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文档简介
2025届江苏省盐城市、南京市高二数学第一学期期末监测模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设椭圆()的左焦点为F,O为坐标原点.过点F且斜率为的直线与C的一个交点为Q(点Q在x轴上方),且,则C的离心率为()A. B.C. D.2.若圆C与直线:和:都相切,且圆心在y轴上,则圆C的方程为()A. B.C. D.3.设是定义在R上的可导函数,若(为常数),则()A. B.C. D.4.已知实数、满足,则的最大值为()A. B.C. D.5.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为()A.24 B.18C.12 D.66.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为A.11 B.12C.13 D.147.数学家歌拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的三个顶点分别为,,,则的欧拉线方程是()A. B.C. D.8.设等差数列的前项和为,若,则的值为()A.28 B.39C.56 D.1179.甲乙两个雷达独立工作,它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8,飞行目标被雷达发现的概率为()A.0.72 B.0.26C.0.7 D.0.9810.如图,某圆锥轴截面是等边三角形,点是底面圆周上的一点,且,点是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是()A. B.C. D.11.已知函数.设命题的定义域为,命题的值域为.若为真,为假,则实数的取值范围是()A. B.C. D.12.已知命题p:,总有,则为()A.,使得 B.,使得C.,总有 D.,总有二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知等差数列满足,公差,则当的前n项和最大时,___________14.已知曲线,①若,则是椭圆,其焦点在轴上;②若,则是圆,其半径为;③若,则是双曲线,其渐近线方程为;④若,,则是两条直线.以上四个命题,其中正确的序号为_________.15.若,满足约束条件,则的最大值为_____________16.已知,,且,则的值是_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在等差数列中,(1)求数列的通项公式;(2)设数列是首项为1,公比为2的等比数列,求数列的前项和.18.(12分)已知抛物线的焦点为F,点是抛物线上的点,且.(1)求抛物线方程;(2)直线与抛物线交于、两点,且.求△OPQ面积的最小值.19.(12分)如图,四边形ABCD是正方形,四边形BEDF是菱形,平面平面.(1)证明:;(2)若,且平面平面BEDF,求平面ADE与平面CDF所成的二面角的正弦值.20.(12分)设椭圆的左焦点为,上顶点为.已知椭圆的短轴长为4,离心率为(1)求椭圆的方程;(2)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线与轴的交点,点且(为原点),求直线的斜率21.(12分)已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(1)求;(2)若,求的面积的最大值22.(10分)公差不为零的等差数列中,已知其前n项和为,若,且成等比数列(1)求数列的通项;(2)当时,求数列的前n和
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】连接Q和右焦点,可知|OQ|=,可得∠FQ=90°,由得,写出两直线方程,联立可得Q点坐标,Q点坐标代入椭圆标准方程可得a、b、c关系﹒【详解】设椭圆右焦点为,连接Q,∵,,∴|OQ|=,∴∠FQ=90°,∵,∴,FQ过F(-c,0),Q过(c,0),则,由,∵Q在椭圆上,∴,又,解得,∴离心率故选:D2、B【解析】首先求出两平行直线间的距离,即可求出圆的半径,设圆心坐标为,,利用圆心到直线的距离等于半径得到方程,求出的值,即可得解;【详解】解:因为直线:和:的距离,由圆C与直线:和:都相切,所以圆的半径为,又圆心在轴上,设圆心坐标为,,所以圆心到直线的距离等于半径,即,所以或(舍去),所以圆心坐标为,故圆的方程为;故选:B3、C【解析】根据导数的定义即可求解.【详解】.故选:C.4、A【解析】作出可行域,利用代数式的几何意义,利用数形结合可求得的最大值.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立可得,即点,代数式的几何意义是连接可行域内一点与定点连线的斜率,由图可知,当点在可行域内运动时,直线的倾斜角为锐角,当点与点重合时,直线的倾斜角最大,此时取最大值,即.故选:A.5、C【解析】根据题意,结合计数原理中的分步计算,以及排列组合公式,即可求解.【详解】根据题意,要使组成无重复数字的三位数为偶数,则从0,2中选一个数字为个位数,有种可能,从1,3,5中选两个数字为十位数和百位数,有种可能,故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为.故选:C.6、B【解析】使用系统抽样方法,从840人中抽取42人,即从20人抽取1人∴从编号1~480的人中,恰好抽取480/20=24人,接着从编号481~720共240人中抽取240/20=12人考点:系统抽样7、B【解析】根据的三个顶点坐标,先求解出重心的坐标,然后再根据三个点坐标求解任意两条垂直平分线的方程,联立方程,即可算出外心的坐标,最后根据重心和外心的坐标使用点斜式写出直线方程.【详解】由题意可得的重心为.因为,,所以线段的垂直平分线的方程为.因为,,所以直线的斜率,线段的中点坐标为,则线段的垂直平分线的方程为.联立,解得,则的外心坐标为,故的欧拉线方程是,即故选:B.8、B【解析】由已知结合等差数列的求和公式及等差数列的性质即可求解.【详解】因为等差数列中,,则.故选:B.9、D【解析】利用对立事件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.【详解】由题设,飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、,所以飞行目标被雷达发现的概率为.故选:D10、C【解析】建立空间直角坐标系,分别得到,然后根据空间向量夹角公式计算即可.【详解】以过点且垂直于平面的直线为轴,直线,分别为轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设,则根据题意可得,,,,所以,,设异面直线与所成角为,则.故选:C.11、C【解析】根据一元二次不等式恒成立和二次函数值域可求得为真命题时的取值范围,根据和的真假性可知一真一假,分类讨论可得结果.【详解】若命题为真,则在上恒成立,,;若命题为真,则的值域包含,则或,;为真,为假,一真一假,若真假,则;若假真,则;综上所述:实数的取值范围为.故选:C.12、B【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题p:,总有是全称量词命题,所以其否定为存在量词命题,即,使得,故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、3【解析】根据公式求出前n项和,再利用二次函数的性质.【详解】因为等差数列,,所以,当时,取到最大值.故答案为:3.14、①③④【解析】通过m,n的取值判断焦点坐标所在轴,判断①,求出圆的半径判断②;通过求解双曲线的渐近线方程,判断③;利用,,判断曲线是否是两条直线判断④【详解】解:①若,则,因为方程化为:,焦点坐标在y轴,所以①正确;②若,则C是圆,其半径为:,不一定是,所以②不正确;③若,则C是双曲线,其渐近线方程为,化简可得,所以③正确;④若,,方程化为,则C是两条直线,所以④正确;故答案为:①③④15、6【解析】首先根据题中所给的约束条件,画出相应的可行域,再将目标函数化成斜截式,之后在图中画出直线,在上下移动的过程中,结合的几何意义,可以发现直线过B点时取得最大值,联立方程组,求得点B的坐标代入目标函数解析式,求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域,如图所示:由,可得,画出直线,将其上下移动,结合的几何意义,可知当直线在y轴截距最大时,z取得最大值,由,解得,此时,故答案为6.点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型;根据不同的形式,应用相应的方法求解.16、【解析】根据空间向量可得,结合计算即可.【详解】由题意知,,所以,解得.故答案:3三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)根据等差数列条件列方程,即可求通项公式;(2)先由等比数列通项公式求出,解得,分组求和即可.【小问1详解】设等差数列的公差为,则,∴,由,∴,∴数列的通项公式为.【小问2详解】∵数列是首项为1,公比为2的等比数列,∴,即,∴,∴.18、(1);(2).【解析】(1)根据抛物线的定义列方程,由此求得,进而求得抛物线方程.(2)联立直线的方程和抛物线方程,写出根与系数关系,结合求得的值,求得三角形面积的表达式,进而求得面积的最小值.【详解】(1)依题意.(2)与联立得,,得,又,又m>0,m=4.且,,当k=0时,S最小,最小值为.19、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)连接交于点,连接,要证明,只需证明平面即可;(2)以D为原点建系,分别求出平面与平面的法向量,再利用向量的夹角公式计算即可得到答案.【详解】(1)证明:如图,连接交于点,连接四边形为正方形,,且为的中点又四边形为菱形,平面平面又平面OAE.(2)解:如图,建立空间直角坐标系,不妨设,则,,则由(1)得又平面平面,平面平面,平面ABCD,故,同理,设为平面的法向量,为平面的法向量,则故可取,同理故可取,所以设平面与平面所成的二面角为,则,所以平面与平面所成的二面角的正弦值为20、(1)(2)或【解析】(1)根据已知条件求得,由此求得椭圆方程.(2)设出直线的方程,并与椭圆方程联立,求得点坐标,根据列方程,化简求得直线的斜率.【小问1详解】设椭圆的半焦距为,依题意,,又,可得,.所以,椭圆的方程为小问2详解】由题意,设.设直线的斜率为,又,则直线的方程为,与椭圆方程联立整理得,可得,代入得,进而直线的斜率.在中,令,得,所以直线的斜率为由,得,化简得,从而所以,直线的斜率为或21、(1)(2)【解析】(1)由正弦定理将边化为角,结合三角函数的两角和的正弦公式,可求得答案;(2)由余弦定理结合基本不等式可求得,再利用三角形面积公式求得答案.【小
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