（沪教版2020必修三）2021学年高二数学讲义-第6讲 异面直线的距离（含其他非球面空间中的距离问题）

第6讲异面直线的距离（含其他非球面空间中的距离问题）

一、填空题

I.长方体ABCO-A4G&中，M=5,AB^n,那么直线BC和平面ABC。的距离是

【答案】2

【分析】

结合长方体，将原距离转化为点片和平面A8cA的距离解决，最终转化为直角三角形斜边上的高求解即可.

【教师】

解：•.•直线BC//平面ABC。,，

直线B£和平面A,BCD,的距离即为点B,和平面ABC。的距离.

面AB4A1面ABCD、,

在面48片A内过4作AB的垂线，即为面48cA的垂线，也就是直角三角形AB4斜边上的高d,

D2__________G

,HC口75x1260

由面积法得：6/=-^-=—

故答案为：—.

【点睛】

本题考查线面距离的求法，属于基础题.

2.在AABC中，A8=AC=5,BC=6,B4_L平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是.

【答案】4石

【分析】

取8c的中点N,连接AN,PN,由线面垂直的判定可得BC±平面APN,进而可得点P到BC的距离为PN,

即可得解.

【教师】

取3c的中点N,连接AN,PN,如图，

因为AB=AC=5,BC=6,所以/WBC,AN=^AC2-^J=4,

因为上4,平面ABC,PA=8,所以%_L8C,PALAN,

所以PN=dAN2+PN=4后,

又PAn4V=A,所以BC_L平面APN,BCA,PN,

所以点P到BC的距离为PN=4B

故答案为：4石.

3.四面体A3C£＞中，AB=CD=2,AC=AD=BC=HD=4,则异面直线A3与CD的距离为

【答案】714

【分析】

分别取AB与CE＞的中点£、F,连接4尸、BF、EF、CE、DE,证明出EF为A8、CD的公垂线，并计

算出EF的长，由此可得出结果.

【教师】

分别取A8与C£＞的中点E、F,连接AF、BF、EF、CE、DE,

因为AB=C£>=2,AC=AD=BC=BD=4,E、/分别为A8、C短的中点，

则8F_L8,AF±CD,且5尸=AF=JAC?—CF。=岳，

•.•E为A8的中点，故£尸，旗，同理可证所_LC£>,

故所为AB、8的共垂线段，且EF=j4尸2-AE2=历

故答案为：714.

4.已知正方体ABCD-A^C.D,的棱长为a,异面直线BD与AA,的距离为.

【答案】叵

2

【分析】

由线面垂直的性质定理可证得4。，而AOLBD,因此A0是异面直线3。与AA的共垂线段，故求出

A。的长度即可得解.

【教师】

连接AC，与B£>交于。点

由正方体的性质可知，AOVBD,44t，平面ABC。，

QAOu面ABC。，AAA,LAO,

AO是异面直线BD与AA的共垂线段，

•••异面直线BD与AA的距离为">=率.

Di

故答案为：叵.

2

5.已知尸A_L矩形ABC。所在平面，且P到8,C,。三点的距离分别是火,后,万，则尸到矩形对角线80的

距离等于__________

【答案】2

【分析】

分别设PA=x,A3=y,AO=z,利用勾股定理建立等式分别求出，再由等积法即可得到答案.

【教师】

如图所示，设PA=x,AB=y,AD=z,因为小_L矩形ABC。所在平面，

易得PALAB,PA±AD,PALBC,

由8。1.716,48门尸4=4可证3(7，平面243,从而BCLPB,

在用A/%8中，PB=d+y2=6,

222

同理PD=Jy2+z2=岳，PC=y]x+y+z=Vl7,

解得x=l,y=2,z=26，所以PA=1,AB=2,AO=26BO=4,

过点A作4尸垂直于3。于F,由等面积法易得：AF=6,所以PF=历］庐=2.

故答案为：2.

6.以下五个命题，真命题的有.（填上全部真命题的序号）

（1）垂直于同一直线的两条直线互相平行;

(2)若“、匕是异面直线，则一定存在平面a过0且与b平行；

(3)若平面a内有不在同一直线的三点A、B、C到平面夕的距离都相等，则a〃£；

(4)分别位于两个给定的不同平面a、夕内的两条直线。、匕一定是异面直线；

(5)已知直线。、b和平面a,。不在a内，b在a内，若a//。，则。平行a.

【答案】(2)(5)

【分析】

根据空间中线线位置关系可判断(1),根据线面平行的判定定理可判断(2)(5)；举反例可判断(3)；根

据面面和线线位置关系可判断(4)；进而可得答案.

【教师】

对于(1)：在空间中，垂直于同一直线的两条直线可以平行、相交、异面故(1)是假命题；

对于(2)：过。上一点作匕的平行线c,则〃、c所确定的平面a过。且与b平行，故(2)是真命题；

对于(3)若平面a内有不在同一直线的三点A、B、C到平面夕的距离都相等，则a〃月或a与月相交，(当

不共线的三点A、B、C在平面夕的两侧时，a与尸相交)，故(3)是假命题；

对于(4)：分别位于两个给定的不同平面。、夕内的两条直线〃、6可能相交、平行或异面，故(4)是假

命题；

对于(5)：已知直线。、匕和平面a,。不在a内，b在a内，若a"b,则。平行a,由线面平行的判定定

理可知(5)是真命题，

所以真命题有(2)(5),

故答案为：(2)(5).

7.正方体ABCO-A4G"的棱长为。，E是棱。。的中点，则异面直线AS与CE的距离为.

【答案】a

【分析】

根据正方体的性质可得8C_L",8CLCE,则怛。即为异面直线与CE的距离；

【教师】

解：依题意可得3C_LA8,BClffiC.CDD,,CEu面CQR,所以BCLCE,即BC为AB与CE的公垂线,

所以忸。=a即为异面直线AB与CE的距离，

故答案为：a

8.平面。〃£，点4（€&,点、B,De0,如果AB+CD=28,且AB,C。在尸内射影长分别为5和9,则

平面a与夕间的距离为.

【答案】12

【分析】

首先设=x,CD=28-x,根据平行平面间的距离列等式求解.

【教师】

如图，AEA.国CF1/3,由题意可知，BE=5,DF=9,

设AB=x,CD=28-x,

J1IJX2-25=（28-X）2-81,解得：x=13,

平面a与平面夕间的距离AE=,132-52=12

故答案为：12

【点睛】

本题考查面面平行的性质，方程思想，属于基础题型.

9.在直三棱柱ABC-A8c中，NACB=90°,AC=12,8C=CC,=2逝，点尸是直线8G上一动点,则AP+PC

的最小值是.

【答案】100

【分析】

连接AB,沿BG将△CBG展开与VA8G在同一个平面内，在BG上取一点与AC构成三角形，由三角形

两边之和大于第三边，可知AP+PC的最小值是AC的连线，再利用余弦定理可得解.

【教师】

连接AB,沿BG将△CBG展开与VA/G在同一个平面内，在BG上取一点与AC构成三角形，

由三角形两边之和大于第三边，可知AP+PC的最小值是AC的连线，

因为直三棱柱ABC-A中，NAC8=90,AC=12,BC=CC,=272,

所以矩形BCGA是边长为2垃的正方形，则BG=4,

又在矩形中，AB、=AB=2BB[=2&,则48=4如，

又AG2+8C：=4夕，所以NAGB=90°,则NAGC=135°,

在V4GC=135°中，利用余弦定理可得：AC,=7^CI2+C,C2-24C,-C,Ccos135°

=^122+（2V2）2-2X12X2V2COS135°=10夜

故答案为：10匹

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查了棱柱的结构特征及两点之间的距离公式，其中将△CBG沿BG展开，将一个

空间问题转化为平面内求两点之间的距离公式的问题是解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推

理与运算能力，属于中档试题.

10.已知长方体ABCD-A4GR的4A、AB.AO的长分为3、4、5,则点A到棱Bg的距离为

【答案】5

【分析】

由长方体的性质可得4G_LAB|,BCi，BB「ABnA4=B］，所以4G，面44,与，AB|U面AA蜴，所以

B£1AB,,可得A4是点A到棱fi,C,的垂线段，由勾股定理可求得答案.

【教师】

由长方体的性质可得用G_LA综耳8综ABC!A片=与，所以面44,4，4片＜=面44蜴，所以

B£1A4,

所以AS是点A到棱的垂线段，又A4,=3,AB=4,所以的=7?百=5.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查点到线段的距离，关键在于运用长方体的性质找到点到线段的垂线段，属于基础题.

11.已知三棱锥P-A3C中，PA.PB、PC两两垂直，且长度相等，若P、A、B、C都在半径为1的同一球

面上，则球心到平面A8C的距离为.

【答案】g

【分析】

由弥补法知三棱锥尸-ABC的外接球为以以、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，球心到平面A8C

的距离即为正方体中心到平面A8C的距离，利用等体积法可求得P到平面A5C的距离，进而求得答案.

【教师】

因为三棱锥P-ABC中，PA.PB、PC两两垂直，且长度相等，

所以此三棱锥的外接球即为以24、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，

又球的半径为1,所以正方体的楼长为毡，即PA=PB=PC=2①

球心到平面ABC的距离即为正方体中心到平面48c的距离,

所以球心到平面ABC的距离为g

故答案为：!

【点睛】

方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法

（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆

的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

（2）若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方

体，利用长方体的外接球求解.

12.如图，在AABC中，AC=\,BC=G，C=],点。是边A8（端点除外）上的一动点.若将△ACD沿

直线CD翻折，能使点A在平面88内的射影A，落在△3。的内部（不包含边界），且=®.设=

3

则t的取值范围是.

【答案】（』,叵0）.

22

【分析】

由已知分析可得，4在过A与CO的垂线AE上，且在以C为圆心，以立为半径的圆弧上，且在ABC。内

3

部.然后求出极端情况，即从在上与在A3上的/的值，即可求得/的取值范围.

【教师】

解：如图,

•••A4U平面BC£>,过4作A£_LCO,连接AE,可得AE_LC£>,

即A在过A与C。的垂线AE上，又AC=Y7,则4在以C为圆心，以也为半径的圆弧上，且在ABC。内

33

部.

分析极端情况:

①当W在8C上时，NACE+NC4E=90。，NC4E+NOVA=90。，可得NGTA=NACE,设为a,

13sina

tana——；="——产—--------r砥.3V7

在心△C/VA中，>/7V7cosa,且sirra+cos~a=1可得sina=：,cosa=——

T44

设/ECB=B,ZCDA=y,则a+£=90。，y=/7+30。，

Fj3

则sin£=cosa=——，cos/?=sina=^-,

44

,sin广疝（〃+3。。）=亭5出夕+；3/=¥，乎+3?=T

ACAD1t

在ACD4中，由正弦定理可得：——=-，即-:—=-，

sin/sinasmysma

3

sina45/21-3

得

-8-

当4在AB上时，有CDLA3,此时，=AC-cos60o=lxg=g.

•.•A在AfiCD的内部（不包含边界），的取值范围是（乙叵口），

22

故答案为：（；,肉口）.

本题的关键点在于找到点4的两个临界位置，并根据几何关系求解.

二、单选题

13.如图，正方体ABCD-ABCR的棱长为1,0是底面A蜴GR的中心,则O到平面ABCR的距离为（）

A.立B.3C.—D.J

4222

【答案】A

【分析】

过。作的平行线，交于£,则。到平面ABCQ的距离即为£到平面ABCQ的距离.作EFLBG于

F,进而可知平面ABGR,进而根据EF=；qC求得EE.

【教师】

解：过。作A片的平行线，交于E,

则。到平面A8C。的距离即为E到平面ABCQ的距离.

作EFLBG于尸，易证£F_L平面ABGR,

可求得EF」8c="

44

故选：A.

14.在斜三棱柱ABC-A/G中，ZACB=90\±BCf则用在底面ABC上的射影“必在（)

A.直线AC上B.直线BC上C.直线AB上D.AABC内部

【答案】A

【分析】

证明平面A8C，平面43C,利用面面垂直的性质定理可得出结论.

【教师】

连接AB一­.■ZACB=90,ABCVAC,

平面与

BC1AB,,ABtr]AC=A,A4,ACuAC,

•••BCu平面ABC,所以，平面ABC,平面ABC，

过点用在平面AB©内作直线AC,垂足为点E，

•.•平面A5CL平面ABC，平面ABCn平面A2C=AC,B.E1AC,qEu平面ABC，

所以，平面ABC,则点E即为点，，因此，点H在直线AC上

故选：A.

【点睛】

方法点睛：证明线面垂直的方法：

一是线面垂直的判定定理；

二是利用面面垂直的性质定理；

三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、

线面与面面关系的相互转化；

另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平

分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度,

经计算满足勾股定理）、直角梯形等等.

15.如图，直线/_L平面白,垂足为。，正四面体ABCZ）的棱长为8,C在平面a内，B是直线/上的动点,

则当。到AO的距离为最大时，正四面体在平面a上的射影面积为（）

A.4+2应B.16+8夜C.8+8夜D.16

【答案】B

【分析】

由题意知点。是以BC为直径的球面上的点，得到0到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到

4）的距离，最大距离为8c与的公垂线+半径.再由取得最大距离时，A。垂直平面08C,且平行平

面a求解.

【教师】

因为直线/，平面a,垂足为。，

所以点。是以BC为直径的球面上的点，

所以。到AD的距离为四面体上以8c为直径的球面上的点到的距离，

最大距离为AO到球心的距离+半径，即8c与AD的公垂线+半径，如图所示：

取BC的中点E,AQ的中点F,连接AE,ED,EF,因为AE=E£),

所以EFLAD,EF1BC,EF=-A尸=44，所以。至U的最大距离为4及+4,此时，

OEYBC,ZBCO=45,

当取得最大距离时，AO垂直平面08C,且平行平面a,

所以投影是以AD为底，。到AO的距离投影，即FG=(4a+4)cos45o=4+2应为高的等腰三角形，

其面积=gx8x(4+20)=16+8及.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题关键是明确。到AD的最大距离为为3c与AO的公垂线+半径，由O,E,F共线得到

0E±BC,NBC0=45而得解.

16.已知四棱锥S-A88中，四边形A88为等腰梯形，AD//BC,ZBA£)=120',等边三角形，

且SA=AB=20；若点尸在四棱锥S-A8CD的外接球面上运动，记点P到平面A3CO的距离为"，若平面

SAD，平面A3。，则”的最大值为()

A.屈+1B.V13+2

C.V15+1D.V15+2

【答案】A

【分析】

根据平面SAQJ■平面A8CO,四边形488为等腰梯形，则球心在过BC的中点£的面的垂线上，又ASAD

是等边三角形，所以球心也在过ASAD的外心F面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可.

【教师】

依题意如图所示:

取BC的中点E,则E是等腰梯形ABCD外接圆的圆心，

取产是A5AD的外心，作OE_L平面ABC。,OF_L平面SA8,

则。是四棱锥S-ABCD的外接球球心，且。尸=3,SF=2,

设四棱锥S-A58的外接球半径为R,则/?2=5尸+。尸2=]3,而QE=1,

所以4皿=宠+。F=屈+1，

故选：A.

【点睛】

本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题.

三、解答题

17.如图所示，在三棱柱ABC-A4G中，平面ABC,ZACB=90,M是AB的中点,

AC=CB=CG=2.

(1)求证：平面ACM，平面A84A；

(2)求点M到平面AC片的距离.

【答案】(1)证明见教师；(2)亚.

3

【分析】

(1)由线面垂直的性质得C/，由等腰三角形的性质得AB_LCM,根据线面垂直的判定有CM，平

面ABBA，进而由面面垂直的判定可证平面AC/，平面ABBA;

(2)取A4的中点N,连结MN,设M到面ACB1的距离为/?,利用等体积法可知匕“叫=%一”4，结合

锥体的体积公式即可求正

【教师】

(1)由平面ABC，CMu平面ABC,则AA_LCM,

由AC=C3,M是AB的中点，则A8LCM,又A4nA2=A,

/•CML平面ABB、A,又CMu平面ACM,

平面ACM1平面ABBM；

(2)如图，取44的中点N,连结MN,设“到面的距离为〃，

由题意知：AC=CB[=AB、=2MC=2亚,A^M=瓜,MN=2,

/.SACR=—x2>/2x2\/2xsin60=2A/3,SXMR=—x2>/2x2=2>/2,

又％-4朋=Vvz-ACB,，即gMC•S：B尸;h,SAAC81

MC-S4V/n273

点加到平面4。耳的距离〃=

・・・q3.

18.已知边长为6的正方形ABC£)所在平外一点P,平面ABC。，PD=8.

(1)连接P8,AC,证明：PB1AC；

(2)求点。到平面外C的距离.

【答案】(1)证明见教师；(2)生亘.

41

【分析】

(1)欲证PBJ_4C,只需证明AC垂直尸8所在平面即可，因为PB在平面中，AC垂直平面尸8。中的

两条相交直线尸力和B。，所以问题得证.

(2)利用等体积法，点。到平面%C的距离可以看做三棱锥。-以C的高，三棱锥。-%C还可把三角

形D4C看做底面，看做高，利用两种方式求出体积，令其相等，即可求出点。到平面附C的距离.

【教师】

(1)证明：连接BD,在正方形ABC。中，AC1.BD,

又POJ_平面ABC。，ACu平面A8CO,所以，PD1AC,

因为8。A?£>=£>,所以ACJ_平面尸BO,因为P8u平面正比)，故PBJ_AC；

(2)连接R4,PC,设点。到平面%C的距离为〃，

则有即：-xSA；MCxh=-xPDxADxDC=ix6x6x8=48,

366

因为ABC。为正方形，所以4)=8,

又P£>_L平面ABC。，所以NR4D=/PC£>,则=APC£>,

所以PA=PC,。为AC的中点，

所以在中，POLAC,AC=6夜，P0=卜+宇=嫡，

SAPAC=gx6\/2xy/82=65/41,

代入计算可得：仁竺叵,所以点。到平面南C的距离为生电.

19.设正三棱柱ABC-a4G的底面边长和高均为1.

（1）求点C1与平面ABC之间的距离；

（2）设。是棱CG的中点，求证：ABi1BD.

【答案】（1）―;（2）证明见教师.

7

【分析】

（1）根据题中所给条件，利用等体积法，即可求得答案.

（2）连接48,交A4于。，连接AD8Q,。。，根据线面垂直的判定定理，可证平面8。0,根据线

面垂直的性质定理，即可得证.

【教师】

（1）设点G与平面A3。之间的距离为〃，取AA中点E,连接CE,

由题意得CB]=C4j=V2,

所以CE=QCB；_BE=*,

所以d4C的面积为，xiX,

224

因为耳（

“C-4sle,=%-47，

所以

gxSmqqxCG=1x54AfiiCx/j,

所以xl='xY^x/j,解得〃=立^.

34347

(2)连接AB,交AB1于0,连接ARAD。。，如图所示:

因为四边形A8BM为正方形,

所以。为AB1的中点,

又。为CG的中点，

所以AO=8Q,

所以OOJ.AS，

因为ABcOO=O,

所以A与，平面8。0,

又因为BOu平面BDO,

所以A片，3。

20.如图，A8是圆柱。。|的一条母线，BC是底面的一条直径，。是圆。上一点，且AB=BC=5,CD=3.

(1)求直线AC与平面A8Z)所成角的大小；

(2)求点8到平面AC。的距离.

【答案】(1)arcsin逑；(2)迎包.

1041

【分析】

(1)由A8_LC7),8£>_LCD得出C£)_L平面ABD,故而NC4。即为所求角，利用勾股定理得出AC,即可

得出sin/C4D；

(2)过8作80J_AD,垂足为M,通过证明平面AB£)_L平面AC。得出反位平面AC3,利用等面积法

求出BM；

【教师】

解：(1)(243_1平面8。£),C£)u平面3CO,

:.ABYCD,

8c是圆。的直径，

:.BD±CD,

又3Du平面ABD,ABl平面A8£),A8nBDE=B,

\CDA平面AS/).

.­.ZC4D是AC与平面ABD所成的角.

(2AB=BC=5,:.AC=542,

二直线AC与平面ABD所成角的大小为arcsin工.

(2)过8作垂足为

由(1)得C£>_L平面AM,C£>u平面AC。，

二平面A3E>_L平面ACD,

又平面A8DC平面AC£)=AZ),BMu平面42,BM±AD,

BMJ_平面AC。.

BD=y/BC2-CD2=4，AD=，AD?+BD)=屈・

…AB-BD20a

AD41

即B到平面ACD的距离为坦坦.

D

21.在三棱锥中P-ABC,ABIBC,Afi=8C="%,点。是AC的中点，PO_L底面ABC.

（1）求证：08J•平面PAC；

（2）当％=g，42=2时，求点A到平面尸BC的距离：

（3）当％为何值时，。在平面PBC内的射影恰好为APBC的重心？

【答案】（1）证明见教师；（2）口也；（3）当人=1时;。在平面内的射影恰好为AP3c的重心.

15

【分析】

(1)根据面面垂直的性质定理证明OBJ•平面PAC；

(2)根据等积法求点A到平面PBC的距离；

(3)作出APBC的重心，然后设出A3=BC=〃，尸4=加，根据0尸乂0£>=0尸、包)求祖,〃之间的关系.

【教师】

(1)因为POJ■底面ABC,尸Ou面P4C,所以面以。_1面48。，

因为4B=8C,点。是AC的中点，所以O8LAC,

又因为面PACn面ABC=4C,O8u面43C,所以03,平面PAC；

(2)当人=；，AB=2时，8C=2,PA=4,

因为ABJ_8C,AB=BC,点。是AC的中点，

所以。4=OB=OC="PA=P8=PC=4,PO=«\

取8c的中点£),连接P。，则尸。=后，

设点A到平面P8C的距离为〃，

由=%-咏，得;xgx2x2xM=；xgx2x而xh,

解得/z=即点A到平面PBC的距离为迈0；

(3)取PC的中点E,连接BE交P£>于点尸，则F为AP3C的重心，连接OF,

由题意知：。尸，面PBC,OF1PD,

设AB=8C=〃,PA=m,

2

则OA=^〃，尸O2=〃?2-_L〃2,O£>=:"，PD^nr-^-n,

2224

FD=-PD,OF2=-n2--m2,

3189

贝ij由OPx8=O尸xP£>,得机=〃，又由AB=BC=行A,所以k=1,

所以当&=1时，0在平面PBC内的射影恰好为APBC的重心.

22.如图，在几何体P-ABCD中，已知24,平面A38,且四边形ABCD为直角梯形，ZABC=ZBAD=-,

2

AD=2,AB=BC=1.

(1)求证：CD_L平面PAC；

(2)若PC与平面A8CO所成的角为?，求点A到平面PC。的距离.

【答案】(1)证明见教师；(2)点A到平面PC。的距离为渔.

2

【分析】

(1)根据已知条件，利用平面几何知识分析底面形状，得到4C_LCD,进而结合已知条件布_L底面ABC£>,

利用线面垂直的判定定理证得；

(2)根据(1)的结论，利用面面垂直的判定定理可得平面平面PC2利用面面垂直的性质定理得到

A到平面PC。的垂线，垂足”在PC上，根据已知线面角由AC的长度求得4",即为A到平面PC。的距

离.

【教师】

7T

(1)连接AC,：AB=BC=1,NABC为直角，:.AC=&,/BAC=T，

兀兀

又..284。=-,：.ZCAD=~,

24

又..飞仄？，

...A8为等腰直角三角形，...ACLBC,

又：B4_L底面ABCD,；.PALCD,

又：物nAC=A,%/Cu平面PAC,

.,.CO_L平面PAC;

(2)•••雨，平面ABCD,：.ZPCA是PC与平面ABCD所成的角,

1T

故由已知得/PCA=§,

在aic中，过4作AHLPC,垂足为“，

则到斜边PC的距离AH=ACsin%=显,

32

:cr>_L平面aC,C£)U平面PCR.•.平面方C_L平面PCD,

又♦.•平面aicn平面PCD=PC,

AH_LPC4"u平面PAC,

，AH_L平面PCD,

即AH就是A到平面PCD的距离，

•••A到平面PCD的距离为述.

2

【点睛】

本题考查线面垂直，面面垂宜的判定与性质，涉及线面角，点到平面的距离，属基础题.关键是要熟练掌握

并使用线面、面面垂直的判定定理与性质定理实现空间垂直的转化.

23.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面A3C。是边长为2的正方形，PA1ABCD,PA=2,M是PD的

中点.

（1）证明：AM±PC；

（2）求点8到平面AMC的距离.

【答案】（1）证明见教师；（2）也.

3

【分析】

（1）先通过线面垂直判定定理可得CDJ■平面P4D,再次通过线面垂直判定定理可得AM_L平面PC。，进

而可得结果：

（2）利用等体积法，根据乙一AMC可得结果.

【教师】

（1）底面A3C£>是边长为2的正方形，24=2,M是PO的中点，

,AMYPD,

,：PA1CD,CD±AD,PAcA£>=A二CD_L平面PAD

：.CDA.AM,PDcCD=D,

二AWJ_平面PC。，，AM_LPC.

（2）：平面PC。；.AMLMC,MA=MD=①,MC=娓,

过AWA£）于点H,MH=LS.AMC=gxAMxMC=^xy/2xy/6=6,

S皿=gxA8xBC=gx2x2=2,

%一△ABC=gS/\McXMH=%-Awe=：55吹/（设B到面AMC的距离为h）,

：.h_S“MH_2拒

iMC3

24.如图，四边形A8CO为矩形，且AD=2,A8=1,抬J_平面力8C。,尸A=l,E为BC的中点.

(1)求点A到平面PE。的距离；

(2)探究在E4上是否存在点G,使得EG〃平面PC。，并说明理由.

【答案】(1)如；(2)存在，点G是丛的中点上，使得EG//平面PCO,理由见教师.

3

【分析】

(1)由VA_PDE=VA_PDE可求得A到平面阻)距离；

(2)在R4上存在中点G,使得EG〃平面PCD,结合线面平行的判断定理可知EG//平面PCD

【教师】

(1)连结为BC的中点,EC=8=1,

则ZDEC=45。,同理可得NAEB=45。，；♦ZAED=90DEA.AE,

又PA_L平面A8CD,且£>Eu平面ABC。，:.PALDE,

又：=OEJ_平面E4E,又PEu平面R4E,；.DELPE.

■：EA=ED=41>PE=6

•**S&DE=gxy/2XV3=,S&AED=jX\[2X>/2=1

LL乙

设A到平面PED的高为/?,

^A-PDE~Vp-ADE

••]S△PDE*"=]S^ADEXPA

—XX/i=—x1x1,解得=

3233

所以A到平面PED距离为逅.

3

(2)在丛上存在中点G,使得EG//平面PCD理由如下：

取PA,PO的中点G,",连结EG,GH,CH.

G,H是PA,PD的中点，；.GH//A。,且GH=JAO,

又因为E为BC的中点，且四边形ABCD为矩形，所以EC7/A。,且EC=^AD,

所以EC//GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形，所以EG//CH,

又EGZ平面PC2CHU平面PC£>,所以EG//平面PCD.

25.如图，边长为2的正方形A8CQ中，点E是A8的中点，点尸是8c的中点，将△血)、△OCF分另lj沿£)E、

3尸折起，使A、C两点重合于点H,连接EF,A'B.

(I)求异面直线4'。与所所成的角.

(II)求A到平面EB/D的距离.

2

【答案】(I)90';(IDy

【分析】

(I)折起后有A'DLA/,A'DLA'E,则A，O_L平面A'EF,因此4OJ_EF.

(H)分别求得折起后的各棱长，设A到平面£»尸。的距离为/?,由等体积代换匕.一£„)勿求得〃即可.

【教师】

（I）原正方形中有ZA=NC=90,则折起后有A'O_L4F,A'DIA'E,

且A'EnA'F=A',则4O_L平面4所，又EFu平面4EF,

因此A'£>_L£F,即异面直线AD与EF所成的角为90;

（II）由正方形边长为2知，折起后，A'E=A'F=\,EF=近,A'D=2,ED=DF={f+23=小，

EFy/23

cosZ…DFE『=F=-34^=—f1=,sinZDFE=J-jjo=,

DF也回7

则A，E_LA/,设H到平面EB/Z）的距离为力，

则由等体积代换匕-EFD=^D-A'EF知，

II/T/T3,11,,一

—X—x<2xv5x,—/?=—x—xlxlxz,

32V1032

22

解得/?=§,即X到平面£BR□的距离为

26.如图，已知长方体A8CO-A4GR,AB=2,AA,=1,直线BD与平面A48田所成的角为30。，AE垂

直8。于E.

（1）若尸为棱A4上的动点，试确定F的位置使得AE〃平面BGF,并说明理由;

（2）若F为棱A由上的中点；求点A到平面BD尸的距离;

（3）若尸为棱A片上的动点（端点A，片除外），求二面角尸-即-A的大小的取值范围.

【答案】⑴黄《证明见教师;⑵*⑶

【分析】

（1）延长AE交C£>于在GR上取点N,使得RN=DM,连接MN,4N,可证得AM〃AN,从而

B,F1B.F1

可得C///AN,由此可得若=鼻，再由康［=.证明线面平行即得;

(2)用等体积法可求得点4到平面BDF的距离;

(3)作“，A8,垂足为P,作于E,连接尸Q,/尸。「是二面角尸一口)—A的平面角，设B/=x,

(0<x<2),求出平面角的正切值可得范围，从而得角的范围.

【教师】

B.F1

(1)=1时，AE〃平面BC/，证明如下：

5aj

延长AE交C£>于M.

因为平面A84A，所以“84是直线3。与平面A8BM所成的角，即"84=30。，所以

AD=ABtan30°=—.

3

2

由AE_L8力，所以NZME=300,DAY=ADtan30°=-,

在CO上取点N,使得〃N=。，连接MMAN,

B.F124

1

・.・iT二三，则4尸=；,a/=；=GN,又AF//£N,・・・AEqN是平行四边形，A.N//FCU

D[N=DM,D、NIIDM,0NMO是平行四边形，

：.MNHDD,//AA[,MN=DD]=AAif，AAMN是平行四边形，:.AM"A、N

:・AMHC\F,又W平面3G/，C/u平面JAM//平面3G尸，即AE//平面8C/.

k速、2=侦IZ_1।2百_2百

(2)S4ABDVF-ABD=§X1X-^—=飞—

由长方体性质可得3F=&，BD=—,DF=叵，,；BF?+FD?=BD?，:.BF1.DF,

33

.••,=?而等=半,

设A到平面BDF的距离为〃，则由匕.加=VF_ABD得

Lx旦=空，"迈

3395

(3)作FP_LAS,垂足为P,作于Q,连接尸。，则尸PJ_平面A8CD,B/)u平面ABCD,

：.FPLBD,同理尸

VFPr\PQ=P,尸尸,PQu平面FPQ,8。，平面FPQ,

而尸Q