2021年中考数学考点一遍过(上海专版) 第8章 圆四正多边形和圆（教师版含解析）

备战2021年中考数学考点一遍过（上海专用）

第八章圆⑷正多边形和圆

知识梳理

1.各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

2.有”条边的正多边形（〃是正整数，且”23）就称作正〃边形.

3.正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心.

4.正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径.

5.正多边形的内切圆的半径长叫做正多边形的边心距.

6.正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.

【总结】

1.正”边形，若〃是奇数，则正〃边形是轴对称图形；

若"是偶数，则正"边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.

2.正"边形的条对称轴交于一点，其外接圆和内切圆的圆心都是这个正〃边形的对称轴的

交点.这个交点到正“边形的各顶点的距离相等，到正N边形各边的距离也相等.

例题精讲

【例1】正多边形的中心角为72度，那么这个正多边形的内角和等于度.

【参考答案】540.

【例2】正六边形绕其中心至少旋转度可以与其自身完全重合.

【参考答案】60.

【例3】正六边形的边长为。，面积为S,那么S关于〃的函数关系式是.

【参考答案】5=挛".

2

【例4】对于平面图形A,如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于

这个圆的半径，则称图形A被这个圆“覆盖”.例如图中的三角形被一个圆“覆盖”.如果

边长为1的正六边形被一个半径.长为R的圆“覆盖”，那么R的取值范围为.

【参考答案】/?>1.

真题训练

1.（2015•上海中考真题）如果一个正多边形的中心角为72。，那么这个正多边形的边数是

（）.

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

试题分析：根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为360。+72。=5.

考点：正多边形的中心角定义及求法.

2.（2017•上海中考真题）我们规定：一个正n边形（n为整数，n24）的最短对角线与最长对

角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为3,那么入户—.

【答案】曼

罢

【详解】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点0,连接EC.

易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线,

•.•△OBC是等边三角形，AZ0BC=Z0CB=ZB0C=60°,

VOE=OC,AZOEC=ZOCE,VZBOC=ZOEC+ZOCE,N0EC=N0CE=30°

.,.ZBCE=90°,.♦.△BEC是直角三角形

考点：1.正多边形与圆；2.等边三角形的性质；3.锐角三角函数

模拟题专练

一、单选题

1.（2021•上海崇明区•九年级一模）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的虚倍,

那么这个正多边形的边数是（）

A.3B.4C.5D.无法确定

【答案】B

【分析】如图，画出简图，根据切线的性质可得N0CA=90°,根据NAOC的余弦可得/

A0C=45°,即可得出此多边形的中心角为90°,即可求出多边形的边数.

【详解】如图，OA、0C分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB为边长，

.\OC±AB,.\Z0CA=90o,

•••外接圆半径是其内切圆半径的0倍，•••COS/A0C=^-¥，

二NA0C=45°,/.ZA0B=90°,即此多边形的中心角为90°,

...此多边形的边数=360°+90°=4,故选：B.

【点睛】本题考查正多边形和圆及三角函数的定义，熟练掌握余弦的定义并熟记特殊角的三

角函数值是解题关键.

2.（2020•上海九年级二模）若一个正〃边形（〃为大于2的整数）的半径为「，则这个正鹿形的

边心距为（）

*.360°„360°°.180°r180°

A.rsin---B.rcos----C.rsin---D.rcos---

nnnn

【答案】D

【分析】根据题意画出图形，然后由三角函数及正多边形与圆的关系进行求解即可.

【详解】解：由题意可得如图：

146。。1QAO

假设AB为正n多边形的一条边，0C1AB,/.ZAOC=----=——，

2nn

1QQO

1/0A=r,OC=OA-cosZAOC=r-cos----；故选D.

n

【点睛】本题主要考查解直角三角形及正多边形与圆，熟练掌握三角函数及正多边形与圆是

解题的关键.

3.（2020•上海杨浦区•九年级二模）如果正十边形的边长为a,那么它的半径是（）

aaaa

A.~B.~C.~D.~

sin36cos362sinl82cos18

【答案】C

【分析】如图，画出图形，在直角三角形0AM中，直接利用三角函数即可得到0A.

【详解】如图，正十边形的中心角NA0B=360°4-10=36°,AB=a

AMa

/.ZA0M=ZB0M=18°,AM=MB=-a；0A=----------=故选C.

2sinZOAM2sinl80

【点睛】本题考查三角函数，能够画出图形，找到正确的三角函数关系是解题关键.

4.（2020•上海浦东新区•九年级二模）如果一个正多边形的中心角等于72。，那么这个多

边形的内角和为（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

【答案】B

【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算可求出这个

多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）X180°可得出结果.

【详解】解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360+72=5,

这个多边形的内角和为:（5-2）X180°=540°.故选：B.

【点睛】

本题考查的是正多边形的中心角的有关计算以及多边形的内角和公式，掌握正多边形的中心

角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键.

5.（2019•上海中考模拟）己知正六边形的边心距为则它的半径为（）

A.2B.4C.2JsD.4P

【答案】A

【分析】设正六边形的中心是0,一边是AB,过0作0GLAB与G,在直角△0AG中，根据三角函

数即可求得OA.

【详解】如图,

在RtZ\AOG中，0G=,3，ZA0G=30°,/.0A=0G4-cos300=J3+《=2；故选A.

【点睛】本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计•

算.

6.（2019•上海嘉定区•中考模拟）下列四个命题中，错误的是（）

A.所有的正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴

B.所有的正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心

C.所有的正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角

D.所有的正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补

【答案】B

【分析】利用正多边形的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可.

【详解】A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项

不符合题意；

B、正奇数多边形不是中心对称图形，错误，故此选项符合题意；

C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故此选项不符合题意；

D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故此选项不符合题意.

故选B.

【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定义.

7.（2019•上海江湾初级中学九年级三模）。虚一个正〃边形的外接圆，若J半径与这个

正〃边形的边长相等，贝M的值为（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】根据题意可以求出这个正〃边形的中心角是60°,即可求出边数.

【详解】。渥一个正〃边形的外接圆，若。她半径与这个正〃边形的边长相等，

则这个正〃边形的中心角是60°,360+60。=6〃的值为6,故选C

【点睛】考查正多边形和圆，求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键.

8.（2018•上海杨浦区•中考模拟）如图，RtaABC中，ZC=90°,AC=4,BC=4百，两等圆。A,

0B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）

A.2nB.4nC.6兀D.8n

【答案】B

【分析】先依据勾股定理求得AB的长，从而可求得两圆的半径为4,然后由NA+/B=90°可

知阴影部分的面积等于一个圆的面积的,.

4

【详解】在aABC中，依据勾股定理可知AB=JAC?+BC2=8,

•.•两等圆。A,OB外切，.•.两圆的半径均为4,VZA+ZB=90°,

...阴影部分的面积==4”.故选：B.

360

【点睛】本题主要考查的是相切两圆的性质、勾股定理的应用、扇形面积的计算，求得两个

扇形的半径和圆心角之和是解题的关键.

9.（2020•上海宝山区•九年级一模）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长

为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2,则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为

()

A.7+B.万一百C.2兀—6D.2万一2百

【答案】D

【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加,

再减去两个等边上角形的面积，分别求出即可.

【详解】过A作ADLBC于D,

「△ABC是等边三角形，.,.AB=AC=BC=2,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

VAD1BC,.\BD=CD=1,AD=GBD=VL

△ABC的面积为:■BOA［）L二x2x,S，iii；?..«=^2^_--n,

223603

2

...莱洛三角形的面积S=3X§万-2xG=2n-2后，

故选D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面

积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键.

二、填空题

10.（2020•上海崇明区•九年级一模）正五边形的中心角的度数是

【答案】72。.

【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正滋形的圆中心角为幽，则代入求解即可.

【详解】解：正五边形的中心角为：幽=72°.故答案为72°.

5

【点睛】此题考查了正多边形的中心角的知识.题目比较简单，注意熟记定义.

11.（2019•上海金山区•九年级二模）一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半

径等于4,那么该正多边形的边长等于—.

【答案】275-2.

【分析】根据题意作图，由一个正多边形的对称轴共有10条，可知这个正多边形为正十边形,

故每个内角为144°,则图中N0AB=/0BA=72。，故ZA0B=36。，在B0上找一点C,使AC=CO,

可证得△ACO、Z\ABC都为等腰三角形.故/BAC=/A0B=36°,故可得△ABOsaBCA,设AB=X,

可知OC=x,BC=4-x,再根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】根据题意作图，：一个正多边形的对称轴共有10条，

这个正多边形为正十边形，故每个内角为144°,则图中N0AB=N0BA=72°,

故NA0B=36°,在B0上找一点C,使AC=CO,则N0AC=NA0B=36°,ZBAC=Z0AB-Z0AC=36°,

.•.ZACB=180°-ZCAB-ZABC=72°..,.△ACO,△ABC都为等腰三角形.

,.,ZBAC=ZA0B=36°,/.AABO^ABCA,

设AB=x,可知OC=x,BC=4-x,丝,即d

ABBCx4一x

解得x=2逐-2.（-2石-2舍去）则正多边形的边长2石—2

AB

【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出图形进行求解.

12.（2021•上海闵行区•九年级一模）正六边形的边心距与半径的比值为（结果

保留根号）.

【答案】B

2

【分析】正六边形的半径为人r,根据正六边形的半径与外接圆的半径相等，构建直角三角

形，利用勾股定理即可解得边心距，继而解题.

【详解】如图,

设正六边形的半径OB=r,则外接圆的半径r,NO84=60°,

在RABOG中，sin60°=—OG=—r,

OB2

内切圆的半径是正六边形的边心距，因而边心距是，

2

则正六边形的边心距与半径比值为：故答案为：走.

22

【点睛】本题考查正多边形与外接圆，涉及勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握

相关知识是解题关键.

13.（2020♦上海大学附属学校九年级三模）正五边形绕着它的中心至少旋转度，能

与它本身重合.

【答案】72

【分析】如图（见解析），先根据正五边形的性质可得，正五边ABCDE至少旋转的度数为

NAC出的度数，再根据正五边形的性质求解即可得.

【详解】如图，由题意可知，所求的问题为NAO8的度数

由正五边形的性质得：ZAOB=NBOC=ZCOD=ZDOE=ZAOE

又QZAOB+NBOC+ZCOD+NDOE+ZAOE=360°

.•.4408=^x360°=72。。故答案为：72.

【点睛】本题考查了图形的旋转、正五边形的性质，理解题意，掌握正五边形的性质是解题

关键.

14.（2019•上海中考模拟）已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x厘米（x>0）,周长

为y厘米，那么y关于x的函数解析式为.

【答案】y=12x

【分析】由正多边形的中心角的度数，根据圆心角定理求出正多边形的边数，即可得出结果.

【详解】解：•.•正多边形的中心角为30度，.•.驾=12....正多边形为正十二边形，

设边长为x厘米（x>0）,周长为y厘米，则y关于x的函数解析式为：y=12x；

故答案为：y=12x.

【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆心角定理、函数关系式等知识，熟练掌握由正多边形

的中心角求正多边形的边数是关键.

15.（2018•上海浦东新区•中考模拟）已知正方形的边长为2cm,那么它外接圆的半径长是

【答案】亚

【解析】分析：运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出外接圆半径.

详解：•••正方形的边长为2,由中心角只有四个可得出：羽2_=90。，二中心角是：90°,

正方形的外接圆半径是：sin/力3=，

OA

2OA-—产~—A/2.,,—

・・・AC=-=1,ZAOC=45°,・・・1故答案为0.

点睛：考查正多边形和圆，涉及垂径定理，解直角三角形，比较简单.

16.（2017•上海普陀区•中考模拟）如图，矩形ABCD中，如果以AB为直径的。0沿着8c滚

动一周，点3恰好与点C重合，那么空的值等于.（结果保留两位小数）

【答案】3.14

分析：由题意可知：式的长就是。曲周长，列式即可得出结论.

详解：•.•以及为直径的。3占着8c滚动一周，点8恰好与点俚合，.•.比的长就是⑥确J周

长，n'AB^BC,：.—=Ji弋3.14.故答案为3.14.

AB

点睛：本题考查了圆的周长以及线段的比.解题的关键是弄懂比的长就是。曲周长.

17.（2019•上海徐汇区•中考模拟）如图，把半径为2的。。沿弦AB折叠，AB经过圆心

。，则阴影部分的面积为—.（结果保留万）

【答案】:万一G

【分析】过。作ODLAB于D,交劣弧AB于E,根据勾股定理求出AD,根据垂径定理求出AB,分

别求出扇形AOB和三角形AOB的面积，即可得出答案.

【详解】过0作ODLAB于D,交劣弧AB于E,如图：

•.•把半径为2的。0沿弦AB折叠，AB经过圆心°，，°D=DE=1,OA=2,

•.,在RtZ\ODA中，sinA=—=-,/.ZA=30°,.♦.NA0E=60。，同理NB0E=60°,

OA2

/.ZA0B=60°+60°=120°,

在RtZ^ODA中，由勾股定理得：AD=y]o^-OD2=722-12^-

VODXAB,()D过0,；.AB=2AD=2G,

，阴影部分的面积5=5肃网切6"、“||'=12。乃x2_彳*2百x1=：-白，故答案为：—-8.

360233

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形的面积，折叠的性质等知识点，能求出扇形

A0B和AAOB的面积是解此题的关键.

18.（2020•上海九年级专题练习）如图，在RtZiABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6.在边AB上

取一点0,使BO=BC,以点0为旋转中心，把AABC逆时针旋转90°,得到4A'B'C（点A、B、

C的对应点分别是点A'、B'、C'、），那么aABC与AA'B'C'的重叠部分的面积是

【答案】三

【分析】先求得0D,AE,DE的值，再利用Sw加阿产SA'OLSA'UW师

【详解】

334

如图，OA'=0A=4,则OD=—OA'=3,OD=3.\AD=1,可得DE=—,AE=-

455

1134144工―144

••Sn：ii®<»»"SziA(>F_SAAt>ii=­X3X4----X—X—=-------.故答案为---.

22552525

【点睛】本题考查的知识点是三角形的旋转，解题的关键是熟练的掌握三角形的旋转.

19.（2020•上海市民办新复兴初级中学九年级月考）如图，正六边形4兆加的顶点氏C分别

在正方形4区切的边4Z版V上.若46=4,则GV=

【答案】6-2A/3

【分析】求出正六边形的内角的度数，根据直角二角形的性质求事BM、CM,根据正多边形的

性质计算即可.

【详解】解：:•正六边形ABCDEF的顶点B,C分别在正方形AMNP的边AM,MN上

(6-2)x180°4x180°°

AZABC^------------=--------=120°,ZM=90,AB=BC,AM=MN

66

VZABC+ZCBM=180°,Z.ZCBM=60°，VAB=4,；.BC=4

.".CM=BCsinZCBM=2V3.MB=BCcosZCBM=2,.*.AM=AB+MB=6,.\MN=AM=6

；.CN=MN-CM=6-26，故答案为：6-2石.

【点睛】本题考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质、内角的计算公式是解答

本题的关键.

20.（2017•上海普陀区•）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm,当滑轮的一条半

径0A绕轴心0按逆时针方向旋转的角度为120。时，重物上升__cm（结果保留n）.

…上、2（）

【答案】—“

3

分析：求得半径为10cm,圆心角为120°的弧长，即可得出答案.

详解：观察图象，可知重物上升的高度就是旋转的角度为120,所对应的弧长,

1207rx1020

-------------=■Ttcm\故答案为：—兀■

3

点睛：考查弧长的计算，旋转的性质，熟记弧长公式是解题的关键.

21.（2020•上海嘉定区•九年级二模）如图，在正六边形48四必中，如果向量通=a,

AF=b>那么向量而用向量M，5表示为.

【答案】2M+2方.

【分析】如图，连接破交于。.则AAO8是等边三角形，OA=OD,根据三角形法则

求出正即可解决问题.

【详解】如图，连接班交4汗0.

•：ABCDEF是正六边形,；.△/如是等边三角形，AO=OD,:.NFA/NA0庐60。,阴A庐AF,

J.AF//OB,：.BO=AF=b<AO=AB+BO=a+b''：AD=2AO,：.AD=2a+2b.

故答案为：2a+2b.

【点睛】本题考查正多边形与圆，平面向量，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性

质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键.

三、解答题

22.（2020•上海嘉定区•九年级一模）如图，在。0中,AB、CD是两条弦，。。的半径长为rem,

弧AB的长度为4cm,弧CD的长度为4cm（温馨提醒:弧的度数相等,弧的长度相等,弧相等,有联

系也有区别）当'=4时,求证:AB=CD

【分析】利用弧长公式得出圆心角相等，再利用圆心角，弧，弦之间的关系即可证明.

【详解】解：令/A0B=a,NCOD=P.：l,=l2：.怒=名在

1OU180

TAB和CD在同圆中，rt=r2.a=H,.\AB=CD

【点睛】本题主要考查弧长公式及圆心角，弧，弦之间的关系，掌握圆心角，弧，弦之间的

关系是解题的关键.

23.（2020•上海闵行区•九年级二模）如图，已知圆碾正六边形四（力环外接圆，直径应'=8,

点G、/价别在射线切、加上（点与点C、〃重合），且ZGBH=&0°,设EH=y.

（1）如图①，当直线而经过弧切的中点洲寸，求/函的度数；

（2）如图②，当点疏边。止时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）联结///、EG,如果△/必与△龙琳目似，求的的长.

Qr

【答案】⑴N=G=15°；⑵尸一-(0<x<4)；⑶C6的长为12

x+4

【分析】(1)连接。，根据正六边形的特点和内角和求出/微7与0°,然后通过弧之间的关

系得出/网=/戊刈印0°,又因为60=制，得出N0BQ=NBQ0=45°,最后利用/狈

N0幽即可求出答案；

(2)在出、上截取以*/公，连接〃M,首先根据正六边形的性质得出AERW是等边三角形，则有

EM=HE=HM=y,NHME$Q°,从而有仍=120°,然后通过等量代换得出/战'=/小，

nrcd4x

由此可证明△8(%s△刃%则有生=黑，即^—=一,则y关于X的函数关系式可求，因

BMMH8-yy

为点Q在边CD上，贝Ik的取值范围可求；

(3)分两种情况：①当点G在边切上时：又分当黑=之时和当桨=黑时两种情况：②当

EDDGDGDE

点窿勿的延长线上时，同样分当空=2时和当煞=£时两种情况，分别建立方程求

EDDGDGDE

解并检验即可得出答案.

【详解】解：(D如图，连接0。.

:六边形4?0明嗯正六边形，：.BC=DE,/W=120°.

:•冶C=DE，NEBC=；NABC=&0°.;点硬C。的中点，CQ=DQ.

：.BC+CQ=QD+DE,即BQ=EQ.：.ZB0Q=Z.EOQ,

又,：4B0Q+NE0QC8y,:.NB0Q=/E0Q由。.

又,：B0=0Q,:.N0BQ=NBQ0工5°,：.ACBG^°一45°=15°.

(2)如图，在6反上截取以勺花，连接HM.

・・•六边形力%ft%是正六边形，直径小8,：.BO=OE=BC=A,ZC-Z/E9-1200,

：・ZFEB二L/FED$O°.•:EM=HE,，是等边三角形，

2

:・EM=HE二HM二y,/HMEWT,工NGN〃跖=120°.

♦：/EBC=/GBH$G,:"EBC-/GBE=4GBH-4GBE,

於NGBC=NHBE.：./\BCG<^：.——=——.

BMMH

4x

又CG=x,SE=8,BCW,/.--=-,

8-y>1

Q

・・・HM的函数关系式为y=\r(0<x<4).

(3)如图，当点磕边如上时.

由^千AAFHs4EDG,且/敛?=/4郎=120°,

ApFH

①当前=丽时•:AF=ED,:.FH=DG,：.CG=EH,

即：尸尸彳,解分式方程得x=4.

经检验X=4是原方程的解，但不符合题意舍去.

②当签=短时，即：士;〒，解分式方程得x=12.

经检验x=12是原方程的解，但不符合题意外2；.

如图，当点如夕的延长线上时.

①当若嚼时,'：AF=ED,：.FH=DG,:.CG=EH，

Qr

②即：，解分式方程得x=4.

经检验x=4是原方程的解，但不符合题意舍去.

②当需时，即：＜=宁

解分式方程得x=12.

经检验x=12是原方程的解，且符合题意.

.♦.综上所述，如果/与相似，那么谢I长为12.

【点睛】本题主要考查正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性

质，解分式方程，做出辅助线并分情况讨论是解题的关键.

3

24.（2019•上海徐汇区♦中考模拟）如图，在△A8C中，AC=BC=1O,cosC=,点P是

8C边上一动点（不与点AC重合），以丛长为半径的。P与边AB的另一个交点为O,过

点D作DELCB于点E.

（1）当。。与边相切时.，求。尸的半径;

（2）联结交。E于点F,设AP的长为x,PR的长为y,求y关于x的函数解析式，并

直接写出x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的。。与OP相交于AC边上的点G时，求相交所得

的公共弦的长.

【答案】⑴⑵"嚏H且(3)10-2^

3

【分析】（1）设。P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HPLBC,cosOg,则

4HPR4

sinC=—,sinC------------一，口|J"J求解;

5CP10-R5

2__________

(2)PD〃BE,则电"=更\即：45XJx?-8x+8°-y,即可求解;

PDPF--------=---------------------

xy

（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=GP二BD,即：AB=DB+AD=AG+AD=4逐，即可求解.

【详解】（1）设。P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,

33HPR440

连接HP,则HP_LBC,cosC=—,贝iJsinO—,sinO---二------二一，解得：R二一；

55CP10-R59

3

(2)在△ABC中,AC=BC=10,cosC=-,

设AP=PD=x,ZA=ZABC=3,过点B作B1ILAC,

则BH=ACsinC=8,同理可得:

CH=6,HA=4,AB=46，则：tanZCAB=2BP=^82+(x-4)2=yjx2-8x+80>

DA=^^x,则BD=46-孚x,如下图所示,

5

12

PA=PD,ZPAD=ZCAB=ZCBA=3,tanP=2,贝UcosB=^^,sin6=^^,

EB=BDcosP=(4J5-^^x)X-4=-4--X,；.PD〃BE,

5J55

2__________

••・黑=||，即:%=6-8X+80A

整理得：y=5xjx--8x+8()

(0<x<10)：

3x+20

⑶以EP为直径作圆Q如下图所示,

两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D,GD为相交所得

的公共弦，..•点Q时弧GD的中点，；.DG，EP,「AG是圆P的直径，

AZGDA=90°,，EP〃BD,

由（2）知，PD〃BC,...四边形PDBE为平行四边形,

AG=EP=BD,：.AB=DB+AD=AG+AD=4亚，

2r4r

设圆的半径为r,在aADG中，AD=2rcosP=,I）G=AG=2r,

2r204r

+2r=4逐，解得：2r二则:DG==10-2班,

V5+1

相交所得的公共弦的长为10-26.

【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中

(3),要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大.

3

25.(2017•上海松江区•)如图，已知在以%中，N4方=90°,cos^=1,叱3,乃是射

线46上的一个动点，以/为圆心，力为半径的。尸与射线/比勺另一个交点为〃，直线切咬直线

BC于点E.

(1)当为=1时，求您的长；

(2)如果点/在边4邪J上，当。吗以点C为圆心，口为半径的。纳切时，求。用J半径；

(3)设线段跳的中点为0,射线夕。与。心目交于点凡点雁运动过程中，当阳〃臼时，求处的

长.

【答案】（1）C£1=《；⑵；⑶值或

3

试题分析：（1）作PHLAC,垂足为H,由垂径定理可得AH二DH,由cosB二§BC=3,可得AB=5,

PHPA34

AC=4,再由PH〃BC,可得——=——,代入数据求得PH二一，即可求得AH=OH=—,由

BCAB55

PHDH

—代入数据求得CE的长即可；（2）当。咫。讷切时，点。在。胭，可得点琳/C

4

3AG=X

的延长线上，过点祚PdC,垂足为G,设El=x,则尸G=gx,5-

Q4DCCFc人七

CD=^x-4,CG=4--x,根据黑=三，代入数据可得=%—，解得

55PGDG士,

55

A

CE=~x-3,因。尸与。C内切，即可得PA—CE=PC,所以

x——3）=J（|x+（4-，即24炉―1308+175=0，解得为=^|，々="|（舍

35

去），即当与。讷切时，0屈勺半径为不；（3）先证明四边形PDCF是平行四边形，可得

12

PF=CD,再分当点的边力碘上和当点的边脚的延长线上两种情况求AP的长.

试题解析：（1）作力L/C,垂足为〃，时圆心，.../〃=〃〃

3

VZJG5=90°,Z.PH//BC,；cos庐一，633,：.AB=^>,A(=4

5

,PHPA.PH34

YPH〃BC,•.=，••,:・PH=一,/.AH:二DH二-

BCAB~~555

34

._12又•:里DH9

nr------,._5_-pr,CE—

5CEDC"CE125

y

(2)当。P与。纳切时，点C在。晒，...点水4曲延长线上

34

过点用乍AGU4G垂足为G,设川=%,则尸G=gx,AG^DG=-x

5

Q4..CEDC

CD=-x-4,CG=4--x,CE=-…(1分)

55.PG~DG5

Y。/7与。办切，PA—CE=PC,

355

A24x2-130x+175=0,：.x=—,x,=不（舍去）

t122

.•.当。咫。尔I切时，。曲半径为一.

12

⑶筋/月=90°,APEC+ACDE=^°,N4=N物，："ABC=2PEC

'：NABC=NEBP,：.4PEC=4EBP,：.PB=PE

•点。为线段庞的中点，.••HU6C,

二当必〃时，四边形如伊是平行四边形，：.PF=CD

82