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用数学的眼光刻画世界

——三角形外角和的探究晚上散步时，张大爷绕着一个三角形花坛走了一圈，可以看出，他在每一个拐弯处都转了一个角度。当张大爷回到原来的位置时，他一共转了多少度？张大爷CHUANGYISHOUHUI180°学生迅速给出答案

那，对不对呢？显然，把转过的角度当做三角形的内角了。用几何画板演示一下大家认识到，当一个人沿着三角形走时，在每个顶点处转过的角，指的是三角形的一条边的延长线与另一条边所成的角是三角形的外角你觉得三角形的外角和是多少度？你是怎么得到的？看谁想的方法多？常规做法方法一

利用每个外角和其相邻的的内角互补，这样可以得到三个平角。外角和等于三个平角减去一个内角和。∠1+∠4=180°，∠2+∠5=180°，∠3+∠6=180°，∠1+∠2+∠3=180°，∠4+∠5+∠6=180°×3-180°=360°将外角问题转化为内角问题

方法二:∠4=∠2+∠3，∠5=∠1+∠3，∠6=∠1+∠2，∠4+∠5+∠6=2∠1+2∠2+2∠3=360°利用平行转化角方法三:过点B作BM∥AC，∴∠1=∠4，∠3=∠MBC，∵∠4+∠2+∠MBC=360°，∴三角形外角是360°利用平行线将角转换位置，拼成周角。将∠1拆分成∠4和∠5，运用平行线的性质，将∠4转移到C处，与∠3拼成一个平角。将∠5转移到点B处，与∠2拼成一个平角。方法四利用平行，转化为两个平角的和。

方法五：过边上任意一点做平行过AC边上一点E作两条平行线，将∠1、∠2、∠3都转移到点E处。过点E作DE∥AB，EF∥BC，∵∠1=∠4，∠2=∠5=∠DEF,∠3=∠6。∴∠1+∠2+∠3=360°方法六：三角形外一点作平行在三角形的外部取点D，过点D作DM∥AB,DN∥BC,DP∥AC,∴∠1=∠4=∠PDM，∠2=∠5=∠6，∠3=∠7=∠8∴∠1+∠2+∠3=360°过三角形内部一点O作三边平行线，应用两直线平行同位角相等。

把∠1平移两次到点O处，同理将∠2和∠3也平移到点O处，从而证明。方法七：在三角形内部找一点作平行过A、B、C作三条互相平行的直线，将∠2拆分成∠4和∠5，由平行可将∠4转移到点A处，同样将∠3拆成∠6和∠7，将∠6转移到点A处，∠1、∠4和∠6拼成一个平角。∠7的对顶角和∠5组成平行线间的同旁内角，又一个180°，从而证明。方法八：分别过三个顶点作平行线再换个角度思考方法九:外角转化为内角在△ADE中，∠1+∠4+∠5=180°，在△BEF中，∠2+∠6+∠7=180°，在△DCF中，∠3+∠8+∠9=180°，在△DEF中，∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°前

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