目标：

熟练掌握多边形的相关概念，并能运用定理以及公式解决问题。二、

学习过程环节一、知识点回顾：

1、多边形的内角和是。2、多边形的外角和是。

环节二：练习A组

X二X二X二X二

2、求八边形的内角和的度数与外角和度数。

解：由内角和公式，得由

外角和公式，得八边形外角和是。答：八边形的内角和是，外角和是。

3、n边形的外角和等于度；若一个n边形的每个外角都为72°,那么

这个多边形的边数n为。4、一个多边形的内角和为1980°,求多边形的

边数。

解：设这个多边形的边数是n,根据多边形内角和公式得

（一）填空

1、从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分

成个三角形。

2、八边形的内角和是，外角和是；如果八边形的各个内角都相等，

那么它的每一个内角都等于。

3、十边形的内角和为，外角和为；正十边形的每个内角为，每个

外角为。

4、n边形的外角和等于度；若一个n边形的每个外角都为24°,那么

边数n为。

5、填表:

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6、边形的内角和与外角和相等；

7、(1)一个多边形的内角和是外角和的一半，求这个多边形的边数。

-11-

解上述方程得：

答：这个多边形的边数是；

5、命题：如果一个四边边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补

已知：如图，已知四边形ABCD中，ZA+ZC=180°；求证：ZB+ZD

=180°证明：

(2)一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数。

解：(1)设这个多边形的边数为n,则(2)设这个多边形的边数为

n,则

8、如图，在四边形ABCD中，ZA=ZC,NB=ND；

求证：AB〃CD,BC〃AD；

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3、如图，正六边形ABCDEF中，ZDAB=60°o试判断AB与DE有什么

关系？BC与EF有什么关系？

1、如图BCLCD,Z1=Z2=Z3,Z4=60°,Z5=Z6.(1)CO是4BCD

的高吗？为什么？(2)N5的度数是多少？

(3)求四边形ABCD各内角的度数。

C组

将一张六边形纸片剪去一个角后，形成的新多边形的内角和是多少？A

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2、如图，五边形ABCDE的内角都相等，且N1=N2,Z3=Z4,求x

的值。

第七章三角形（九）一一复习

一、学习目标：

了解三角形的有关概念，能正确画出三角形的高、中线、角平分线，掌

握三角形、多边形的内角和定理，掌握多边形的外角和定理，并会应用；

二、知识点：三角形的分类：

锐角三角形----三角形------三角形------

：AF是的一条中线工二=三角形的一些性质：

1.三角形的内角和等于°如图，在中：3.三角形外角性质

1

2

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2、三角形的外角和等于°

如图：ZACD=Z+/；；；4、三角

形的三边关系：

（1）三角形的任何两边之和。（2）三角形的任何两边之差。

如图，中，若BC<AC,则；

、三角形具有性。（四）多边形的有

关概念及性质：1、正多边形：

如果多边形满足条件、，则称为正多边形。2、多边形的对角线：

多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段。3、多边形的一些性

质：（1）n边形的内角和等于。（2）n边形的外角和等于。（3）正

n边形的每一个内角等于。

三、练习：（一）填空题：

1.如图：AD、AE分别是的角平分线和BC边上的中线，如果

ZBAC=100°,CB=10cm,那么NDAC=度，EC=cm；

2.已知NA、NB、NC是aABC的三个内角.

（1）如果NA=90°,ZC=55°,那么NB=；（2）如果

ZA=50°,ZB=ZC,那么NB=；

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按角分类<

工等

按边分类<

等F

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(-)三角形的重要线段：

(1)三角形的高线，如图，在中

：AD是的一条高=90°

(2)三角形的角平分线，如图，在中

•••AE是的一条角平分线

.t.Z=/=/

2

(3)三角形的中线，如图，在中

(3)如果NA=90°,ZB-ZC=30°,那么/B=_____,

NC=；(4)如果NC=4NA,ZA+ZB=100°,那么NA=

，NB=,

3.如图：AB±BD,AC1CD,若NA=40°,贝

,ZD=；4.已知△ABC是等腰三角形,

(1)如果它的两条边长的长分别为8cm和5cm，那么它的周长是。

(2)如果它的周长为18cm,一条边的长为4cm,那么另两边长是。

5.已知三角形的三边分别为2,a,4,那么a的取值范围是。6.如

图，在aABC中，NACB=NABC=2NA,BD是AC边上的高，则NDBC=7.从

八边形的一个顶点出发，可以引条对角线，把这个八边形分成个三角形。

(二)填表

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*Q电衲通■K

的年牌收

(1)在图1中作aABC的中线BD；

(2)在图2中过点A作AABC的角平分线AE；(3)在图3中作4ABC

的高AF、CG；

(四)解答题：

1、已知：如图，NB=42°,ZA+10°=Z1,NACD=64°求证：

2、如图，在aABC中，AD是高，AE,BF是角平分线，它们相交于点

0,NBAC=50°,ZC=70°,求NDAC,ZBOA.

※3、如图，Z1=Z2,Z3=Z4,ZA=1100,求x的值。

※人已知aABC的NB和NC的平分线BE,CF交于点G；

求证:(1)ZBGC=180°

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(ZABC+ZACB)21

(2)ZBGC=90°+ZA

2

第七章三角形镶嵌一一用正多边形拼地砖

一、学习目标:

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明确什么样的正多边形可以拼地板。

明确用多种正多边形拼地板的理论依据。二、新课探索：

环节一、用相同的正多边形拼地板：1、用相同的正三角形拼地板（如

右图）

•.•正三角形的每一个内角为一°,即

Z1=Z2=Z3=Z4=Z5=Z6=°/.Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=

2、用相同的正四边形拼地板（如右图）•••正四边形的每一个内角为

,°即N1=N2=N3=N4=__°

由正六边形和正三角形组成

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yyyyY

AA23AAA

.-.Zl+Z2+Z3+Z4=____°

3、用相同的正六边形拼地板（如右图）•••正六边形的每一个内角为

,°,BPZ1=Z2=Z3=°.\Z1+Z2+Z3=____°

结论：使用