2021高考北京版数学4.4解三角形

4.4解三角形

探考情悟真题

【考情探究】

5年考情预测热

考点内容解读

考题示例考向关联考点度

运用正弦定理、余

1.正弦、①理解正弦定理2019北京文,15三角恒等变换

弦定理解三角形

与余弦定理的推

三角恒等变换、

余弦定导过程

2016北京,15三角函数的性

②掌握正弦定理、★★★

运用余弦定理解质

理的应余弦定理,并能解

三角形

决一些简单的三换元法，解二次

2016北京文,13

用角形度量问题方程

能够运用正弦定运用正弦定理、余

2.解三角2015北京,12二倍角公式

理、余弦定理等知弦定理解三角形

识和方法解决一运用正弦定理解三角形中“大边

形的综2015北京文,11★★☆

些与测量和几何三角形对大角”

计算有关的实际2018北京文,14运用正弦定理、余

合应用三角恒等变换

问题2017北京,15弦定理解三角形

分析解读1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关的量的问题

时,需要综合应用两个定理及三角形有关知识2正弦定理和余弦定理应用比较广泛，也比较灵

活，在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.利用数学建模思想，结合三角形的知识，解

决生产实践中的相关问题.在高考中常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题

中.

破考点练考向

【考点集训】

考点一正弦、余弦定理的应用

1.(2020届北京二中开学考试5)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则"a>b"是

"cos2A<cos2Bwfi<|()

A.充分不必要条件

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B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

2.(2020届北京东直门中学期中,16)在4ABC中,c=7,sinCq.

⑴若cosB=*求b的值；

⑵若a+b=l1,求4ABC的面积.

解析⑴在△ABC中,cosB=*

sinB=Vl-cos2B=^,

c=7,sinC=等，

2V6

由正弦定理可得b=萼=K=5.

sinC£v6

5

(2)在小ABC+,a2+b2>^y^=^>72=c2,

/.cosC=Q+b'c>0,VsinC=—,cosC=~,

2ab55

又c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC,a+b=l1,c=7,

/.72=112-2ab-|ab,ab=30,

.'.SAABC=|absinC=|X30X^=6A/6.

考点二解三角形及其综合应用

3.（2020届北京八一学校开学考试,11）在△ABC中,a=l,b=«，且△ABC的面积为冬则

答案2或2M

4.（2018北京东城期末,12）在△ABC中,a=5,c=7,cosC=（,则b=,△ABC的面积

为.

答案6;6>/6

5.（2015湖北,13,5分）如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧

一垂直于路面的山顶D在西偏北30。的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北

75。的方向上,仰角为30。,则此山的高度CD=m.

第2页共26页

D

答案100后

6.(2020届山东夏季高考模拟,18)在4ABC中/A=90。,点D在BC边上.在平面ABC内，过D

作DFJLBC且DF=AC.

(1)若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求/ABC;

(2)若NABC=45。,且BD=3CD,求cosZCFB.

解析⑴因为CD=BD,所以CD《BC.

由题设知DF=AC,|CD-DF=|AB-AC,SlitCD=AB.

所以ABgBC,因此NABC=60°.

(2)不妨设AB=1,由题设知BC=V2.

由BD=3CD得BD=—,CD=-.

44

由勾股定理得CF=乎,BF=^.

44

由余弦定理得COSZCFB=g¥%=萼.

炼技法提能力

【方法集训】

方法1三角形形状的判断

1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asin人,则4ABC的形状为

()

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.不确定

答案A

2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.

(1)求角A的大小；

⑵若sinB+sinC=V5，试判断^ABC的形状.

解析⑴由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,

得2a2=(2b-c)b+(2c・b)c,即bc=b2+c2-a2,

庐+C2-Q21

所以cosA=-

2bc2

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因为(r<A<180。,所以A=60°.

(2)因为A+B+C=180°,所以B+C=180°-60°=120°.

由sinB+sinC=W,得sinB+sin(120°-B)=V3,

所以sinB+sin120°cosB-cos1200sinB=V3.

所以|sinB+ycosB=V3,BPsin(B+30°)=l.

因为0°<B<120°,所以30°<B+30°<150°.

所以B+30°=90°,即B=60°.

所以A=B=C=60。,所以△ABC为等边三角形.

方法2解三角形的常见题型及求解方法

3.(2018北京朝阳二模,4)在4ABC中,a=l,NA=pZB=：,则c=()

o4

A巫+壶口V6-V2

A.------B.------

22

答案A

4.（2020届北京陈经纶中学开学考试,102ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

b=6,a=2c,B=JWUABC的面积为.

答案6V3

5.（2018北京石景山一模,12）在△ABC中,NA=6（T,AC=4,BC=2遍，则△ABC的面积等

于.

答案2百

6.（2019北京丰台二模文,14）在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,sinB=sin

2A.

①■）的值为；

COS/1

②若a>c,则b的取值范围是.

答案①6②（3,3或）

7.（2020届北京人大附中开学考试,11）在4ABC中,a=3,b=g,B=60。,贝Uc=;△ABC的

面积为.

答案4;3百

8.（2019北京西城一模,15）在4ABC中，已知a2+c2-b2=mac,其中mGR.

（1）判断m能否等于3,并说明理由；

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⑵若m=-l,b=2V7,c=4,求sinA.

解析(l)m不能等于3.理由如下:

当m=3时，由题可知a2+c2-b2=3ac,

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

这与cosBG[-U]矛盾,

所以m不可能等于3.

(2)由⑴得cosB或=-/所以B号.

因为b=2>/7,c=4,a2+c2-b2=-ac,

所以a2+16-28=-4a,

解得a=-6(舍)或a=2.

在^ABC中，由正弦定理，得sin人*竺二余哼二等

h2V7214

【五年高考】

A组自主命题•北京卷题组

1.（2015北京,12,5分）在小ABC中,a=4,b=5,c=6,则学=.

答案1

2.(2018北京文,14,5分)若4ABC的面积为?a2+c2-b2),且NC为钝角，则NB=匚的取

值范围是.

答案泉(2,+oo)

3.（2016北京文,13,5分）在4ABC中/A==,a=gc,则丝________.

3c

答案1

4.（2015北京文,11,5分）在^ABC中,a=3,b=n,NA=g,则NB=.

於:室-

口采4

5.(2019北京文,15,13分)在仆ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-1.

(1)求b,c的值；

⑵求sin(B-C)的值.

解析本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，旨在考查学生在解三角形中的运算求解能

力,以求三角形的边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想.

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(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

222

得b=3+c-2x3xcx(-|).

因为b=c+2,

所以(C+2)2=32+C2-2X3XCX(-J.

解得c=5.

所以b=7.

⑵由cosB=-；得sinB=y.

由正弦定理得sinA=-sinB=—.

b14

在4ABC中,B+C=rA.

所以sin(B+C)=sinA=等.

6.(2018北京,15,13分)在4ABC中,a=7,b=8,cosB=-i

⑴求NA;

(2)求AC边上的高.

解析(1)在4ABC中，因为cosB=-；,所以sinB=Vl-cos2B=^.

由正弦定理得sinA=—=^.

b2

由题设知；NB<兀，所以0<ZA<1.

所以NA=1

(2)在4ABC中，

因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=当，

所以AC边上的高为asinC=7x^=逋.

142

方法总结处理解三角形相关的综合题目时，首先要掌握正弦、余弦定理，其次结合图形分析

哪些边、角是已知的，哪些边、角是未知的，然后将方程转化为只含有边或角的方程，最后通过

解方程求出边或角.

7.(2017北京,15,13分)在^ABC中,NA=60°,c=1a.

(1)求sinC的值；

⑵若2=7,求4ABC的面积.

解析本题考查正、余弦定理的应用，考查三角形的面积公式.

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(1)在4ABC中，因为NA=60°,c=|a,

所以由正弦定理得sinC=—=；x^=^.

a7214

⑵因为a=7,所以c=，7=3.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2bx3x1,

解得b=8或b=-5(舍).

所以△ABC的面积S=|bcsinA=ix8x3x^=6V3.

解后反思根据所给等式的结构特点，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关

键.在求解面积时，经常用余弦定理求出两边乘积.

8.(2016北京,15,13分)在4ABC中,a2+c2=b2+&ac.

(1)求NB的大小；

(2)求V^cosA+cosC的最大值.

解析⑴由余弦定理及题设得cosB上卢=争邛.

2aczac2

又因为0<ZBV冗，所以NB=-.

4

⑵由⑴知NA+ZC哼.

V2cosA+cosC=V2cosA+cos©・A)

=V2cosA-ycosA+ysinA

=^cosA4-ysinA=cos(4»

因为0<ZA<—,

4

所以当NA』时，夜cosA+cosC取得最大值1.

4

思路分析第(1)问条件中有边的平方和边的乘积，显然应选用余弦定理求解.第(2)问用三角

形内角和定理以及三角恒等变换将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式.再注意角的

取值范围，即可得出答案.

评析本题考查余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.

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B组统一命题、省（区、市）卷题组

考点一正弦、余弦定理的应用

1.（2019课标全国I文,11,5分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-bsin

B=4csinC,cosA=-：,则g=（）

A.6B.5C.4D.3

答案A

2.（2018课标全国H,6,5分）在^ABC中,cosg=g,BC=l,AC=5,则AB=（）

A.4V2B.V30C.V29D.2V5

答案A

3.（2019浙江,14,6分）在4ABC中/ABC=9（T,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若NBDC=45。,

则BD=,cosZABD=.

史.12V2.7V2

1=1菜5，而

4.（2019课标全国II文,15,5分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知bsinA+acosB=0,

则B=.

答案）

5.（2018浙江,13,6分）在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=V7,b=2,A=60。,则sin

B=,c=.

答案手;3

6.（2016课标H,13,5分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=g,cosC4,a=l,则

b=.

□荣13

7.（2019课标全国HI,18,12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin^=bsinA.

⑴求B;

（2）若4ABC为锐角三角形，且©=1,求4ABC面积的取值范围.

解析本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握

情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.

⑴由题设及正弦定理得sinAsin与JsinBsinA.

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因为sinAwO,所以sin^y^=sinB.

由A+B+C=18O°,可得sin^^=cosp

故cos沁喙。s*

因为cos*0,故sing=g,因此B=60°.

(2)由题设及⑴知△ABC的面积SAABC=*I.

由正弦定理得a=^=也吟

sinesine2tanC2

由于△ABC为锐角三角形，故0。＜人＜90。,0。＜(2＜90。.

由(1)知A+C=120。,所以30。<(2<90。,故*a<2,

从而^:SAABC＜B

oN

因此,AABC面积的取值范围是住野

思路分析(1)用正弦定理将边化成角,再利用三角恒等变换求解角B.

⑵先用正弦定理表示出边a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出角C的范围，进而求出

△ABC面积的取值范围.

8.(2019天津,15,13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin

B=4asinC.

(1)求cosB的值；

⑵求sin卜B+力的值.

解析本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式,

以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.体现了对数学运算这一核心素养的

重视.

(1)在4ABC中，由正弦定理±='-,得bsinC=csinB,

sinBsinC

又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.

又因为b+c=2a,得至ljb=|a,c=|a.

由余弦定理可得cos至=它蜉±=±

2ac2a1a4

(2)由(1)可得sinB=Vl-cos2B=—,

4

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从而sin2B=2sinBcosB=--,cos2B=cos2B-sin2B=--,

88

44,•(、r->."ccncc•nVT5y/3713A/5+7

故sinl2B+-)=sm2Bcos-+cos2Bsin-="-x——x-=-----.

\6/66828216

思路分析(1)由已知边角关系3csinB=4asinC,利用正弦定理彳导三边比例关系.根据余弦定

理即可求出cosB.

(2)由(1)利用同角三角函数基本关系，求出sinB,再由二倍角公式求出sin2B、cos2B,代入两角

和的正弦公式即可求出sin(28+J的值.

易错警示角B为三角形内角.故sinB>0,由cosB求sinB仅有一正解.

9.(2018课标I,17,12分)在平面四边形ABCD中,NADC=90°,ZA=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cosZADB;

⑵若DC=2a,求BC.

解析(1)在4ABD中,由正弦定理知心=』.

sin(3HsinEL4DB

故，一二一--，所以sinZADB=—.

sin45*sinffl4D8‘5

由题设知/ADB<90。,所以COSZADB=/1^=—.

、255

(2)由题设及(1)知,cosNBDC-sinZADB=y.

在4BCD中,由余弦定理得BC2-BD2+DC2-2-BDDC-COSZBDC=25+8-2x5x2金x9=25.所以

BC=5.

方法总结正、余弦定理的应用原则：

⑴正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其中一对的比值或等量关系就可以

通过该定理解决问题.在解题时要学会灵活运用.

(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的应用.

(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,

以免漏解.

(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时，可能会出现一解、两解或无解的情况，所以解答

此类问题时需要进行分类讨论，以免漏解或增解.

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考点二解三角形及其综合应用

1.(2018课标in,9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为％'<:.若4ABC的面积为吐则

4

c=()

A.-B.-C.-D.-

2346

答案C

2.(2016课标in,8,5分)在4ABC中,B』,BC边上的高等于:BC,则cosA=()

43

A3ViOD同V10c3V10

A.-----fc>.----C.-----L).--------

10101010

答案C

3.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,

则4BDC的面积是,coszBDC=.

较案后-6

4.(2019课标全国1,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sin

C)2=sin2A-sinBsinC.

⑴求A;

⑵若&a+b=2c,求sinC.

解析本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运

算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.

⑴由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.

由余弦定理得cosA="

2bc2

因为(r<A<180。,所以A=60°.

(2)由(1)知B=120"C,由题设及正弦定理得asinA+sin(1200-C)=2sinC,

即**osC+|sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-y.

由于0。<(2<120。,所以sin(C+60°>y,

故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)-sin60°=西止.

4

思路分析⑴先借助正弦定理将角化为边，然后利用余弦定理求出角A的余弦值，进而得出

角A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角，利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正

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弦、余弦的等式，利用角度变换求出sinC.

5.(2019江苏,15,14分)在^ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.

⑴若a=3c,b=V2,cosB=|,求c的值；

(2)若手=黑，求sin(B+»的值.

解析本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查

运算求解能力.

(1)因为a=3c,b=V2,cosB=|,

由余弦定理cos8=注*,得|=吗毕空，

2ac32x3cxc

即c2=g.所以C=*

(2)因为W=等，

由正弦定理三=白，得黑=¥，所以cosB=2sinB.

sin71s\nB2bb

从而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(l-cos2B),

故COS2B=^.

因为sinB>0,所以cosB=2sinB>0,从而cosB=?.

因此sin(B+])=cosB=手.

6.(2018天津,15,13分)在^ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B-'

(1)求角B的大小；

⑵设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.

解析本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余

弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力.

⑴在△ABC中，

由正弦定理旦=上,可得bsinA=asinB,

sin/1sinB

又由bsinA=acos(8-J得asinB=acos(B-：),

即sinB=cos(8-：),可得tanB=V3.

又因为BW(0,兀)，可得B=g.

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⑵在^ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B三,

有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=V7.

由bsinA=acos(B-)可得sinA=詈又a<c,故cosA二亲

因此sin2A=2sinAcosA二手,cos2A=2cos2A-l=,所以,sin(2A-B尸sin2AcosB-cos2Asin

47311V33V3

B=-x-x—=—

727214

7.(2017课标I,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为工.

3sin/l

(1)求sinBsinC;

(2)若6cosBcosC=l,a=3,^<AABC的周长.

解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换，考查学生利用三角形面积公式进行

运算求解的能力.

(1)由题设得JacsinB=(■:，即*sinB=-^-.

23sm423sin4

由正弦定理得工sinCsinB二出土.

23sin4

故sinBsinC=|.

(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-|,

即cos(B+C)=+.所以B+C号，故A=g.

由题设得工bcsinA=——，即bc=8.

23sin4

由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=V33.

故4ABC的周长为3+V33.

思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得;acsinB=《=,然后利用正弦定理.把边转化成

23SIIL4

角的形式，即可得出sinBsinC的值;⑵首先利用sinBsinC的值以及题目中给出的6cosBcos

C=l,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出

be的值，最后利用余弦定理求出b+c的值，进而得出△ABC的周长.

方法总结解三角形的综合应用.

(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式.以便进一步化简计

算例如4瑞csin8=占变形为:sinCsinB=^-.

23sin7l23sin/l

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(2)三角形面积公式:S=；absinC=|acsinB=|bcsinA.

⑶三角形的内角和为兀这一性质经常在三角化简中起到消元的作用，例如:在△ABC

中,sin(B+C尸sinA.

8.(2016课标I,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+

bcosA)=c.

⑴求C;

⑵若c=V7,AABC的面积为竽，求△ABC的周长.

解析(1)由已知及正弦定理得，

2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCeosC=sinC.

可得cosC《,所以C=：.

(2)由已知，得gabsinC=字又C=g,所以ab=6.

由已知及余弦定理得,a2+t»2-2abcosC=7.

故a?+b2=13,从而(a+b)2=25.，a+b=5.

所以△ABC的周长为5+V7.

9.(2015课标H,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分NBAC,AABD面积是△ADC面

积的2倍.

⑴求嘤

')sin0C

(2)若AD=1,DC=号，求BD和AC的长.

解析(1)SAABD=~AB-ADsinZBAD,

SAADC=|AC-ADsinZCAD.

因为SAABD=2SAADC,ZBAD=ZCAD,所以AB=2AC.

由正弦定理可得sinOf;AC1

sinSCAB2

(2)因为SAABD:SAADC=BD：DC,

所以BD=V2.

在^ABD和4ADC中,由余弦定理知

AB2=AD2+BD2-2ADBDCOSZADB,

AC2=AD2+DC2-2ADDCCOSZADC.

故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

由⑴知AB=2AC,所以AC=1.

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C组教师专用题组

考点一正弦、余弦定理的应用

1.（2013北京文,5,5分）在小ABC中,a=3,b=5,sinA=g,则sinB=（）

A.1B.gC,YD.l

答案B

2.（2017山东,9,5分）在4ABC中，角A,B;C的对边分别为也,<:.若4ABC为锐角三角形，且满足

sinB（l+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是（）

A.a=2bB.b=2a

C.A=2BD.B=2A

答案A

3.（2016天津,3,5分）在^ABC中，若AB=713,BC=3,Z0120。,则AC=（）

A.lB.2C.3D.4

答案A

4.（2015天津,13,5分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为

3V15,b-c=2,cos则a的值为

答案8

5.（2015广东,11,5分）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=V5,sinB=；,C=3则

b=.

答案1

6.（2014北京,12,5分）在4ABC中,a=l,b=2,cosC=；则c=;sinA=.

4------------------

答案2;当

7.（2012北京文,11,5分）在4ABC中，若a=3,b=V3,ZA=],则NC的大小为.

答案；

8.（2012北京,11,5分）在4ABC中，若a=2,b+c=7,cosB=」，则b=.

4---------

答案4

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9.(2011北京,9,5分)在^ABC中，若b=5,ZB=-,tanA=2,则sinA=;a=.

4--------------------------------------

答案^；2V1O

10.(2015安徽16,12分)在4ABC中/A=空,AB=6,AC=3近，点D在BC边上,AD=BD,求AD

4

的长.

解析设4ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccoszBAC=(3V2)2+62-2x3V2x6xcos史=18+36-(-36)=90,所以

4

a=3V10.

又由正弦定理得sinB二誓"=岛=噂，

由题设知所以cosB=Vl-sin2B=

ABsinB6sinB

在4ABD中,由正弦定理得AD=

sin(ir-2fi)2sinScosB

考点二解三角形及其综合应用

1.（2014江西,4,5分）在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=（a-b）2+6,Cq,则

△ABC的面积是（）

A.3B.—C.—D.3V3

22

答案C

2.（2018江苏,13,5分）在4ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c,NABC=120°,ZABC的平分

线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.

答案9

3.（2014山东,12,5分）在4ABC中，已知说•衣=tanA,当A=^时,△ABC的面积为.

6

答案

4.（2014四川,13,5分）如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,

此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.

参考数据:sin67°=0.92,cos67°=0.39,sin370=0.60,cos37°=0.80,V3=1.73）

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答案60

5.(2016浙江,16,14分)在^ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.

⑴证明:A=2B;

(2)若4ABC的面积S=。,求角A的大小.

解析(1)证明:由题意及正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,

故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,

于是sinB=sin(A-B).又A,B£(0,兀)，故0<A-B<n,

所以B=7t-(A-B)或B=A-B,

因此A=TC(舍去)或A=2B,

所以,A=2B.

⑵由S二上得UbsinC=上，故有sinBsinC=-sin2B=sinBcosB.又sinBxO,所以sinC=cosB.

4242

因为B,CW(0,n),所以C=找B.

当B+C=；时,A=；;当C-B=轲,A=；.

综上,A=；或今

6.（2014湖南,18,12分）如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=夕.

⑴求coszCAD的值;

(2)若coszBAD=1,sinNCBA=1^，求BC的长.

解析（1）在4ADC中,由余弦定理得

ZIC2+AD2-CD2_7+1-4_2V7

cosZCAD=2ACAD~2y/7~7"

(2)设NBAC=a,贝ija=ZBAD-ZCAD.

因为coszCAD=—,cosZBAD=--,

714

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所以sinzCAD=Vl-cos20CAD=

于是sina=sin(ZBAD-ZCAD)

=sinZBADcosZCAD-cosZBADsinZCAD

二3旧乂24(_②

X......——.

-147\14/72

BC_AC

在△ABC中，由正弦定理，得

sinasiniaCB/1

故BC=^W=3.

sin团CB4v21

6

7.(2014北京,15,13分)如图，在△ABC中/B=；,AB=8,点D在BC边上，且CD=2,cosZADC=1.

(1)求sinZBAD;

(2)求BD,AC的长.

解析(1)在4ADC中，因为cosNADC-i

所以sinzADC=手.

所以sinzBAD=sin(ZADC-ZB)

=sinZADCcosB-cosZADCsinB

47311x/33x/3

='X---X—=------.

727214

(2)易知sinzADB=sin(;t-ZADC)=sinNADC=^，在△ABD中,由正弦定理得

ncABsin^BAD8x—

BD=-----------"-3.

sin^ADB也

7

在^ABC中,由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2ABBC-COSB=82+52-2x8x5xi=49.

2

所以AC=7.

思路分析⑴先得到sinzADC的值和NBAD=ZADC-ZB,再用两角差的正弦公式求值.(2)

在4ABD中利用正弦定理求BD,然后在△ABC中利用余弦定理求AC.

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评析本题考查了三角恒等变换，及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解能力.

【三年模拟】

一、选择题（每小题5分，共10分）

1.（2019北京西城一模文.5）在AABC中，已知a=2,sin（A+B）=：,sinA=；,则c=（）

34

84

A.4B.3C.-D.-

33

答案c

2.（2019北京朝阳一模文4,5分）已知在△ABC中/A=120°,a=Vn,AABC的面积为VI若b<c,

则c-b=（）

A.V17B.3C.-3D.-V17

答案B

二、填空题（每小题5分，共30分）

3.（2019北京房山一模,11,5分）在小ABC中，已知BC=6,AC=4,sinA=*则NB=.

答案;

O

4.（2019北京东城一模,10）在4ABC中，若bcosC+csinB=0,则NC=.

口木4

5.（2019北京海淀一良10）在4ABC中,a=4,b=5,cosc=_________,SAABC=_________.

8

答案6;?

4

6.（2018北京海淀二模,12）在4ABC中,a：b：c=4：5：6,则tanA=.

答案y

7.（2019北京丰台期末,10）在4ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a>b,且企a=2bsinA厕

B=.

口采4

8.（2020届北师大附中期中,11）设4ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin

A=5sinB,则NC=.

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答案T

三、解答题（共140分）

9.（2019北京石景山一模,16）在仆ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2a,c=3,cosB=g

⑴求sinC的值；

(2)求4ABC的面积.

解析⑴在△ABC中,cosB=f,

sinB=Vl-cos2B=Jl-(-=苧.

由b=2g,c=3,及白=£得袈=告,?.sinC=乎.

smBsinC”丁sinC3

(2)由b2=a2+c2-2accosB得12=a2+9-2x3ax(-Aa2+2a-3=0,ft?#a=l或a=-3(舍),

・c1•n11c2V2K

..SAABC=2acsinB=-X1x3x—=V2.

10.（2019北京通州期末.15）如图，在△ABC中,NA=；,AB=4,BC=g,点D在AC边上，且

4

cosZADB=--.

3

(1)求BD的长；

(2)求4BCD的面积.

解析（1）在4ABD中，因为cosZADB=-j,

所以sinZADB考

由正弦定理得一叽=/一，

sir^BADsin^ADB

AV2

ASsin(3BAD4x—

所以BD=-：--------------=----^-=3

si-nZ--A-DB272,

3

(2)因为NADB+ZCDB=?t,

所以coszCDB=cos(7t-zADB)=-COSNADB=g,

所以sinZCDB=学.

在4BCD中，由BC2=BD2+CD2-2BDCDCOSZCDB,

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得17=9+CD2-2X3XCDX|,

解得CD=4或CD=-2(舍).

所以△BCD的面积S=|BDCDsinZCDB

2X3X4X延=4也

23

11.(2019北京西城期末,15)在4ABC中,a=3,b=2连,B=2A.

(1)求cosA的值;

(2)试比较B与C的大小.

解析⑴在△ABC中,a=3,b=2佩B=2A,由三=吃,得吃=苦，即吃下平二解得cosA=g

smAsinBsiMsm2/isin/l2sinAcos43

(2)由AW(0,;t)，得sinA=Vl-cos2A=y.

因为B=2A,所以cosB-cos2A-2cos2A-l=|.

所以sinB=Vl-cos2B=^.

又因为A+B+CF,

所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=彳.

所以cosB>cosC.

又因为函数y=cosx在(0㈤上单调递减，且B,CG(0,TT),

所以B<C.

12.(2020届北京朝阳期中,17)在4ABC中,AB=24,点P在BC边上，且NAPC=6(T,BP=2.

(1)求AP的值；

⑵若PC=1,求sinzACP的值.

解析(1)VZAPC=60°,.,.ZAPB=120°,

在^ABP中,AB=2VT,BP=2,NAPB=120。,由余弦定理得AB2=AP2+BP2-2APBP-cosZAPB,即

28=Ap2+4-2APx2x(-m，；.AP?+2AP-24=0,解得AP=4或AP=6(舍).

(2)在4APC中,AP=4,PC=1,NAPC=60°,

工AC2=AP2+PC2-2APPCCOSZAPC=16+l-2x4x底=13,.AAC=V13,

又=AC

人sinEWCp—siiWlPC'

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46L

/lPsinMPC_4x~y_2回

.sinzACP=-AC-VT313

13.（2019北京清华大学中学生标准学术能力测试,17）在小ABC中，内角A,B,C的对边分别为

a,b,c,a=3,cosC=-/,5sin(B+C)=3sin(A+C).

⑴求c;

⑵求sin(B-f的值.

解析⑴由5sin(B+C)=3sin(A+C)得5sinA=3sinB,

二由正弦定理得5a=3b.

".'a=3,/.b=5.

c2=a2+b2-2abcosC=32+52-2x3x5x(-£)=36,

c=6.

(2)在4ABC中,由余弦定理得COSB==^Q],

2ac9

・.D_2VH

・・sinB-----,

9

.fn-n11n-H2\/14-5\/3

..sinn--=sinBcos-cosBsin-=---------.

\3/3318

14.(2020届北师大附中期中,16)在仆ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且a2=b2+c2+bc.

⑴求A的大小；

⑵若sinB+sin01力=2,试求4ABC的面积.

解析(1),-*a2=b2+c2+bc,

，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可知,cosA=-1,

又A£(0,兀),・，.A号

(2)*/sinB+sinC=l,.*.sinB+sin(；・B)=l,

sinB+sin--cosB-cos-sinB=l,

33

B+|sinB=l,

.\sin(B+；)=1,

：8是4ABC的内角，

B=-,/.C=7t-A-B=-,・\c=b=2,

6'6''

SAABc=jbcsinA=1x2x2Xy=V3.

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15.(2019北京东城期末,15)在4ABC中,&csinA