2025高考数学专项复习：指数对数新文化新情景试题（含答案）

2025高考数学专项复习指数对数新文化新情景试题精选含答案

指数对数新文化新情景试题艇］

①荀子《劝学》中说:“不积度步,无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程,

每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把（1+1%产5看作是每天的“进步”率都是1%,一年后是

1.01365^37.7834；而把（1-1%）365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365^0.0255；这样,一年后的

1ni365

“进步值”是“退步值”的芈落七1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（）天.

0.99365

（参考数据：IglOl七2.0043,坨99七1.9956,lg2七0.3010）

A.9B.15C.25D.35

面目区19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约

半个世纪后，物理学家本・福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的

频数约为总数的三成，并提出本・福特定律，即在大量b进制随机数据中，以九开头的数出现的概率为星（九）

=1。取色士上,如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某

n

些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若^/。（九）=甯以一吁3eN*,k<20）,则k的值为

M1+1唯5

A.2B.3C.4D.5

题目回2023年1月底，人工智能研究公司Ope为4/发布的名为的人工智能聊天程序进入中国，

迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神

G

经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为乙=〃。%其中乙表示每一轮优化时使

用的学习率，人表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G。表示衰减速度.已知某个指

数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8,衰减速度为12,且当训练迭代轮数为12时,学习率衰减为0.5.

则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg2-0.3010）（）

A.35B.36C.37D.38

［题目⑷将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立

适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为/Q）=acosh红，其中a为悬链线系数，coshc称为双

a

曲余弦函数，其函数表达式为coshc=H0，相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinhc=^j二.则

下列错误的是（）

A.y=sinhTCOshrc是奇函数B.cosh（6+"）=cosh力coshg—sinh力sinhg

C.cosh?/—sinh?力=1D.sinh（re—y）—sinh宏coshy—cosh力sinhg

题目回18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当n很大时，1+J+…+工=lnn+7（常

/OTl/

数7=0.557…）.利用以上公式,可以估计击■+出+一+看的值为（）

A.ln30000B.In3C.4-ln3D.4+ln3

［题目回“不积蹉步，无以至千里:不积小流，无以成江海每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离明年

高考还有242天，我们可以把（1+1%产2看作是每天的“进步”率都是1%,高考时是1.0俨42%10.8925；而把

(1-1%严看作是每天“退步”率都是1%.高考时是0.99242七0.0896.若“进步”的值是“退步”的值的100

倍，大约经过()天.

(参考数据：lgl01-2.0043,lg99-1.9956)

A.200天B.210天C.220天D.230天

题目⑶对数对大数据运算具有独特优势，法国著名天文学家拉普拉斯曾说:“对数，可以缩短计算时间使天

文学家的寿命翻倍，所有天文学家都应该感谢对数的发现”.现有一大数据32。°。,用科学记数法可表示为

7nxi(T,其中m,G(1,10),九GN*,已知0.4771<lg3<0.4772，则九二()

A.953B.954C.955D.956

题目回费马数列{冗}是以数学家皮埃尔・德・费马(P证wedeFerma，1601〜1665年)命名的数列，其中用=

22"+1.例如用=22>1=22+1=5.因为名=率=3.4.所以与的整数部分是1位数；因为李=答仁

白

A51r217

15.12，所以春的整数部分是2位数；…；则去的整数部分位数最接近于()(lg2“0.3010)

A.240B.600C.1200D.2400

题目回高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列

为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设立eR,用[0表示不超过x的最大整数，则夕=[z]

称为高斯函数，例如：[一3.6]=—4,[1.9]=1,已知函数/Q)="二一J,则函数y=[/(0)]值域是

()

A.{0,1}B.{1}C.{-1,0,1}D.{-1,0}

,题目回音乐是由不同频率的声音组成的.若音10。)的音阶频率为了,则简谱中七个音l(d。)，2(re),3

碗)，4(%),5(s。)，6(Za),7®)组成的音阶频率分别是/,普/,*黑力其中后一个

o04oz10Izo

音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶.上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为叫

6(a>£),a称为全音，B称为半音，则lg6Z5+lg/52-lg2=.

题目□□高斯是著名的数学家,近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函

数”:设CeR,用[0表示不超过2的最大整数，则夕=㈤称为高斯函数，也称取整函数，例如：[-3.7]=

-4,[2.3]=2.已知/(力)=+一[，则函数g=[/(6)]的值域为

2+1----------

题目包德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下:第一次操作，将边

长为1的正方形分成9个边长为之的小正方形，保留靠角的4个,删除其余5个；第二次操作，将第一次剩

余的每个小正方形继续9等分,并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删除；以此方法继续下去，经

过几次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过之，则至少需要操作的次数为

220

.(Ig2=0.3010,lg3=0.4771)

指数对数新文化新情景试题艇］

①荀子《劝学》中说:“不积腔步,无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，

每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把（1+1%产5看作是每天的“进步”率都是1%,一年后是

366

1.01^37.7834；而把（1-1%/5看作是每天“退步”率都是1%,一年后是0.99365仁00255；这样，一年后的

“进步值”是“退步值”的芈方比1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（）天.

0.99365

（参考数据：IglOb2.0043,lg99与1.9956,lg2=0.3010）

A.9B.15C.25D.35

【答案】。

【分析】设经过多天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则（5瞿y=2,然后利用对数的运算和题目所给的数

据求出力的值即可.

【详解】设经过2天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则（5暮『=2,

\U.99，

.c_lg2_lg2_lg2___________0,3010_0.3010_„.

S

,•'一°w_le.W.—i„ioi—IglOl-lg99〜2.0043-1.9956—0.0087~'

唱0.99唱99

故选：D

题目团19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约

半个世纪后，物理学家本・福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的

频数约为总数的三成，并提出本・福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为回（九）

=1。取人士上,如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某

n

些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若甥0标）=1。学一吁23（卜eN,拈420）,则k的值为

勺1+bg25

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.

【详解】依题意，得

2Q

£^o（n）=PM+Pw（k+1）+•••+&（20）=lg^-++-+lg/=1g年，

-

乂1+log25log210近7,故「3.

故选：B.

题目区2023年1月底，人工智能研究公司Oper闻•发布的名为“C/zatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，

迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神

G

经网络为出发点的，在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=乙0。°。,其中乙表示每一轮优化时使

用的学习率，〃表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G。表示衰减速度.已知某个指

数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8,衰减速度为12,且当训练迭代轮数为12时,学习率衰减为0.5.

则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：炮270.3010）（）

A.35B.36C.37D.38

【答案】B

【分析】由已知求得衰减系数。，然后根据已知模型列不等式求解.

【详解】由己知0.8X0212=0.5,0=9K

O

0.8x(京%0.2,既隹上卷喧&吟34%=蓬=35.4,

因此G至少为36,

故选：B.

题目将一条均匀柔软的链条两端固定,在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立

适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为/(c)=acosh2,其中a为悬链线系数，coshr称为双

e'+e"

曲余弦函数，其函数表达式为coshrc「相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinh。丁则

下列错误的是()

A.g=sinh力cosh力是奇函数B.cosh(T+y)—cosh/coshg—sinh力sinhg

C.cosh2力—sinh?力=1D.sinh(T—y)—sinh/coshg—cosh力sinhg

【答案】B

【分析】根据奇偶性的定义以及指数的运算性质逐-判断即可.

【详解】由cosh/=e-^e—,sinh6=——,

2x——2re-2x2x

e—e

对于4,g=/(T)=sinh/cosh/=-------,f(—x)=-=一/(乃,

4

且定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，故A正确.

x+y.-(x+y)

对于8,cosh(a;+g)=-----------,

ii.i.ie"+exe"+e『e—e-"

cosh力coshg—smh力smhg=------

2

_ex+y^ex~y+e~x+y+e~x~y-(e+y-e~y-e—+L

，故B不正确;

42

2

对于C,cosh^—sinlA=(亘苧二『_(直/=1,故。正确,

六4

x—y—(x—y)

对于O,sinh(c—y)=-1----,

.,..工,e'-e-'e"+e+e"—e-e'+b

sinh力coshg—sinhgcosh力=------

222

Q~X~^e1+uQ~X

，故。正确.

~42

故选：B.

题目回18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当n很大时，1+J+!+…+工=111n+7(常

/OTl/

数y=0.557…).利用以上公式，可以估计得斤+而焉+…+焉后的值为()

XUUU.LJLUUUZOUUUU

A.ln30000B.In3C.4-ln3D.4+ln3

【答案】B

【分析】根据题意得到方奈+而焉+…+不焉=ln30000+Z-(InlOOOO+Z),结合对数的运算公式，

-LUUU1._LUUUZOUUUU•••

即可求解.

1

【详解】由题意，可得F,—I-11H1—,H-------I-(1HF•••H-------

1000110002------30000v230000>1210000

=ln30000+?-(InlOOOO+7)=ln30000-InlOOOO=In濡黑=ln3.

故选：B.

题目回“不积陛步，无以至千里:不积小流，无以成江海每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离明年

高考还有242天，我们可以把(1+1%)242看作是每天的“进步”率都是1%,高考时是1.0俨42比10.8925；而把

(1—1%产2看作是每天“退步”率都是1%.高考时是0.9924240.0896.若“进步”的值是“退步”的值的100

倍，大约经过()天.

(参考数据：lgl01七2.0043,lg99-1.9956)

A.200天B.210天C.220天D.230天

【答案】。

【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确答案.

【详解】依题意上”>100,

0.99"

所以端^>IglOO,lgl.or-lgo.99->2,

n(lgl.01-lg0.99)>2,九(炮器一炮哥)>2,

n(lgl01-lg99)>2,n(2.0043-1.9956))2,

2

0.0087n>2,n>=京皿七230,

O.OUo?

所以大约经过230天.

故选：。

题目⑦对数对大数据运算具有独特优势，法国著名天文学家拉普拉斯曾说:“对数，可以缩短计算时间使天

文学家的寿命翻倍,所有天文学家都应该感谢对数的发现”.现有一大数据32°0°,用科学记数法可表示为

mX10",其中(l,10),rzeN*,已知0.4771<lg3Vo.4772,则九=()

A.953B.954C.955D.956

【答案】B

【分析】根据32000=7nxi(T,两边取对数，解出关于"的等式,再根据0.4771<lg3<0.4772,mC(1,10),求

出n的范围，结合nCN*即可选出结果.

【详解】解：由题知32ooo=mx10",两边取以10为底的对数有：

lg32000=lg(mx10"),即20001g3=n+Igm,故20001g3—Igm=n,

因为0.4771<lg3<0.4772,所以20001g3e(954.2,954.4),

因为?n€(1,10),neN*,所以IgmG(0,1),即—IgmG(—1,0),

所以20001g3-Igme(953.2,954.4)，即nC(953.2,954.4),

又因为riCN*,所以n=954.

故选：B

题目叵费马数列｛尺｝是以数学家皮埃尔・德・费马｛PierredeFermat,1601-1665年)命名的数列，其中冗=

22"+1,例如此=2"+1=22+1=5.因为g=4=3.4.所以善的整数部分是1位数；因为李=答也

A5A•为•17•

15.12，所以春的整数部分是2位数；…；则去的整数部分位数最接近于()(lg2〜0.3010)

*2A3

A.240B.600C.1200D.2400

【答案】。

(分析］先表示出回3,凡!，作近似处理得冬右三，再取以10为底的对数化简即可求解

■132

213

【详解】由于%=2+1,Fu=2#+1与1相比都非常大，所以善仁(，

A32

所以1g去y1g与=2141g2-213lg2=2131g24213x0.3010=8912x0.3010=2682.512，故季4102682.512.

2

名32人13

又因为102682<102682-512<102683,10n的整数位数为n+1位,

所以誓的整数部分位数最接近2400位.

#13

故选：D

题目⑥高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列

为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设ceR,用［句表示不超过2的最大整数，则夕=［z］

称为高斯函数，例如：［―3.6］=—4,=已知函数—!，则函数值域是

()

A.{0,1}B.{1}C.{-1,0,1}D.{-1,0}

【答案】。

【分析】利用分离常数法可得外叼=一士=［-,求得/(c)的值域,由［句表示不超过。

1+e221+e

的最大整数,即可求得函数U=［/(/)］的值域.

【详解】•."(/)=咛1—1=1一—，由于1+1>1

1+ez/14-e

.1右11V1

.・./(乃的值域为：(_；,；)

根据［句表示不超过2的最大整数

函数夕=［/(，)］的值域是{-1,0}.

故选：D

题目用音乐是由不同频率的声音组成的.若音l(d。)的音阶频率为了,则简谱中七个音l(do),2(re),3

(9)，4(%),5(s。)，6(h),7(⑼组成的音阶频率分别是八If,鲁力引,磊f,黑/，其中后一个

o04o2±O12o

音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶.上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为a,

0(a>6),a称为全音，P称为半音，则lg«5+lg/52-lg2=.

【答案】0

【分析】根据条件求出a和6,再求炮。5+炮/_炮2的值.

【详解】相邻两个音的频率比分别为言,1■，鬻，卷，卷,与，

oo24Jooo

P1_9n_256

由n寇思，&=《邛=56,

o

Ig«5+lg^2-lg2=lg[(—)5x2]=Igl=0.

故答案为：0.

趣目江高斯是著名的数学家,近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函

数”:设立CR,用［句表示不超过X的最大整数，则夕=㈤称为高斯函数，也称取整函数,例如：［—3.7］=

QX+1_-1

-4,［2.3］=2.已知/(2)=J二则函数g=［/(/)］的值域为

2+1------

【答案】｛—1,0,1｝

【分析】先把函数/(力)=/「分离常数，然后求分离常数后的取值范围，最后根据取值范围求解U=

2+1

L/W

251一1_2乂2”+2—3_2(2'+1)—33

【详解「・・/(力)=------------------------------