2021年浙江省杭州市中考二轮复习专题复习3-三角形和四边形（解析版）

2021年浙江省杭州市中考二轮复习专题复习3一一三角形和四边形

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的,

不选、多选'错选均不给分）

1.（本题3分）（2020•浙江杭州市•）如图，已知在nABC中，AB=AC,ZABC='70o,

点P是ABAC的平分线AP和ZCBD的平分线BP的交点，射线CP交A8的延长线

于点。，则NO的度数为（）

A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°

【答案】A

【分析】

由根据等腰三角形的性质推出ABC=ACB=70°,由角平分线的定义推出

4PBACB=35°,最后用三角形外角的性质即可得出结论.

【详解】

解：如图，/尸与8c相交于点O,

口AB=4C,

□□4BC=」4cB=70。,

□□。8=40。，

□点尸是匚力3C内角和外角角平分线的交点，

4PB=LACB=35°f

2

QAB=ACf4尸是「山力C的平分线，

UAP3BC,OB=OC,

CP=BP,

□□4尸。=二》尸5=35。，

□□BPC=70°,

QBP是MBC的外角的平分线，

□080=55。，

2

□L1Z>L8PC-。8。=70。-55。=15。.

故选：A.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,

属于中考常考题型.

2.体题3分）（2020•浙江杭州市•九年级期末）在口ABC中，AB=AC=10,

NA5C=72。，NA8C的角平分线交AC于点。，则8的长为（）

A.5B.56-5C.15-5A/5D.5非-1

【答案】C

【分析】

证明ABCBCD,得到丝=生，设CD=x,表示出BC,代入得到方程，解之即

BCCD

可.

【详解】

解：如图，UAB=AC,UABC=72°,

[;C=72°,

试卷第2页，总50页

□□A=180°-2x72°=36°,

□BD平分DABC,

□UABD=LCBD=36°,

□AD=BD,匚BDC=72。，

□BC=BD,

在ABC和BCD中,

□A=DCBD,aABC=CC,

□□ABCUDBCD,

ABBC

..-------,

BCCD

设CD=x,贝I」BD=AD=BC=10-x,

1010-%

-----=------,

10—xx

解得：x=15+5石（舍）或15-5有，

故选C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据已

知条件证明出匚ABCBCD.

3.（本题3分）（2019•浙江杭州市•九年级期中）如图，正方形A8CD中，AB=6,点

E在边C£>上，且8=3£>E.将口49£沿AE对折至八47国，延长EF交边BC于点

G,连接AG、CF.则下列结论：□NGuCG；□AG//CF；□5£CC=SAFE；□

ZAGS+ZA£D=145°,错误的是()

A.□B.□C.□D.□

【答案】D

【分析】

根据翻折变换的性质和正方形的性质可证RtUABGLRtAFG,在直角DECG中，根据

勾股定理可证BG=GC；通过证明AGB=AGF=GFC=nGCF,由平行线的判定可得

AGDCF；分别求出SEGC与sAFE的面积比较即可；求得匚GAF=45。，

□AGB+口AED=180°-DGAF=135°.

【详解】

解：四边形ABCD为正方形，将口4)£沿人£对折至△AEE，

□AB=AD=AF=CD=6,JAFG=UAFE=ID=90°,

AFG=90°,

□AG=AG,□B=nAFG=90°,

□RtABGHRtAFG(HL),

□BG=FG,

CD=3DE,

EF=DE——CD=2,EC=4,设BG=FG=x,则CG=6-x,

3

在直角ECG中，根据勾股定理，得(6—X)2+42=(X+2)2,

解得x=3.

试卷第4页，总50页

BG=3=6-3=CG,］正确;

□CG=BG,BG=GF,

□CG=GF,

□□FGC是等腰三角形，□GFC=DGCF.

XZRtCABGORtlZAFG；

□liAGB=AGF,AGB+AGF=2AGB=180°-FGC=HGFC+[GCF=2GFC=2GCF,

□□AGB=AGF=DGFC=QGCF,

□AGCF,正确；

S&GCE=；GC•CE=gx3x4=6,；AF•EF=gx6x2=6,

s4foe=SMFE，.正确；

□UBAG=nFAG,DDAE=JFAE,

又□□BAD=90。，

□□GAE=45°,

□□AGB+DAED=180°-GAE=135°,错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平

行线的判定，三角形的面积计算等知识.此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注

意数形结合思想与方程思想的应用.

4.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级）已知，在口ABC中，”是BC边上一点，

NA8C=30°,NAOC=45°.若。是BC边的中点，则Z4C8的度数为（）

A

A.950B.100°C.105°D.110°

【答案】C

【分析】

过A作AEBC于E,在AE上取点F,连接CF,使得UCFE=30。，设DE=x,即可得

出CE=DE-CD=（2-G）X,进而得至AE=（2+G）CE,再由艮据EF=^CE,CF=2CE,

得至!JAF=AE-EF=2CE=CF,即可得到ACE的度数，从而得到结果.

【详解】

解：如图所示，过A作AEBC于E,在AE上取点F,连接CF,使得，CFE=30°,

设DE=x,

□OABE=30°,EIADE=45。，

AE=x,BE=>/Jx,BD=CD=（6-1）X,

，CE=X-（V5-1卜=（2-6）X,

—=2+V3,即AE=（2+6）CE,

CJE

又「RtCEF中，EF=V3CE,CF=2CE,

□AF=AE-EF=2CE=CF,

□LFAC=lFCA」CFE=15°,

2

nnACE=：ACF4-nECF=15o4-60°=75°,

□□ACB=105°,

故选C.

试卷第6页，总50页

A

【点睛】

本题主要考查了含30。角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，在直角三角

形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半.

5.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵

爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG,BD相交于点O,BD与HC相

交于点P.若GO=GP,下列结论：UNGOP=NBCP,BC=BP,L

BG:PG=4i+1，UDP=PO.正确的是（）

A.□□□B.□□□C.□□□D.□□□

【答案】D

【分析】

由正方形的性质证明NBOG+NBCG=180°,结合N5OG+NGQP=180。，从而可

判断：由GO=GP,可得NGOP=NGPO,从而可得NGPO=NBCR可判断：

没BG=a,CG=b,则=CG=BE=6,再证明口。“PsQBGP,可得

J4P序

—,求解"尸=幺，再证明PG="利用“G="P+PG,列方程

BGPGa

A2

a—b=b+£-,解关于。的方程并检验即可判断；证明口。印》口。印）,求解

a

DP=-y/a2+b2,再证明口5cpsgGPO,求解=。=6+吩,由。工4

acr+b2

可判断口，从而可得答案.

【详解】

解：：正方形ABCD与正方形EFGH.

ZDBC=45°,ZEGF=45°,

ZBGC=90°,

ZEGC=45°+90°=135°,

4BOG+NBCP=360°-ZOBC-ZOGC=360°-45°-l35°=180°,

•rNBOG+ZGOP=180°,

•••/GOP=/BCP,故符合题意；

•••GO=GP，

ZGOP^ZGPO,

ZGPO=NBCP,

BC=BP,故符合题意；

,/正方形FGHE,

EH//FG,

:[]DHPsQBGP,

DH_HP

"~BG~~PG'

设BG=a,CG=b,则DH=CG=BF=b,

试卷第8页，总50页

BC=BP,BG上PC,

PG=CG=b,

.bHP

''ab

a

♦.・FG=HG=HP+PG=a—b,

入入b2

：,a-b=b-\-----,

a

/.a1-2ba-b2=0,

“=2b土产=(1±到,

经检验：a=(l—及W不合题意，舍去，

.,.<2=(1+a)8，

.BG=+=]।夜故[符合题意;

"PGbb

•：BC=BP,BGLCP,

ZCBG=ZPBG,

DE//BG,

ZHDP=ZPBG,

ZCBG=ZDCH,

NHDP=NDCH,

NDHP=NCHD,

：nDHP<^QCHD,

DHDP

"~CH~~CD'

DH=b,CH=BG=a,

CD=Va2+b2,

.b_DP

,,丁歪常，

DP=—^Ja2+b2,

a

ZCBP=45°=ZPGO,BC=BP,GP=GO,

,BCBP

一而一而’

.DBCP^GPO,

BCCP

•而一而‘

•/BC=CD=yjcr+b1,PC=2CG=2b,

yja2+b2_2b

-b-~~P0

♦：a丰b.

:.DP*PO,故不符合题意;

试卷第10页，总50页

故选：D

【点睛】

本题考查的是四边形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方

形的性质，二次根式的运算，一元二次方程的解法，三角形相似的判定与性质，掌握以

上知识是解题的关键.

6.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级）如图，在凡QABC中，AC=3,BC=4,

。为斜边A3上一动点，DELBC,DFLAC,垂足分别为E、F.当线段EF最小

时，cosNEFD=)

433

A.—B.-C.一D,也

5544

【答案】B

【分析】

连接CD,判断出四边形CEDF是矩形，再根据矩形的对角线相等可得EF=CD,然后根

据垂线段最短可得CDAB时线段EF的长最小，利用勾股定理求出AB,根据矩形的

性质可得EFD=ECD,再根据同角的余角相等求出ECD=A,从而得到EFD=A,

然后根据锐角三角函数的定义列式计算即可得解.

【详解】

解：如图，连接CD,

□DE匚BC,DFDAC,DACB^O0,

口四边形CEDF是矩形，

□EF=CD,

由垂线段最短可得CDJAB时线段EF的长最小，

□AC=3,BC=4,

□AB=7AC2+BC2=5，

□四边形CEDF是矩形，

□匚EFD=Z1ECD,

□匚ECD十一ACD=90。，

□A+ACD=90°,

□rECD=A,

□匚EFD=A,

AC3

□cosEFD=cosA=--=-,

AB5

故选B.

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，锐角三角函数的定义，熟记性质与

判定方法并确定出EF最短时的位置是解题的关键.

7.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级）正方形ABC。、正方形和正方形PKRF

的位置如图所示，点G在线段0K上，正方形BEFG的边长为2,则DOEK的面积为

()

试卷第12页，总50页

D

A.4B.3C.2D.0

【答案】A

【分析】

连DB,GE,FK,则DBGEFK,再根据正方形BEFG的边长为2,可求*SDGE=SGEB,

SGKE=SGFE，再由SDEK=S”方形GBEF,即可求出答案.

【详解】

解：连接DB,GE,FK,则DBDGEDFK,

在梯形GDBE中，SDGE=SGEB（同底等高的两三角形面积相等）,

同理SGKE=SGFE.

□SDEK=SDGE+SGKE

=SGEB+SGEF

=SF方形GBEF

=2x2

=4.

故选：A.

【点睛】

此题主要考查正方形的性质，三角形和正方形面积公式以及梯形的性质，结合图形巧妙

转化解决问题.

8.（本题3分）（2021•杭州育才中学九年级二模）如图，□46c中，AB=AC,D为BC

中点'在5"的延长线上取一点E,使得E/AEG皿与“C交于点尸'则孑的值为

()

【答案】B

【分析】

过点。作。GU4C,交E8于点G,连接4),则G为相的中点，□瓦4C=DDGE,得

出。G是U/8C的中位线，由三角形中位线定理得出4C=2OG,由等腰三角形和三角形

的外角性质证出I/CE=E1EOG,由44s证明i/CEGED,得出/E=DG,由等腰三角

形得性质和直角三角形斜边上的中线性质得出OG=g/8=/G=BG,得出XE=/1G,三角

Ap

形中位线定理，得DG=24F,因此力C=44凡即可得出一.

CF

【详解】

过点。作0GLMc交仍于点G,连接4。，

□BD=DC,

口BG=AG,

DG是力8c的中位线，

口4C=2DG,

DDGdAC.

DDEAC=lDGEf

EAEC,

nUEDC=ECD,

试卷第14页，总50页

AB=AC,

UUABC=JACBf

U\JEDC=ABC+UDEG,ECD=ACB+ECA.□□Z)EG=_£CJ,

□□4CE口匚G£D,

口AE=DG,

AB-AC.BD=CD,

□□4QB=90。,

DG——AB=AG=BG,

2

UAE=AG,

□QGEU凡

山IF是EDG的中位线，

□QG=2ZE,

QAC=4AFf

UCF=3AF1

AF1

---=—.

CF3

故选从

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的中位线定理，三角形的全

等，直角三角形斜边中线的性质，添加平行线，构造三角形中位线定理是解题的关键.

9.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级）如图，在菱形ABCD中，AB=BD,同E,F

分别是线段AB、AO上的动点（不与端点重合），且AE=OF,3/与。石相交于点

G.给出如下几个结论：

aQAED^DFB;匚4BGE大小会发生变化；DCG平分NBG£>；□

S四边形BCDG=gcG'其中正确的结论有（）

A.□□□B.□□□C.□□□D.□□□

【答案】C

【分析】

根据菱形的性质得到AB=AD,推出ABD为等边三角形，得到A=BDF=60°,根据

全等三角形的判定得到AEDDFB；过点C作CMGB于M,CNGD于N（如图

1）,根据全等三角形的性质得到CN=CM,根据角平分线的定义得到CG平分DBGD；

推出B、C、D、G四点共圆,根据圆周角定理得到BGC=LBDC=60°,DGC=DBC=60°,

求得BGC=[DGC=60°,过点C作CMGB于M,CNGD于N（如图1）,推出Sw

11\/3\/3

放也BCDG=S四边彬CMGN,于是得到S四如:CMGN=2SCMG=2><--x—XCGXCG=CG2.

2224

【详解】

解：□二ABCD为菱形，

□AB=AD,

□AB=BD,EILJABD为等边三角形,

□□A=BDF=60°,

又DAE=DF,AD=BD,

试卷第16页，总50页

□□AED口DFB(SAS),故本选项正确；

□□□BGE=aBDG+DDBF=nBDG+nGDF=60o,为定值,

故本选项错误；

□过点C作CM」GB于M,CNLJGD于N(如图1),

则-iCBMJTICDN(AAS),

□CN=CM,

□CG=CG,

□RtCNGRtLlCMG(HL),

□nDGC=BGC,

□CG平分BGD；故本选项正确；

□□BGE=aBDG+aDBF=aBDG+DGDF=60°=：BCD,

即BGD+BCD=180°,

□点B、C、D、G四点共圆，

□□BGC=rBDC=60°,DGC=DBC=60°,

□□BGC=LDGC=60°,

过点C作CM」GB于M,CN」GD于N(如图1),

则LJCBMLJLCDN(AAS),

□S四边彬BCDG=Spi｝边形CMGN,

S四边杉CMGN=2SCMG,

□□CGM=60°,

GM=—CG,CM=—CG,

22

S也IM；CMGN=2SCMG=2X—x—><CGx^^.CG=-^-CG2,故本选项正确,

2224

综上所述，正确的结论有」口匚,

故选C.

【点睛】

此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，解

题的关键是作出辅助线构造出全等三角形，学会把不规则图形的面积转化为两个全等三

角形的面积解决问题.

10.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级一模）如图，矩形ABCD中，AB=6,AD

=8,点E在边AD上，且AE：ED=1：3.动点P从点A出发，沿AB运动到点B停

止，过点E作EF2JPE交射线BC于点F,联结PF,设M是线段PF的中点，则点P

运动的整个过程中，线段DM长的最小值为（）

84

加

C372一

A.-5B.-5D.

13

【分析】

连接BE、EM、BM,作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于

点G、H,过D作DNEIGH于点N,连接EH,过H作HK；AD,与AD的延长线交于

点K,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知BM=EM,说明M点在BE

的垂直平分线GH上，当M与N点重合时DM=DN的值最小，根据矩形的性质，勾股

定理，等腰三角形的性质和相似三角形的性质求得DN便可.

【详解】

试卷第18页，总50页

连接BE、EM、BM,作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于

点G、H,过D作DNE1GH于点N,连接EH,过H作HK匚AD,与AD的延长线交于

点K,

UUABC=OPEF=90°,M是PF的中点，

OBM=EM,

□无论P点运动到什么位置时，M点始终在BE的垂直平分线上，

□M点在GH上，

当M与N点重合时，DM=DN的值最小，

设EH=x,

□GH是BE的垂直平分线，

□BH=EH=x,

□□EHG=DBHG,

□GDDBH,

□□EHG=DBHG=DG,

□EG=EH=x,

□DABH=UBAK=UK=90°,

□四边形ABHK为矩形，

□AK=BH=x,AB=KH=6,

□AD=8,点E在边AD上，且AE：ED=1：3,

□AE=2,ED=6,

□EK=AK-AE=x-2,

□EH2-EK2=KH2,

x2-(x-2)

解得，x=10,

□GE=x=10,

GD=EG+DE=x+6=10+6=16,

□OE匚DN,

□□GEOriDGDN,

EOGE105

----=----——=一,

DNGD168

8

DN=-EO,

5

BE=yjAB2+AE2=J36+4=2及，

□EO=JBE=-710,

o

DN=M®,

即线段DM长的最小值为封3,

5

故选：A.

【点睛】

本题主要考查垂直平分线的性质、相似三角形、直角三角形的性质及勾股定理等，灵活

运用所学的知识点进行分析是解题的关键.

二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

11.（本题3分）（2020•杭州市公益中学九年级月考）在」Z5c中，已知Z>=1,c=2,

力。是□力的平分线，力。=3叵，贝忆c=.

试卷第20页，总50页

【答案】90°

【分析】

如图作CE/MB交AD的延长线于E,作CHAD于H,首先证明CA=CE,求出AE,

解直角三角形求出CAD,即可解决问题.

【详解】

解：如图作CEHAB交AD的延长线于E,作CHAD于H,

UEC//AB,

LMO平分UC/8,

□D4B=UE,

DAC=CE=l,

CEED1

益=诟=万'

DE=—,

3

AE=,

UCA=CE,CHDAE,

2

巧

cosCAH=—,

2

C/1D=30°,

CH—1m-f-266一6

2326

CH

tanCDH=-----=，3r，

DH

□□CQ"=60。

□□JC£>=90°.

故答案为：90。.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，以及

解三角形的有关知识和方法，解题的关键是学会出现角平分线，构造平行线解决问题,

属于中考填空题中的压轴题.

12.体题3分）（2020•浙江杭州市•九年级期末）如图，在口⑷?。中，NACB=90°,

AC=8C,点。是A3的中点，/&4C的平分线交CD于点E，CE=2&.把△ACE

沿AC对折，得到口ACR,点G为AE的中点，连结FG,GB.则四边形CFGB的

面积为.

【答案】12+6夜

【分析】

如图，连接EF交AC于T，连接BE.解直角三角形求出CT,ET,DE，A£＞，CD，

AC，再根据

S四边形CFCB=$四边形前支"S3G—SMGE

=^MFC+SMCB—/(2sA)-2SMEB求解即可.

试卷第22页，总50页

【详解】

vMCF是由AACE翻折得到，

EF1AC，

•.•ZACB=90。，CA=CB,AD=DB，

：.CD1AB^ZACD=-ZACB=45°,

2

・・・NC7E=90。，

.-.ZECT=ZC£T=45O,

V2

：.CT=ET=—EC=2,

2

­.'EDA.ADETA.AC,AE平分NCW,

ET=ED=2,

.•.40=8=2+2啦，AC=BC=2忘+4,

\-AG=EGf

••S“FG~S&EFG»S战BG~S^BG♦

'S四边形CFGH='四边形ABCF一^MFG-^SAGB

=^AAFC+4cB-QS^^c-S2FC)~万

=-X(2V2+4)2+-X(2>/2+2)x272--[2x1x(272+2)X2X/2--X2>/2X2V2J--X-!-X(4+4V2)X2

2222222

=12+6及，

故答案为：12+60.

【点睛】

本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中线的性质

等知识，解题的关键是学会用分割法求四边形面积，属于中考常考题型.

13.(本题3分)(2020•杭州市采荷中学九年级期中)已知半径为5的圆。中，弦44=8,

则以AB为底边的等腰三角形腰长为.

【答案】2指或46

【分析】

根据题意分该等腰三角形是钝角还是锐角的情况进行讨论，再结合圆的有关性质计算即

可.

【详解】

口当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示，

连接OA,OB,OC,并延长OC与AB交于D,

UOA=OB,AC=BC,

□CD垂直平分AB,CDAB,AD=BD=4,

U圆的半径为5,

□在RLOAD中，OA=5,AD=4,OD=3,

□CD=OC+OD=8,

U在RtADC中，AC=y]CD2+AD2=4A/5：

试卷第24页，总50页

若等腰三角形是钝角三角形时，如图所示:

连接OA,OB,0C交AB于D,

同理的可得0C垂直平分AB,

在RtUOAD中，0A=5,AD=4,0D=3,

□CD=2,

在RtADC中，=y]CD2+AD2=2石，

故答案为：2下或4卮

【点睛】

本题考查圆与等腰三角形的综合问题，主要涉及到垂径定理的推论，及勾股定理解三角

形，灵活思考所有可能的情况是解题关键.

14.（本题3分）（2021•浙江杭州市•九年级一模）如图，将矩形纸片ABCO沿过点。的

直线折叠，使得点3落在矩形内点8,处，折痕为CE.

Ap

(1)点恰好为AC中点时，言的值为

BE

4J7

(2)点3'在AC上且。、B'、E在同一条直线上时，——的值为

BE

>/5+1

【答案】2

2

【分析】

(1)根据三角形的面积推出边的比即可得到结果；

(2)根据余弦的定义和勾股定理即可得到结果；

【详解】

(1)::四边形ABCD是矩形，

□□B=90°,

当点皆恰好为AC中点时，AC=2BC,则AB=6BC，

设BC-x,则AC—2x，AB=下)x，

由题知：EB'±AC'

Q=s=s

34AEB，_34B'CE_J&EBC'

S&AEC=2s△做，

ABC和EBC的高都是BC,

设BC=x,

试卷第26页，总50页

—==2;

BES△幽.

故答案是2.

(2)点6'在AC上且。、B'、E在同一条直线上时，

设A8=a,BC=b,BE—x-

B'EVAC,

B'DYAC,

CDB'C

cosZ.ACD=----=------,

ACCD

aa

Ja?+Ib

a4=b4+a2b2-可得到：b2=

2

(Ja?+bZ-6)+x2=(a一xj,

a2+Z>2-2bdm+〃+b2+x2=a2-2ax+/,

2ax=2b\ja2+b2-2〃.

2ax=26Ja^+戈?】才-^\/5-ija2

2ax=2a2-卡成+a2>

解得：x=-~@'a，

2

四="一〃V5-1

AE1+>/5

--=-------

BE2

故答案是：苴土1

2

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，结合余弦的定义计算是解题的关键.

15.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级期中）如图，已知正方形ABCO的边长为2,

延长8c至E点，使CE=BC,连结AE交8于点F,连结8尸并延长与线段£＞七

交于点G,则FG的长是—.

【答案】且

3

【分析】

用全等三角形的判定AAS得出ADFn：ECF,进而得出FG是1DCP的中位线，得出

DG=GP=PE=』DE=2包，再利用勾股定理得出BG的长，进而得出FG即可.

33

【详解】

解：如图，过点C作CPUBG,交DE于点P.

试卷第28页，总50页

□BC=CE=2,

CP是BEG的中位线，

□P为EG的中点.

又UAD=CE=2,ADCE,

在匚ADF和DECF中，

乙AFD=4EFC

<4ADC=NFCE,

AD=CE

□ADFECF(AAS),

□CF=DF,XCPEFG,

□FG是DCP的中位线，

G为DP的中点.

□CD=CE=2,

DE=2及，

因此DG=GP=PE=』£>E=.

33

连接BD,

易知BDC=EDC=45°,

所以BDE=90°.

又BD=2叵,

BG=yjBD2+DG2=^8+1=-

FG=-CP=-BG=

243

故答案为:

3

【点睛】

此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和勾股定理应用等知识，根据已知

得出正确辅助线是解题关键.

16.（本题3分）（2020•浙江杭州市•九年级）如图，AB是半圆。的直径，四边形CDMN

和。EFG都是正方形，其中C,2E在AB上，在半圆上.若AB=10,则正方

形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是.

【答案】25

【分析】

连接ON,OF,则x2+(x+DO)2=25,y2+(y-DO)2=25,整理可得x?+y2=25,即可求

正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和.

【详解】

解：连接ON,OF

设CN=x,EF=y,

则x2+(x+DO)2=25,0

y2+(y-DO)2=25,□

试卷第30页，总50页

□-1化简得(x+y)(x+DO-y)=0,因为x+y>0,

所以x+DO-y=0,即y=DO+x,

代人口,得

Ux2+y2=25,

故答案为25.

【点睛】

本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查r正方形各边长相等、各内角为直角

的性质，本题中化简求得x2+y2=25,是解题的关键.

17.（本题3分）（2019•浙江杭州市•九年级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1,

点M是BC边上的动点（不与B,C重合），点N是AM的中点，过点N作EF0AM,

分别交AB,BD,CD于点E,K,F,设BM=x.

（1）AE的长为（用含x的代数式表示）;

EN

（2）设EK=2KF,则——的值为.

【答案】—

2

【分析】

（1）根据勾股定理求得AM,进而得出AN,证得EZAENIZIAMB,由相似三角形的性

质即可求得AE的长；

(2)连接AK、MG、CK,构建全等三角形和直角三角形，证明AK=MK=CK,再根

据四边形的内角和定理得AKM=90。，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

1ENBMEN

得NK=；AM=AN,然后根据相似三角形的性质求得」=——=x,即可得出——

2ANABNK

=x.

【详解】

(1)解：□正方形ABCD的边长为1,BM=x,

AM=Jl+f,

□点N是AM的中点，

AZJ1+,

AN=-.............,

2

□EFDAM,

□□ANE=90°,

□□ANE=ABM=90°,

□□EAN=1MAB,

□□AENriOAMB,

0里=型，即4=叵，

AMABVl+x22

故答案为：工一；

2

(2)解：如图，连接AK、MG、CK,

由正方形的轴对称性ABK।LJCBK,

试卷第32页，总50页

AK=CK,KAB=KCB,

□EFDAM,N为AM中点,

□AK=MK,

□MK=CK,LKMC=LKCM,

□□KAB=CKMC,

□□KMB+KMC=180°,

□□KMB+LKAB=180°,

又」四边形ABMK的内角和为360°,ABM=90°,

□□AKM=90°,

在RtUAKM中，AM为斜边，N为AM的中点，

KN=—AM=AN,

2

ENEN

-----=-------，

NKAN

□□AENnOAMB,

ENBM

----=------=x,

ANAB

EN

-----=x,

NK

故答案为：X.

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形

判定和性质，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边.上的中线的性质，证得KN=AN

是解题的关键.

三'解答题(本大题共6小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

18.体题7分)(2021•杭州育才中学九年级二模)如图，在X5C中，AB=AC,

QADEQUABC,连接5。，CE.

(1)判断50与CE的数量关系，并证明你的结论；

(2)若N5=2g,AD=4,口区4c=120。，DC/1Z)=30°.求80的长.

【答案】(1)BD=CE,证明见解析；(2)2A/13

【分析】

(1)根据弘S证明/CE即可：

(2)作BA交BA的延长线于，，然后根据勾股定理和直角三角形的性质即可求出

8。的长.

【详解】

解：(1)结论：BD=CE,

理由：ADEABC,

UUBAC+ACAD=[^CAD+\ADAE,

^QBAD=\CAE,

试卷第34页，总50页

在」与1/CE中,

AB^AC

<NBAD=ZCAE,

AD=AE

Q^ABDUACE(SAS),

LI8O=CE；

(2)如图1中，作DHBA交BA的延长线于，.

图1

iBAD=BAC+DAC=\50°,

□□047=30。，

UUH=90°,AD=4,

DH=2,AH=2y/3.

BH=AH+AB=4应

在Rt:BDH中,BD=4DH2+BH?=J2?+卜扃=2岳.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

19.（本题7分）（2021•杭州育才中学九年级二模）如图，点。为正方形45CD的中

心.DE=AG,连结EG,过点。作。尸_LEG交于点尸.

(1)连结EF,口£。9的周长与“。的长有怎样的数量关系，并证明；

(2)连结0E,求二上。尸的度数；

(3)若4尸：CE=m,OF：OE=n,求证：，〃="2.

【答案】(1)口EDF的周长与AD的长相等，证明见解析；(2)45。；(3)证明见解析.

【分析】

(1)连结OD、OG、CA,则CA必过点O且可得OE=OG,从而得到OF垂直平分EG,

所以FE=FG,最终可得EDF的周长等于AD的长；

(2)由(1)可得HEOG=EOD+DOG=AOG+DOG=90°,所以可得［JEOF=45。；

(3)先判断出AOFCEO,再由三口=丝，3延可以得到解答.

SCEOCESCEO\OE

【详解】

解：(1)EDF的周长与AD的长相等，理由如下：

如图，连结OD、OG、CA,则CA必过点0,

试卷第36页，总50页

□点0为正方形ABCD的中心,

□OD=OA,□OAG=CODE,

又DE=AG,

□□OEDQQOGA,

□OE=OG,

□OF±EG,

□OF是EG的垂直平分线，

□FE=FG,

□□EDF的周长=DF+EF+ED=DF+FG+AG=AD：

(2)L1ODLOA,

□□DOA=90°,

由(1)可得[OED1DOGA,

□□EOD=LGOA,

□□EOG=[ZEOD+CDOG=CAOG+DOG=90°,

1□OEG为等腰三角形，OFEG,

EOF=-Z£OG=45°；

2

(3)□□EOF=45。，

□□COE+AOF=135°

□□OAF=45°,

□□AFO4-nAOF=135°,

□□COE=IAFO,

inAOFJCEO,

q0F丫

□=

SCEO

□O到AF与CE的距离相等,

SAOF：SCEO—AF：CE=m,

in=n2.

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，相似

三角形和全等三角形的性质和判定，解本题的关键是角度的计算.

20.（本题8分）（2020•浙江杭州市•九年级期末）如图，在矩形A8C。中，E是BC上

An

一点，。尸_LAE于点F,设:

（1）若2=1,求证：CE=FE；

（2）若AB=3,AO=4,且。、B、尸在同一直线上时，求2的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）3

【分析】

（1）根据矩形的性质可得，NB=90°,AD//BC,AB=CD,AD=BC,再根据已

知条件O/_LA£，即可证明口。/弘AABE-则4尸=3£，进而通过线段的和差关

系求得；

（2）由勾股定理求得8。的氏度，再由的面积求得A尸的长度，则可用勾股定

理求得。尸的长度，则可得8尸的长度，再由口。£4AABE.求得EB的长度，在

&AA8E中，根据勾股定理即可求得AE，即可求得之的值.

试卷第38页，总50页

【详解】

(1)4=1,

AD,

LJ=1,

AE

AD-AE，

又四边形ABC。是矩形，

ZB=90°,AD//BC,AB=CD,AD=BC.

ZDAF=ZAEB，

DF±AE，

ZDFA=ZB=90°,

在口。/2和八钻石中，

ZDFA=ZB

<NDAF=ZAEB

AD^AE

QDFAAABE，

AF=BE，

AE=AD=BC，

AE-AF=BC-BE,

CE=FE；

（2）如图，D、B、尸三点共线,

AD

□AB—3,AD—4,

BD7AB2=j3?+42=5,

DFLAE，

S4AABRDn=2~ABAD=2-BDAF,

yABAD3x412

AF=----------=------=——，

BD55

DF=VAD2-AF2=^42-(y)2=y,

169

BF=BD-DF=5——=-,

55

AD//BE,

在口ADE和△EBE中，

NFAD=NFEB,ZADF=NEBF,ZAFD=ZEFB,

QADFAEBF,

ADDF

---=----,

EBBF

16

即e=等，

EB9

5

试卷第4