人教版高中数学选择性必修第一册第一章测试题及答案解析

人教版高中数学选择性必修第一册第一章测试题及答案解析

第一章空间向量与立体几何测试题

考试过问：120分钟满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.已知）二（1,2,—y）,5=（乂1,2）,且力:/（£—万），则（）

11

A.x=~,y=iB.x=-y=-4

321

C.x=2,y=—D.x=l>y=-1

4

2.在长方体48CD-A4GA中，AB=BC=\,AA}=43t则异面直线AR与。鸟所成角的余弦值为

A.1B.在C.在D.立

5652

3.如图所示，在平行六面体中，M为AC；与3Q的交点，若AB=a，AO=〃，旃=2,则

BM=（）

1-

B.-ciH—b+c

22

1-1-1-1£-

C.——a——br+cD.一一a+—b+c

2222

4.如图，棱长为1的正方体A8CO-A8G。中，尸为线段A8上的动点（不含端点），则下列结论正确的是

)

A.直线RP与AC所成的角可能是?

O

B.平面力//I平面AAP

C.三棱锥8P的体积不是定值

D.平面AP"截正方体所得的截面可能是直角三角形

5.下列说法中正确的是（）

A.若卜卜忖，则£、B的长度相等，方向相同或相反

B.若向量£是向量B的相反向量，则M=W

C.空间向量的减法满足结合律

D.在四边形48co中，一定有通+而=而

6.如图所示，在正方体ABC。-4及GD中，P为线段8G上的动点，给出下列四个结论：①。尸长度为定值；

②三棱锥P-A片。的体积为定值；③任意点P,都有。P_LAC；④存在点P,使得平面ABQI其中正

确的是（）

7.如图所示，在三棱柱ABC—AqG中，的,_L底面ABC,AB=BC=AA.,NA8C=],点、E,尸分别是棱

AB,8旦的中点，则直线EF与BG所成的角是（）

8.已知直角梯形4BCO满足：AD^BC,CD^DA,且为正三角形.将㈤WC沿着直线AC翻折至财

如图，且ADV60yC。，二面角Z7-A6-C、iy-BC-A.O'-4c-6的平面角大小分别为a/,y,直线O'A，

UB,DC与平面ABC所成角分别是仍，&,&,则（）

A.a>y>p

B.qvav/ep>y

c.a>a>a，«<^<r

D.0<02<0ya<p<y

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合

题目要求的.

9.设｛2瓦可是空间的一组基底，则下列结论正确的是（）

A.7B，）可以为任意向量

B.对空间任一向量方，存在唯一有序实数组（x,y,z）,使万=x£+yB+z£

C.若a工b,另_Lc，则a_Lc

D.^a+2b,b+2c,工+2司可以作为构成空间的一组基底

io.如图，正方体ABCO-AQGR的棱长为1,则下列四个命题正确的是（）

A.两条异面直线AC和8G所成的角为:

B,直线BC与平面ABC］。所成的角等于J

C.点。到面AC©的距离为正

3

D.三棱柱4AA-BBC外接球半径为正

2

11.在下列条件中，不能使"与A，B,C定共面的是（)

_____.___1_.1—.]—.

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=-OA+-OB+-OC

J。4

UUUUUWUUU1f......一

c.MA+MB+MC=OD.。/+OA+08+OC=0

12.如图，正方体AACO-AQCR的棱长为2,动点P,。分别在线段C。，4c上，则下列命题正确的是

A.直线8C与平面MCQ所成的角等于?B.点C到平面A8GR的距离为0

C.异面直线。。和BG所成的角为D.线段尸。长度的最小值为2©

43

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知向量〃=(2,0,1)为平面a的法向量，点4-121)在a内，则点P(l,2,2)到平面。的距离为

14.在正方体一ABCR中，点M是AA的中点，已知通=£,AD=b^羽=",用工表示a7,

则而=.

15.已知,出是空间两个向量，若|。|=2,出|=2,|1一5|=J7,贝ljcos<25>=.

16.如图，已知正方体48co-A4GA的棱长为4,M,E分别是棱B片和CG的中点，尸是侧面8CC由内

的动点，且A尸〃平面当厂的外接圆面积最小时，三棱锥A-4用”的外接球的表面积为

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，四棱锥尸-A8C。的侧面△以/)是正三角形，底面4B8是直角梯形，/BAD=ZADC=90,

AD=AB=2CD=2tM为8c的中点.

(1)求证：PMLAD；

(2)若尸B=求线PM与平面所成角的正弦值.

18.如图，在四棱锥P-ABC。中，。是的中点，PO_L平面ABC。，/DAB=/BCD=90。,

AD=AC=CD=2j3,DP=yfb.

(1)求证：平面平面4PC；

ULIUuuu

(2)TSPM=APC(O<A<1),若二面角-P的余弦值为富.求Z的值.

19.如图，在空间四边形中，28。=。3，点E为A。的中点，设。4=。，OB=btOC=c.

(1)试用向量b»"表示向量屈；

(2)若Q4=OC=3,08=2,ZAOC=ZBOC=ZAOB=6()°,求壶.而的值.

20.如图，在几何体ABC-A4G中，底面AABC是边长为2的正三角形，AA■!"平面ABC,ZBBJ/CC、,

且6AAi=2B5=3CG=6,E是48的中点.

⑴求:正：CE〃平面A^G；

⑵求平面ABC和平面AGA的夹角的余弦值.

21.如图，在直三棱柱ABC-A8C中，/?C=72,AB=AC=AA,=lfG是4尸的中点，AP与棱℃相交

于J/占3、、。•

A____________C

⑴求证：尸玛〃平面双出；

⑵求二面角\-B.D-P的正弦值.

22.如图，AD//BCRAD=2BC,4。_18,的//4力且七6=同。，CD//FG&CD=2FG,OG_L平面ABC。,

DA=DC=DG=2.

(I)若M为。尸的中点，N为EG的中点,求证：MN||平面CDE；

(II)求二面角的正弦值；

(川)若点P在线段DG_L,且直线BP与平面ADGE所成的角为6CT,求线段DP的长.

答案解析

考试时间：120分钟满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.已知3=(1,2,—y),石=(乂1,2),且沟R-B),则()

11

A.x=-y=iB.x=—y=-4

3f2t

C.x=2,y=--D.x=\y=-l

4t

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得小)，的值.

【详解】

a=(l,2,-y),^=(xj,2),

则G4=(l—xj—y—2),»=(2x,2,4)

由双(。叫，可嗝J.")"。，解制二

故选：B

2.在长方体ABC。-ABCA中，AB=BC=\,e=>/5,则异面直线A"与。片所成角的余弦值为

A1R下「石C近

A・tJ・C.U・

56s2

【答案】c

【解析】

【详解】

分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等

或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为X,y,2轴建立空间直角坐标系，则。（0,0,0）,A（I,0,0），4（l,1,6）㈤（0,0,6）,

所以碣=（—1,0,75）,函=（1,1，6），

/、AD.DR-1+3亚庆

因为cos（A〃,£>4）=扃扃=右方二与，所以异面直线AR与。片所成角的余弦值为苧，选C.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破〃：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，

破"求坐标关"，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关"，求出平面的法向量；第四，破"应用公式关

3.如图所示，在平行六面体A8CO-A8cA中，M为A£与MA的交点，若丽=£，AD=b，丽=鼠则

BM=（）

1-

B.—a+—b+c

22

1-1-

D.一一a+-br+c

22

【答案】D

【解析】

【分析】

根据空间向量的运算法则和空间向最基本定理相关知识求解即可.

【详解】

由题意得，的=函+；丽=上+匕+乙

22

故选：D

4.如图，棱长为1的正方体ABC。-48GA中，尸为线段4班上的动点（不含端点），则下列结论正确的是

()

A.直线RP与4c所成的角可能是2

B.平面平面AAP

C.三棱锥A-8P的体积不是定值

D.平面AP"截正方体所得的截面可能是直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

判断结论是否正确，需要每个选项都验证;对于A选项，在该空间几何体中建立空间直角坐标系，用向量法求出异

面直线所成的角即可;B选项用面面垂直的判定证明平面RAP，平面44P；C选项用换底法%.w=Ls；得

出体积为定值;D选项则直接观测即可判断.

【详解】

对于A,以。为原点，0A为X轴，DC为y轴,为Z轴，建立空间直角坐标系,。/(0,0,1),41,0,0),C(0,1,0),

设P(lMb),(0vavl,0<b<l)

用=(1必6-1),抚=(-1,1,0),

8s回心鬃T-＜。

,.­0<£7<1,0</><1,.1.

直线O/P与AC所成的角为,故A错误；

对于B,正方体A8CO-A8CO中，入口_LA4,,AR_LAB,

•.•A/41cAB=A,.ARJ■平面4A尸,

・•・AA_L平面D^P,回平面D^P1平面AAP,故B正确；

对于C,•.・Sg叫=gxlxl=3，尸到平面CD。的距离8c=1,

国三楂锥D.-CDP的体积:/_的=%g=gxgxl='为定值，故C错误;

对于D,尸为线段4乃上的动点（不含端点），连接心并延长，

若"的延长线交于如图，此时截面为四边形，

若"的延长线交于AA，设交点为S,比时截面为AASR,

设AS=〃，0VM<1,则RS=AS=J^TT,=故。S2+A52W

故AAS"不为直角三角形，故D错误.

故选：B.

5.说法中止确的是（）

A.若卜卜M，则£、B的长度相等，方向相同或相反

B.若向量£是向量B的相反向量，则忖=M

C.空间向量的减法满足结合律

D.在四边形ABC。中，一定有通+而=前

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的概念可判断A选项的正误；利用相反向量的概念可判断B选项的正误：利用空间向量的线性运算

法则可判断C选项的正误；利用向量加法的平行四边形法则可判断D选项的正误.

【详解】

对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等，方向具有不确定性，因而不一定方向相同或相反，所以A错

误；

对于B,相反向量指的是大小相等，方向相反的两个向量，因而相反向量满足模长相等，所以B正确；

对于C，空间向量减法结合律指的是19-9=伍-乙因而由运算可得空间向量减法不满足结合律，所

以C错误；

对于D,满足而+而=*的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查空间向量有关概念的理解，同时也考查了空间向量的线性运算，属于基础题.

6.如图所示，在正方体44CO-A与GR中，尸为线段8G上的动点，给出下列四个结论：①。P长度为定值；

②三棱锥尸-A瓦2的体积为定值；③任意点P,都有。尸_LAC；④存在点P,使得AP，平面AMR其中正

确的是（）

D.①④

【答案】C

【解析】

【分析】

设正方体ABC。-AgGA的棱长为I，以点O为坐标原点，04、DC、所在直线分别为X、y、z轴建

立空间直角坐标系，利用空间中两点间的距离公式可判断①的正误，利用锥体的体积公式可判断②的正误,

利用空间向量法可判断③④的正误.

【详解】

设正方体ABC。-AqGA的棱长为1,以点。为坐标原点，OA、DC、所在直线分别为X、y、z轴建

立空间直角坐标系，

则A(1,O,O)、8(1,1,0)、C(OJO)、0(0,0,0),A。，。」)、4(LU)、c,(0,1,1),4(0,0,1),设点尸&L1T),

其中OqW1.

对于①，|W="+1+(1T)2=，2产-2+2不是定值,①错误；

对于②，在正方体4BCO-4BC。中，AB//CR且AB=CR,

所以，四边形A4CQ为平行四边形，则BCJ/A。，

•.•8G(z平面43Q,平面A8Q,则5G〃平面A8Q,

.PwBC，则点P到平面的距离为定值，而AABa的面积也为定值，

所以，三棱锥P-Aqq的体积为定值，②正确；

对于③，^C=(-1J,-1),DP=(r,l,l-z),所以，DP-^C=-r+l-l+r=O.

因此，对任意点尸，都有。尸_LAC,③正确；

对于④，对=(f-l,l,T),寓=(0,1,1),而;=(-1,0,1),

守.函=—=0

,这样的，不存在，所以，不存在点尸，使得AP，平面AM0,④错误.

平•西=1-2/=0

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键在于建系，设出点尸的坐标，然后根据向量的运算求解判断.

7.如图所示，在三棱柱A6C-A4G中，AAJ,底面ABC,AB=BC=AA],NA8c=5，点七，”分别是棱

AB.8%的中点，则直线E尸与8G所成的角是()

cn£

D12

【答案】C

【解析】

【分析】

建立如图所示的空间直角坐标系，求出乔和星的坐标，进而由夹角公式可求得结果.

【详解】

如图所示，建立空间直角坐标系B-xyz.由于AB=8C=M，不妨取回=2,则3(0,0,0),E(0J0),尸(0,0,1),

EFo

q(2,0,2),0EF=(O,-1,1),西=(2,0,2),屋。s(丽，星)=同扃又叵西月四

团同，西)=?,即直线EF与BG所成的角为安

故选：C.

8.已知直角梯形ABC。满足：AD0BC,CD^DA,且财BC为正三角形.将凶。C沿着直线AC翻折至(MD'C

如图，且AP'VBDVCZy,二面角O-AB-C、a-BC-A.O'-AG8的平面角大小分别为a/,y,直线小人，

DB,DC与平面ABC所成角分别是仍，M&,贝IJ()

A.4>名>%a>/>0

B,a>P>r

C.a<P<y

D.evqv/(x<p<y

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意得到平面图以及翻折的立体示意图，点E，尸分别为A8,8C的中点，G为。E与4尸的交点，可知点

。在平面ABC上的投影在DE上，由AO<3£X<S,判断。投影点在的位置，根据投影点到48,BC,CA

的距离判断二面角的大小关系，再设D-ABC的高为爪由sina=q,sina=3,sina=』;，即可得到

DADBDC

线面角的大小关系.

【详解】

由题意可知，不妨设AB=8C=CO=2,则4）=1（。=石.如图所示，取点瓦尸分别为AB,8c的中点，

连结AF,OE,设G为。E与A尸的交点，OE与AC的交于点”.

所以A6=1,CD'=G，则1<8。<出，则旋转过程中，点房在平面48c上的投影在。E上.

当点屏的投影为点G时，则当点暖的投影在。G上时，则8D>CD；

当点D0的投影在GE上时，则肘/<6'；当点ZX投影为点七时，则A0'=BD.

故要使AD'V皿/VC。'，则点小的投影在点<7,£两点之问，此时投影点到人〃,。。,。^的距离为应8<^cA<dBC

所以二面角O'-A3-C最大，其次为二面角。-4G8,而二面角。'-BG4最小，故。>/>夕：

设三棱锥。'一A8c的高为无

则sin。］=-,sin&=，-,sin"=—^―.

1D'A2D'B3D'C

因为A=<Biy<3,所以sin4>sin02>sin".

因为兄处名£,所以

故选：A

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合

题目要求的.

9.设｛£,瓦。是空间的一组基底，则下列结论正确的是（)

A.atb»c可以为任意向量

B.对空间任一向量/，存在唯一有序实数组(%,y,z),使万=x£+)石+zG

C.若〃_|_b,B_LC，则a_Lc

D.{3+253+2/+2耳可以作为构成空间的一组基底

【答案】BD

【解析】

根据可作为基底的一组向量的性质，结合向量垂直、共线的判定，判断各选项的正误即可.

【详解】

4选项：£,万，工为不共线的非零向量；

8选项：由向量的基本定理知，空间任一向最万，存在唯一有序实数组(x,y,z),使万=耘+)石+z2：

C选项：各1",则a,c不一定垂直；

D选项：{+％3+2芯+24中三个向量间无法找到实数冗使得它们之间有碗=/的等式形式成立，即可以

构成基底.

故选：BD

【点睛】

本题考查了向量的基本定理，理解作为基底向量的非零、不共线性质，应用向量垂宜、共线判定正误.

10.如图，正方体ABC。-A耳GA的棱长为1,则下列四个命题正确的是()

A.两条异面直线。。和BG所成的角为:

B.直线BC与平面4BGA所成的角等于£

C.点。到面ACR的距离为由

3

D.三棱柱AAA-84G外接球半径为立

2

【答案】BCD

【解析】

【分析】

对于A：根据异面直线的求法易得：异面直线0c和8G所成的角为回A"C：对FB：可证8CJ.平面A5GA，

则直线BC与平面A8CQ所成的角为/CM；；对于C：根据等体积转换匕)“必=，求点。到面AC"的

距离；对于D：三棱柱/IAA-BBCI的外接球即为正方体A8C。-AQGA的外接球，直接求正方体外接球的

半径即可.

【详解】

连接AC、AD.

回ABOGA且AB=CR,则四边形ABCR为平行四边形，

团异面直线0c和8G所成的角为13AAe

(3AC=4"=AC,则mACq为正三角形，即(3AZ)C=¥

3

A不正确：

连接8。

在正方形SBCC中，BC,±B.C

上平面8耳CC，gCu平面

团A3_L81C

ABIB&=B,则B,C1平面ABCR

El直线6c与平面48CQ所成的角为NC8G=色

4

B正确：

根据等体积转换可知：VD-AC。=Vj-ACD

BP—X/zX—X5/2XV2X-5-=—x1X—x1x1,则人=*

322323

C正确；

三棱柱A41n-四G的外接球即为正方体A8CD-ABCQ的外接球

则外接球的半径即为正方体ABC。-A8GA体对角线的•半，即R="

D正确;

故选：BCD.

11.在下列条件中，不能使M与A,8,C一定共面的是（）

____._._,___1_1_1

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=-OA+-OB+-OC

JJ«

uiinunumutiui...._

C.MA+MB+MC=OD.。例+。4+。8+OC=0

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】

M与A,B,C一定共面的充要条件是两=+y而+z区x+y+z=l,

对于A选项，由于2-1-1=001,所以不能得出M,AB,C共面，

对于B选项，由于：+:+!=1，所以不能得出M，A8C共面，

532

对于匚选项，由于丽5=-碗-祝，则罚,京瓦亚为共面向量，所以M.A&C共面，

对于D选项，由的+函+砺+无=0得两=一次一砺一反，而一1一1一1二一3A1,所以不能得出M,AB,C

共面.

故选：ABD

12.如图，正方体ABC。-A妫CR的棱长为2,动点P,。分别在线段G。，AC上，则下列命题正确的是

A.直线8C与平面ABG"所成的角等于£B.点C到平面48GA的距离为友

C.异面直线。。和BG所成的角为£.D.线段尸。长度的最小值为亚

43

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判

断.

【详解】

解：由题意得：

正方体ABC。-ABCQI的棱长为2

对于选项A：连接80,设80、BG交于O点

上BC】,BiCLAB

B[CJ■平面ABClDi

「・NC8G即为直线4c与平面A3CQ所成的角，且NC3G=(,故A正确;

对于选项B：连接80,设岗C、BG交于。点

-COLBC^B.CLAB

「.COJL平面ABCQ

二•点C到平面ABCR的距离为CO=；2应=应，故B正确；

对于选项C：连接。C、A",由正方体性质可知A0〃8G

故异面直线D.C和BC,所成的角即为0c和4D,所成的角ZADtC

又〈AD、=AC=CD]

.•.△A。。为等边三角形

/.ZAD,C=y

故C错误：

对于选项D：过户作PM_LCD,过M作MQ_LAC,连接PQ

尸。为异面直线之间的距离，这时尸。距离最小；

设OP=x,凡AOPM为等腰直角三角形，则PM=^x,CM=CD-DM=2--X

22

也为等腰直角三角形，则MQ=^CM=^x2-等

为直角三角形

当刀=平时，P。?取最小值故尸2.=述，故D正确;

333

故选：ABD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知向量〃=(2,0,1)为平面a的法向量，点4T2,1)在a内，则点尸(1,2,2)到平面a的距离为

【答案】45

【解析】

【分析】

把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解.

【详解】

解：PA=(-2,0,T),点P到平面。的距离为喑^=上士*』=石.

141V5

故答案为：75.

14.在正方体ABCO—AbCn中，点M是A4的中点，已知而=£,而=»,丽用G,瓦工表示两,

则西=.

【答案】-a-b+^c

【解析】

【分析】

先求出两=-团一通+丽7，再求出心方=一前-福+g丽，即得解.

【详解】

•.CM=CB+BA+AM=-BC-AB+AM

又・.・M是AA的中点，

AM——AAj,CM=—BC—AB+—AA^

AB=u，AD=b»A/l,=c»

/.CM=-a-h+—c

2

【点睛】

本题主要考查平面向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15.已知万,5是空间两个向量，若|1|=2,|5|=2,|万一5|=近，则cosv75>=.

【答案】|

O

【解析】

【分析】

将将|万-b|=近两边平方，求出小6=5,再根据平面向量的夹角公式计算可得结果.

【详解】

将m-5i="化为3-杨2=7,

得|。『+出|2一2万石=7,即4+4—25石=7，解得万石二;，

所以COSVM,6>=团•闻=蓑2/1.

故答案为：-

O

16.如图，已知正方体ABCO-A£C01的棱长为4,M,E分别是棱B片和的中点，户是侧面8C&及内

的动点，且A尸〃平面RAE，当AABI户的外接圆面积最小时，三棱锥A-4M/的外接球的表面积为

【答案】2071

【解析】

【分析】

由己知，证明AM//AE,取印；的中点N,连接MN,证明4OJ/MN,然后证明面AMN〃平面。①石，找到

动点F在侧面BCC声的轨迹，根据△片鸟尸的外接圆面积最小确定F点的位置，然后先计算AMBF外接圆平

径,然后使用勾股定理再计算三棱锥尸的外接球半径，从而求得其表面积即可.

【详解】

由己知，如图所示，连接AM,因为E分别是棱34和CG的中点，

所以AO//ME且AR=ME,所以四边形AMEA为平行四边形，所以

平面DAE,AME平面AAE,所以A"〃平面

取8£的中点N,连接MN,取BC的中点G,连接AG、EG,EG!IBC.,ADX/!BC}

因为M,N分别是棱和MG的中点，所以MN//EG,EGu平面RAE,MNa平面RAE,所以MN〃平

面DtAE,

而A"、MNu平面AMN,AMDMN=M,所以平面AMN〃平面

而尸是侧面8CG旦内的动点，且A/〃平面R4E，

所以F是棱MN内的动点，

因为AA，平面BCG4，4户U平面BCG4，所以

在△人男尸中，4,用尸=1,所以吊尸外接圆半径为斜边A尸的一半，

要使外接圆面积最小，即外接圆半径最小，即A尸取得最小值，又=

所以F为MN中点时取得最小值，

由A&=4,BCI=4亚,8幽=4N,尸为MN中点，所以的VJlB^F,

设AMB7的外接圆半径为〃，妫M=l,

三棱锥A.-B.MF的外接球半径为R,所以*=r+（乎尸="4=5,

所以一•棱锥A-4”尸的外接球表面积为S=4成,=20兀.

故答案为：20兀.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，四棱锥的侧面△PAD是正三角形，底面ABC。是直角梯形，/BAD=ZADC=90，

AD=AB=2CD=2tM为8C的中点.

(1)求证：PM±AD；

(2)若尸8=及48,求线PM与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)立.

7

【解析】

(1)取中点N,连/W,NM,可证明MV/_LAD,PNAD,进而可得AZ)J_平面PM7V,即可求证；

(2)以N为原点，所在的直线为xy,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的法向

品和用7的坐标，利用痴。=方|―即可求解.

刚则

【详解】

(1)证明：取4。中点N,连PN,NM,

因为“4D是正三角形，所以PN人AD

又M是3c中点，所以NM//AB.

因为/B4D=90，即45_L4).

所以NM_LA0,因为NMcPN=N,NM、PNu平面PMN,

所以ADJ•平面FMV,尸Mu平面丽，所以AO_LPM.

(2)PB=y/iAB，又45=%，

又AB_LAD,所以A3L平面PAO,所以平面P4DL平面A3CD,

PN^AD,PNu平面PA。，平面PAOn平面ABCD=4),

所以PNA平面A8CD

如图以N为原点，NANM,M＞所在的直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

可得P,O,G),A(1,O,O),8(120),

AP=(-I,0,V3),AB=(0,2,0),

n.~AP=o

设平面P45的法向量为3=a，y,z),所以——八

\7［小8=0

即七”+尸=°,令"6可得Z=1,y=o,

2y=0

可取Z=（G,o,i）,又而=„，一百

同两|百百

sin^=

所以

即直线PM与平面R4B所成角的正弦值为五.

7

18.如图，在四棱锥P—A8CO中，。是3。的中点，POJ•平面A8CO,NDAB=ZBCD=90°,

AD=AC=CD=2>/3,DP=®

（1）求证：平面AOP_L平面4PC；

uuuuuu./FT

（2）设PM=/lPC（0v；lvl）,若二面角3-。的一尸的余弦值为音，求义的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）2=^9.

【解析】

【分析】

(1)设ACc8O=N,由ACJL平面处将，得到AC_LOP,再由DP?+PN?=DN?,得到。P_LPN,然后

利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；

(2)以N为坐标原点，NA,所在直线分别为x,y轴，过点N且与直线0P平行的直线为z轴，建立空间

直角坐标系，分别求得平面BDM的一个法向量蓝=(xy,z)和平面POC的一个法向量为>=(Ky,z),然后由

gs(两砌==尊求解.

11|叫川11

【详解】

(1)如图所示：

设ACc8D=N,连接PN.

因为ND48=N8CD=90。，。为8。的中点，

所以。4=0D=0C,即。为“1BC的中心.

又因为AO=CD,所以AC_L8O.

由POJ■平面A8CZ),可得PO_LAC.

又POCBD=O,所以ACL平面PQ8,

所以ACJ.OP.

因为A£>=4C=CO=2JJ,DP=瓜

所以DN=3，BD=2OD=4,OP=^DP2-OD2=41'PN=yloP2+ON2=73»

所以DP?+PN2=DN?,则OP_LPM

又PNcAC=N,所以0P_L平面人尸C.

因为DPu平面4OP,

所以平面4)尸，平面APC.

(2)以N为坐标原点，NA,N8所在直线分别为羽y轴，过点N且与直线0P平行的直线为z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系.

由(1)得,0(0,-3,0),P(0-1,72),4(后0,0bC(-V3,o,o),3(0,1,0).

所以加=倒,2,0),方二(0,4,0),PC=(->/3,1,-72).

丽-9+丽-(0275)+4所-(-752,2+2,应-&).

设平面BDM的一个法向量为沅=(x，y”z),

mDB=0,4y=0，

则〈即《

所•DM=0,—x/3/iX|+(4+2)y+(\/2—V2Ajz)=0,

得％=0,令玉=x/2—\l2A,,得Z)=>/3/l.

所以平面BDM的一个法向最为m=-75人0,\/54）.

设平面拉PM的•个法向量为於=（9,必，马），

贝也即悴+信=。二

〃,PC=0,—5/3X2+丁2—v2Z2—0,

令％=J5,得弘=L马=，

所以平面POC的一个法向量为7=（6,1,一血）.

所以皿依砌二号,微一2向|叵,

阿司J5-—42+2.〃II

91

整理得394?—404+9=0，解得4=E或义=§.

当;l=g时，二面角8-0知-2的平面角为钝角，不符合题意.

故"=V。

【点睛】

\AC-BD\

方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC,BD的夹角为°,则cosQ=HH

2、利用向量求线面角的方法：（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向

量的夹角（或其补角）；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余

角就是斜线和平面所成的角.

3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量

的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝珀.

19.如图，在空间四边形048c中，2丽=配，点E为AO的中点，设丽=£,OB=bfOC=c.

(1)试用向量a，b>c表不向量OE;

(2)若。4=OC=3,08=2,ZAOC=ZBOC=ZAOB=60°,求诙•前的值.

11-13

【答案】⑴-a+-b+-c⑵-4

2362

【解析】

(1)根据向量的运算性质求出诙即可；

(2)根据向量的运算性质代入计算即可.

【详解】

(1)•/2BD=DC,

—>1—>1——1一

...BD=-BC=-(OC-OB)=-(c-b)

333

__“•.一1一2一1f

^OD=OB+BD=b+-(c-b)=-b+-c,

团点£为4?的中点，

----1-11rl

f&OE=-(OA+OD)=-a+-b+-c;

2236

9.

(2)由题意得"£=一,万m=3,58=3

2

故而="a

______I]_।

故OEAC=(-a十一)十一1)(0一b)

236

26333

=—x9+—x9+-x3x3xcos60+-x3x2cos60--x3x2cos60

26333

_3

~~2'

20.如图，在几何体ABC-AqG中，底面AABC是边长为2的正三角形，AA平面ABC,AA,//BB.//CCt,

且6AAi=2B5=3CG=6,E是48的中点.

⑴求证：CE〃平面COG；

⑵求平面AB©和平面AGA的夹角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵当

4

【解析】

【分析】

(1)取4用的中点八连接“，C.F,由四边形ErCC是平行四边形即可求解；

(2)采用建系法，以口为X轴，EC为y轴，垂直底面方向为z轴，求出对应点坐标，结合二面角夹角余弦

公式即可求解.

(1)

证明：因为IBC为正三角形，E为4B的中点，则CE_LA8,

又⑨=1,84=3,CC,=2,取A4的中点尸，连接C/,EF,

所以防=他；“4=2=CG，又EF"2BB、"CC、,故E尸〃CC-EF=CC,,

所以四边形ErGC为平行四边形，

则CE〃G尸，G尸U平面A&G，CE<X平面A£G，故CE〃平面A8G；

(2)