2022年辽宁省沈阳某中学中考数学模拟试卷（八）（解析版）

2022年辽宁省沈阳七中中考数学模拟试卷（八）

注意事项:

i.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、

姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1.愀的算术平方根是（）

A.±3B.3C.-3D.9

2.下列图形中，是中心对称图形的是（）

A.B.0

c.

A一个几何体由大小相同的小立方块搭成,它的俯®视图如图所示，其中

3.2

:

小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视

3

图为（）

4.下列说法正确的是（）

A.平行四边形是轴对称图形B.平行四边形的邻边相等

C.平行四边形的对角线互相垂直D.平行四边形的对角线互相平分

5.小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6,36.2,36.5,362363关于这组数

据，众数和中位数分别是（）

A.36.2,36.3B.36.2,36.6C.36.2,36.36D.363

6.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后,

II

指针落在数字“口”所示区域内的概率是（12。

7.如图，P4,PB分别与。。相切于4B两点，"=72。，A

则"=（）P<\\

A.108°

B.72°B

C.54°

D.36°

8.如图，在矩形纸片ABCD中，48=3,点E在边BC上，飞'——

将A4BE沿直线4E折叠，点8恰好落在对角线4c上的；V\

点尸处，若4EAC=NEC4则4c的长是（）：\

A.3V3B.4C.5BE

9.如图，在A4BC中，点。为AABC的内心，乙4=60。,。。=2,

BD=4.则△DBC的面积是（）

A.4V3

B.2V3

C.2

D.4

10.如图，已知抛物线%=—X2+4%和直线=2久+1我

们规定：若力*丫2,取yi和丫2中较大者为M；若为=y2,

记“=丫1=丫2.有下列结论：

①当x=2时，M为4；

②当b=-3时，使M=%的x的取值范围是一1SxS

3；

第2页，共25页

③当b=-5时，使M=3的x的值是匕=1,x2=3；

④当b>1时，M随x的增大而增大.

结论正确的是（）

A.②③B.①④C.②④D.②③④

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11.北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟，使北斗导航系统授时精度达到了十亿分

之一秒.十亿分之一用科学记数法可以表示为.

12.若/』在实数范围内有意义，贝h的取值范围是.

13.小明记录课间在教室的学生人数，其中一组数据为1,3,a,10,它们平均数为5,

则a=.

14.若二次函数y=-/+2x+%的图象与x轴有两个交点，贝必的取值范围是.

15.如图，在△ABC和aCDE中，NACB=NDCE=90。，才

4C=BC=a,CD=CE=b，将△CCE绕点C旋转，/

连接4。，若点M为4。中点，△COE绕点C旋转180。，

则点M的运动轨迹的长为./

16.如图，在〃1BCD中，NB=60。，AB=18,BC=12,点E为边上的一个动点,

连接EC并延长至点凡使得DF=^DE,连接EC,以EC,EF为邻边构造。EC”,

连接EG,则EG的最小值为.

三、解答题（本大题共9小题，共82分）

17.先化简,再求值：&+W-工其中。=2-存

18.如图，在矩形4BCD中，对角线AC与BC相交于点。，

乙40B=60°,对角线4c所在的直线绕点。顺时针旋转

角a((T<a<120。)，所得的直线2分别交4。，BC于点

E,F.

(1)求证：△AOEWACOF；

(2)当旋转角a为多少度时，四边形4FCE为菱形？试说明理由.

19.“快闪”作为新时代人们抒发情怀的一种娱乐活动，被大众所喜爱.某中学想收集

歌曲名称为“快闪”的编排做准备，从四首入围的歌曲：4《大海啊，我的故乡》B.

《生僻字少C.《我和我的祖国》D《红旗飘飘/中选取，现随机抽取一部分学生对

四首歌曲的喜爱情况进行调查(单项选择).随后将调查结果绘制成如下的不完整统

计图表.

喜爱四种歌曲的学生人数统计表

歌^山人数所占百分比

Aa10%

B5527.5%

C80b%

D4522.5%

合计m100%

(l)m=,b=.

(2)求出Q的值并补全条形统计图;

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(3)若该校共有2000名学生，请你估计喜爱歌曲C,微和我的祖国》的学生有多

少名？

(4)八(2)班有两位文艺委员，一位班长，学校想从这三人中任选两人担任此次活动

的组织者，请用列表或画树状图的方法求出选中班长的概率.

20.如图，4B是一垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑物底端B出发，沿水平方向

向左行走11.6米到达点D,再经过一段坡路DC,DC=2.6米，坡面DC的坡度为i=1：

2.4(即tan/CDF=2)，然后再沿水平方向向左行走4米到达点E,在E处测得建筑物

顶端4的仰角为37。.

(1)求点E到建筑物4B的水平距离；

(2)求建筑物4B的高度.(参考数据：s讥37。«0.6,cos37°»0.8,tan370®0.75)(4

B,C,D,E,尸均在同一平面内，结果精确到1米)

21.如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函

数丫=?的图象交于点/(3,£1),点8(14—2£1,2).

(1)求反比例函数的表达式：

(2)若一次函数图象与y轴交于点C,点。为点C关于

原点。的对称点，求△4CD的面积.

22.如图，△ABC内接于。0,/.ABC>90°,过点B作4B的垂线，

交。。于点E，过点4作交CB的延长线于点D,且

乙DAB=",过点E作EF〃斗C,交。。于点M,交的延长

线于点上

(1)求证：FD是。。的切线；

(2)若C是配的中点，BE=26，求前的长.

23.某工厂设计了一批零件，零件的成本是10元/个，为了合理定价，先投放市场进行

试销，要求售价不得低于成本，且不能高出成本的2倍，据市场调查，零件每天的

试销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的函数关系.

(1)请写出y与之间x的函数关系式，并求出当售价为14元时，每天的销量是多少？

(2)设试售零件每天所获的利润为卬(元)，那么销售单价为多少元/个时，每天的销

售利润最大？最大利润是多少？

24.如图，四边形4BCD是菱形，乙4BC=60。，点E是对角线BD上的一个动点，连接4E,

将线段AE绕点4逆时针旋转120。得到线段连接EF,DF.

(1)如图1,求NCOF的度数.

(2)如图2,当BE=gBD时，连接EC,求证：四边形FECD是矩形.

(3)如图3,①当是等边三角形，求此时点E运动的位置，请直接写出结果;

②若取DF的中点G,连接EG,当线段BE与满足什么样的数量关系时，四边形

4EGF是菱形？请说明你的理由.

25.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+6%c与》轴交于力(-1,0),8(3,0),

与y轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的解析式.

(2)若点M是抛物线上8,。之间的一个动点，线段绕点M逆时针旋转90。得到MN,

当点N恰好落在y轴上时，求点M,点N的坐标.

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(3)如图2,若点E坐标为(2,0),EF1x轴交直线BC于点/，将△BEF沿直线BC平移

得到△B'E'F',在△B'E'F'移动过程中，是否存在使AACE'为直角三角形的情况？

若存在，请直接写出所有符合条件的点E'的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

解：•1•781=9,

二质的算术平方根是：V9=3.

故选：B.

首先根据算术平方根的含义和求法，求出面的值是9；然后求出9的算术平方根即可.

此题主要考查了算术平方根的含义和求法，解答此题的关键是先求出质的值.

2.【答案】D

解：4不是中心对称图形，故此选项不合题意；

A不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

根据中心对称图形的概念进行判断即可.

本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与

自身重合.

3.【答案】A

解：从正面看所得到的图形为

故选：A.

从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数画出图形

即可.

考查几何体的三视图的画法，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图,

从上面看到的图象是俯视图.

4.【答案】D

解：4、平行四边形不是轴对称图形而是中心对称图形，故原命题错误，不符合题意;

8、平行四边形的邻边不等，对边相等，故原命题错误，不符合题意；

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c、平行四动形对角线互相平分，错误，故本选项符合题意；

。、平行四边形对角线互相平分，正确，故本选项不符合题意.

故选：D.

根据平行四边形的性质以及平行四边形的对称性对各选项分析判断即可得解.

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形

两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对•称中心，旋转180度后两部分重合.

5.【答案】A

解:将这组数据排序为:36.2,36.2,36.3,36.5,36.6,

故中位数为：36.3,这组数据中36.2出现了2次，次数最多，故众数为36.2,

故选:A.

根据平均数的计算公式及众数的定义即可求解.

本题主要考查众数与中位数的定义，熟练掌握平均数的计算公式及众数的定义是解题的

关键.

6.【答案】A

解：由转盘的特点，指针落在数字“口”所示区域内的概率是：哭=：.

OOMJ

故选：A.

直接利用“n”所示区域所占圆心角除以360,进而得出答案.

此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键.

7.【答案】C

解：连接04、0B,

■■PA,PB分别为。。的切线，

0A1PA,OB1PB,

•••"40=90°,Z.PB0=90°,

^AOB=360°-/.PAO-乙PB0一乙P=360°-90°-90°-72°=108°,

由圆周角定理得，NC=：N40B=54。，

故选：C.

连接04、0B,根据切线的性质得到NPA。=90。，APBO=90°,求出440B,根据圆周

角定理解答即可.

本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的

关键.

8.【答案】D

解：•••将AABE沿直线4E折叠，点B恰好落在对角线力C上的点尸处，

AF=AB,^AFE=NB=90°,

:.EF1AC,

vZ.EAC=Z.ECA,

••AE=CE,

AF=CF,

•••AC=2AB=6,

故选：D.

根据折叠的性质得到AF=SB,乙4FE=4B=90。，根据等腰三角形的性质得到4尸=

CF,于是得到结论.

本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

9.【答案】B

解：过点B作1CD于点H.

•••点。为△ABC的内心，乙4=60。，

11

・♦・乙DBC+乙DCB=+Z4CB)=^(180°一4/),

(BDC=90。+工=90。+1X60°=120°,

22

则NBDH=60°,

・.・BD—4,

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•••DH=2,BH=273,

vCD=2,

£)BC的面积=|CD-BH=IX2X2V5=2>/3,

故选：B.

过点B作BH1CD于点H.由点。为△ABC的内心，乙4=60。,得NBDC=120°,^BDH=

60°,由BD=4,求得BH,根据三角形的面积公式即可得到结论.

本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30。角的直角三角形的性质是解题的关

键.

10.【答案】C

解：①当x=2时，=4,y2=4+b,无法判断4与4+b的大小，故①错误.

••.两个函数图象的交点坐标为(-1,-5)和(3,3),

观察图象可知，使M>丫2的x的取值范围是一1<x<3,故②正确,

③如图2中，b=-5时，图象如图所示，

M=3时，=3,

・•・—x2+4x=3,

解得x=1或3,

%=3时，3=2%-5,解得％=4,也符合条件，

故③错误，

④当匕=1时，由，消去y得到，X2-2%4-1=0,

v4=0,

・•・此时直线y=2%+1与抛物线只有一个交点，

・・.b>l时，直线y=2%+b与抛物线没有交点，

・•.M随％的增大而增大，故④正确.

故选：C.

①求出y?，求出血的值即可.

②求出直线与抛物线的交点坐标，利用图象法解决问题即可.

③画出图象，推出M=3时，%=3,丫2=3转化为方程求出％的值即可.

V——2x+1

{:二_/+4x'消去'得到，X2-2x4-1=0,因为4=0,推出此时

直线y=2x+l与抛物线只有一个交点，推出b>l时，直线y=2x+b与抛物线没有交

点，由此即可判断.

本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转

化的思想思考问题，属于中考常考题型.

11.【答案】IX10-9

解：十亿分之一=0,000000001=1x10-9.

故答案为：1xIO..

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绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为ax10-%与较大数的科

学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字

前面的0的个数所决定.

本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为axIO",其中1<|a|<10,n为

由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

12.【答案】%>3

解：根据题意得％-320,

解得欠>3.

故答案为：x>3.

根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解.

本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数.

13.【答案】6

解：•••数据：1,3,a,10的平均数是5,

l+3+a+lO广

・•・-----------=5,

4

解得a-6,

故答案为：6.

根据算术平均数的定义列出关于a的方程，解之即可得出答案.

本题主要考查算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个

数.它是反映数据集中趋势的一项指标.

14.【答案】k>-l

解：•.•二次函数y=-x2+2x+k的图象与工轴有两个交点，

...4=4-4x(-l)xfc>0,

解得：k>—1,

故答案为：k>—1.

根据二次函数y=--+2久+k的图象与x轴有两个交点，可知判别式A>0,列出不等

式并解之即可求出k的取值范围.

本题考查判别式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关

键.

15.【答案】\nb

解：取AC的中点0,连接0M,

r点M是4D的中点，

•••0M是△4CC的中位线，

0M=-2CD=-2b,

•••△CDE绕点C旋转180。，

二点M的运动路径是以。为圆心，为半径的半圆，

•・•点M的运动轨迹的长为吧空="b，

1802

故答案为：27rb•

取4c的中点。，连接OM,得OM是△4CC的中位线，则OM=：CD=：b,可知点M的运

动路径是以。为圆心，为半径的半圆，从而得出答案.

本题主要考查了旋转的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，点的运动轨

迹等知识，构造中位线是解题的关键.

16.【答案】15V3

解：作CHL4B于点H,

在。4BCD中，4B=60。，BC=12,

•••CH=6A/3.

•••四边形ECGF是平行四边形，

EF//CG,

•••AEODfGOC,

.EO_DO_ED

•・GO~CO~GC9

DF=-DE,

2

第14页，共25页

DE2

*'~EF~3"

ED2

二标=7

:.—EO=2

GO3

・••当E。取得最小值时，EG即可取得最小值，

当EO1CD时，E。取得最小值，

CH=E0,

••EO=6v5，

•••GO=9A/3.

EG的最小值是6%+96=15V5，

故答案为：15遍.

根据题意和平行四边形的性质，可以得到ED和EF的比值，再根据三角形相似和最短距

离，即可得到EG的最小值，本题得以解决.

本题考查平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，

利用数形结合的思想解答.

17.【答案】解：原式="孚(a+l)(a-l)2-a

(a+2)(a-2)a+2

(a+l)(a-2)_2-a

a+2a+2

a2-a-22-a

a+2Q+2

a2-4

a+2

(a+2)(a—2)

a+2

=a—2,

当a=2—b时，

原式=2-V3-2=-V3.

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可.

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

18.【答案】证明：（I）、•四边形ABCC是矩形,

：.AD//BC,AO=CO,

・•.Z.AEO=乙CFO,

在△40£WCOF中，

2AE。=乙CFO

Z.AOE=/.COF,

AO=CO

•••△AOEwZkCOF(>MS)；

(2)当a=90。时，四边形4FCE为菱形，

理由：-LAOE=△COF,

OE=OF,

X---AO=CO,

•••四边形4FCE为平行四边形，

又•；AAOE=90°,

•••四边形力FCE为菱形.

【解析】⑴由“44S”可证△40EWAC0F；

(2)由全等三角形的性质可得OE=OF,可证四边形/FCE为平行四边形，由菱形的判定

可得结论.

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，矩形的性质等知识,

证明△AOE=△COF是解题的关键.

19.【答案】20040

解：(1)由题意知m=45+22.5%=200,

•••fa%=80200X100%=40%,即b=40；

故答案为:200、40；

(2)a=200x10%=20,补全图形如下：

百爱四种歌Illi的学生人坡条形统计

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（3）估计喜爱歌曲C,娥和我的祖国》的学生有2000X40%=800（人）;

（4）列表如下：

文文班

文（文，文）（班，文）

文（文,文）（班，文）

班（文，班）（文，班）

由表知，共有6种等可能结果，其中选中班长的有4种结果，

所以选中班长的概率为：=|.

o3

（1）由8歌曲人数及其所占百分比可得总人数m,用B歌曲人数除以总人数可得b的值；

（2）用总人数乘以4歌曲对应百分比求出其人数可得a的值；

（3）用总人数乘以样本中C对应百分比可得答案；

（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得

答案.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的

结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注

意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

20.【答案】解：延长EC交直线4B于M,则过C作尸fN,

如图所示:

在RMCDN中，vtanzCDF=

.♦.设CN=5a,则ND=12a,

CD=J(5a)2+(12a)2=13a=2.6,

解得Q=0.2,

CN=1米，ND=2.4米，

•••EM=EC+ND+BN=4+2.4+11.6=18(米)，

答：点E到建筑物48的水平距离是18米；

(2)在Rt△4EM中，

vAM=EM-tan370=18x0.75»13.5(米)，

•••AB=AM+BM=13.5+1»15(米).

答：建筑物4B的高度约为15米.

【解析】⑴延长EC交直线48于M,则过C作CN_LBF于N,则四边形BMCN

是矩形，首先根据CD的坡度求出CN和ND,进而可得EM的值；

(2)在RtAAEM中，根据37。的正切可得4M,再根据4B=4M+BM可得答案.

本题考查的是矩形的性质、解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线,

构造出直角三角形是解答此题的关键.

21.【答案】解：⑴•••点4(3,a),点8(14—2a,2)在反比例函数上，

3xa=(14—2d)x2,

解得：a=4,

则m=3x4=12,

故反比例函数的表达式为：y=£；

(2)%-a=4,故点4、B的坐标分别为(3,4)、(6,2),

设直线4B的表达式为：y=kx+b,则乃=普兽，解得卜=♦，

故一次函数的表达式为：y=-|x+6；

当x=0时，y=6,故点C(0,6),故OC=6,

而点。为点C关于原点。的对称点，则CD=2OC=12,

△力CD的面积=ixCO-%4=|x12x3=18.

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标的特征，

运用待定系数法确定函数关系式，三角形的面积公式.

(1)点4(3,a),点B(14-2a,2)在反比例函数上，则3xa=(14-2a)x2,即可求解；

(2)a=4,故点4、8的坐标分别为(3,4)、(6,2),求出一次函数的表达式为：、=一|%+6,

则点C(0,6),故OC=6,进而利用三角形面积公式求解.

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22.【答案】(1)证明：连接4E,

Z.ABE=90°,

••・赫是。。的直径，/.EAB+/.AEB=90°,

又：乙DAB=Z.C=/.AEB,

^DAB+/.EAB=90°,

即4E1DF,

•••4E是。。的直径，

・・・。尸是。。的切线；

(2)解：连接。B、0C,

-AE//DC,

:.AB=CE，

又・・,点C是曲的中点，

:.AB=BC=CE，

1

・・・/.AOB=乙BOC=乙COE=-x180°=60°,

3

•・,0A=OBf

:.Z-OAB—Z.OBA—60°,

・•・AE是。。的直径，

/.ABE=90°,

在RM4BE中，BE=273.4BAE=60°,

:.0A=0E=2,

俞的长为寄=Y-

【解析】（1）根据圆周角定理可得出4E_LDF,进而由切线的判断方法可得结论；

（2）根据平行弦所夹的弧相等以及圆心角与圆周角的关系可得乙40B=乙BOC=

Z.COE=60°,再根据直角三角形的边角关系求出直径4E,得出半径，利用弧长的计算

方法进行计算即可.

本题考查切线的判断和性质，弧长的计算方法以及圆周角与圆心角的关系，掌握切线的

判断方法，弧长的计算公式以及圆周角与圆心角的关系是解决问题的前提.

23.【答案】解：（1）由题意得：10WXW20,

当10<x<12时，y=320：

当12<%工20时，设y与％的函数关系式为丫=kr+6,

则|12k+b=320

人」118々+力=260

解得：仁言,

3=440

・•・y=-10%4-440,

•••y与之间*的函数关系式为y=｛舞詈蓝吃xw20)；

当x=14时，y=-10x14+440=300,

.••当售价为14元时，每天的销量是300个；

(2)当10<%<12时，w=320x(x-10)=320%-320,

二当x=12时，w最大，最大值为640；

当12<xS20时，w=(-10x+440)(x-10)=-10%2+540%-4400,

-10<0,对称轴为X=.=27,

.♦.当％=20时，w最大,最大值为一10x202+540x20-4400=2400,

•••2400>640,

二当销售单价为20元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是2400元.

【解析】(1)根据图象，用待定系数法求分段函数解析式即可；

(2)根据利润=(单价-进价)X销售量分两种情况列出函数解析式，再根据函数的性质求

最值.

本题考查二次函数的应用以及用待定系数法求分段函数的解析式，根据等量关系列出关

系式是解题关键.

24.【答案】⑴解：•••四边形4BCD是菱形,

：.AB=AD,AD]IBC,Z.ABC=/.ADC=60°,^ABD=/.ADB=Z.CDB=30°,

4BAD+/.ABC=180°,

•••乙BAD=120°,

•••将线段AE绕点4逆时针旋转120。得到线段ZF,

AE=AF,Z.EAF=120°,

•••/.BAD=/.EAF,

•••Z.BAE=/-DAF,

5L-：AB=AD,AE=AF,

•••△BAE^^DAF(SAS),

•••/.ADF=AABE=30°,

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:.乙CDF=Z-ADF+/LADB+乙BDC=90°；

(2)证明：取DE的中点N,连接FN,

•・•△BAEmADAF,

:.DF=BE,

■■■BE=-BD,

3

・•・DE=2DF,

•・•点N是E。的中点，

・・・EN=DN=^DE,

:.DN=DF,

又・・•乙FDB=Z.ADB+Z-ADF=60°,

・•.△FDN是等边三角形，

・•・DF=DN=NE,

・•・乙EFD=90°,

・•・EF“CD,

v/_EAF=120°,AE=AF9

・•・Z.AEF=Z.AFE=30°,

•・•Z.AED=乙ABD+4BAE=60°,

^Z.BAE=30°=^DAFf

:.Z.DAF=Z.ADB=30°,

・•・AF//BE,

又・・•EFIICD11AB,

・•・四边形ABE尸是平行四边形，

・・・AB=EF,

EF=CD,

・•・四边形ECDF是平行四边形，

v乙CDF=90°,

二平行四边形CDEF是矩形;

⑶①解：MEFD是等边三角形，

・•・乙FED=60°,

・・・Z.AEF=30°,

・•・^AED=90°,

X-AB=AD,

・•・BE=DE,

当点E运动到BD的中点时，AEF。是等边三角形；

②解：当BD=|DF时，四边形4EGF是菱形，理由如下:

如图：当四边形4EGF是菱形时，

则NF=Z.AEG=60。，AE=EG,

由(l)ZkB4E三ADa尸得，Z.AEB=ZF=60°,

•••^BAE=90°,/.GED=60°,

•••乙BDF=60°,

・•.△DEG是等边三角形，

DG—DE=EG,

13

・・・BD=DF+-DF=-DF

229

•••当BO=|。/邛寸，四边形AEG尸是菱形.

【解析】(1)利用%S证明△BAE三△IMF,得乙4D/WBE,从而解决问题；

(2)由(1)知4BOF=60。，得NCDF=90。，再证4EFD=90。，得EF〃CD,通过证明四

边形4BE尸是平行四边形，可得4B=EF=CD,从而证明结论；

(3)①由等边三角形的性质可得NFED=60°,可求乙4ED=90°,即可求解；

②当四边形4EGF是菱形时，有NF=41EG=60。，AE=EG,可得△DEG是等边三角

形，得DG=DE=EG,从而得出答案.

本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，

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矩形的判定等知识，运用前面探索的结论解决新问题是解题的关键.

・・•匕AMH+Z.MAH=90°,

・•・乙NMG=4M