2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测四十七第五章三角函数5.4.2正弦函数余弦函数的性质一含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测四十七正弦函数、余弦函数的性质(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)关于函数y=sinQUOTE+QUOTE,下面四个结论中的正确结论是()A.函数y=f(x)是偶函数B.函数y=f(x)在区间QUOTE上单调递增C.函数y=f(x)在区间QUOTE上有4个零点D.函数y=f(x)的最大值为2【解析】选A、B、D.A,因为函数的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=f(x),故函数为偶函数,故A正确;B,当x∈QUOTE时,函数等价于y=2sinx,明显函数在x∈QUOTE上单调递增,故B正确;C,函数f(x)=QUOTE当f(x)=0时,解得:x=0或x=π或x=-π,只有3个零点,故C错误;D,当x=QUOTE时,sin|x|与|sinx|同时取到最大值1,即函数y=f(x)的最大值为2,故D正确.2.下列函数是以π为周期的函数是 ()A.y=sinx B.y=sinx+2C.y=cos2x+2 D.y=cos3x-1【解析】选C.y=sinx及y=sinx+2的周期为2π,y=cos2x+2的周期为π,y=cos3x-1的周期为QUOTE.3.已知f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ),x∈R为奇函数,则φ的一个取值是()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.由f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)为奇函数知f(0)=sinφ+cosφ=0,明显cosφ≠0,故sinφ=-cosφ,所以tanφ=-1,视察选项知φ的一个取值是-QUOTE.4.若函数f(x)=sinQUOTE(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为f(x)是偶函数,所以QUOTE=QUOTE+kπ(k∈Z),所以φ=QUOTEπ+3kπ(k∈Z),又φ∈[0,2π],所以φ=QUOTE.5.设函数f(x)=sinQUOTE,则f(x)是 ()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为QUOTE的奇函数D.最小正周期为QUOTE的偶函数【解析】选B.因为f(x)=sinQUOTE=-sinQUOTE=-cos2x,所以该函数的最小正周期为π,且为偶函数.6.若函数y=cos(2x+φ)(其中φ>0)的图象关于点QUOTE成中心对称,则φ的最小值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为函数y=cos(2x+φ)(其中φ>0)的图象关于点QUOTE成中心对称,所以cosQUOTE=0,QUOTE+φ=kπ+QUOTE,k∈Z,φ=kπ-QUOTE,k∈Z,当k=1时,φ的最小值为QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设定义在R上的函数fQUOTE的周期为QUOTE,当0≤x≤π时,fQUOTE=cosx,则fQUOTE=________.

【解析】因为定义在R上的函数f(x)的周期为QUOTE,所以fQUOTE=f(x),所以fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE.因为当0≤x≤π时,f(x)=cosx,所以fQUOTE=cosQUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE8.已知f(x)=ax+bsin3x+3且f(-3)=7,则f(3)=________.

【解析】f(-3)=-3a-bsin33+3=7.所以3a+bsin33=-4,所以f(3)=3a+bsin33+3=-4+3=-1.答案:-1【补偿训练】已知函数f(x)=ax+bsinx+1,若f(2018)=7,则f(-2018)=________.

【解析】由f(2018)=2018a+bsin2018+1=7,得2018a+bsin2018=6,所以f(-2018)=-2018a-bsin2018+1=-(2018a+bsin2018)+1=-6+1=-5.答案:-5三、解答题(每小题10分,共20分)9.作出函数f(x)=QUOTE的图象,并求f(x)的最小正周期.【解析】将f(x)=QUOTE化为f(x)=|sinx|,因为f(x)=|sinx|,所以作出f(x)=QUOTE的图象如图所示.由图象可知f(x)的最小正周期为π.10.推断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sinQUOTEx的奇偶性.【解析】因为f(x)=cos(2π-x)-x3sinQUOTEx=cosx-x3sinQUOTEx,其定义域为R,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sinQUOTE(-x)=cosx-x3sinQUOTEx=f(x),所以f(x)为偶函数.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.将函数y=sinQUOTE的图象向右平移QUOTE个单位长度,所得图象对应的函数是()A.非奇非偶函数 B.既奇又偶函数C.奇函数 D.偶函数【解析】选C.将函数y=sinQUOTE的图象向右平移QUOTE个单位长度后,得函数y=sinQUOTE=sin2x,为奇函数.2.函数y=QUOTE的奇偶性为 ()A.奇函数 B.既是奇函数又是偶函数C.偶函数 D.非奇非偶函数【解析】选D.由题意知,1-sinx≠0,所以函数的定义域为QUOTE,由于定义域不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数.3.函数y=QUOTE,x∈(-π,0)∪(0,π)的图象可能是下列图象中的 ()【解析】选C.y=QUOTE是偶函数,故解除A,令x=QUOTE,y=QUOTE>1,故解除D;由图当x∈(0,π)时,y=x的图象均在y=sinx图象上方,故y=QUOTE>1.故解除B.4.函数y=cosQUOTE(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是()A.10 B.11 C.12 D.13【解析】选D.因为T=QUOTE=QUOTE≤2,所以k≥4π,又k∈Z,所以正整数k的最小值为13.二、填空题(每小题5分,共20分)5.函数y=cosQUOTE的最小正周期是________.

【解析】y=cosQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=sinQUOTEx.所以最小正周期为T=QUOTE=4.答案:46.已知f(x)=cosQUOTEx,则f(1)+f(2)+…+f(2015)=______.

【解析】因为f(1)=cosQUOTE=QUOTE,f(2)=cosQUOTE=-QUOTE,f(3)=cosπ=-1,f(4)=cosQUOTE=-QUOTE,f(5)=cosQUOTE=QUOTE,f(6)=cos2π=1,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,又f(x)的周期为T=QUOTE=6,所以f(1)+f(2)+…+f(2015)=335×0+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=-f(6)=-1.答案:-17.已知f(x)=asin2x+btanx+1,且f(-2)=4,则f(2)=________.

【解析】因为f(x)=asin2x+btanx+1,所以f(x)+f(-x)=asin2x+btanx+1+asin(-2x)+btan(-x)+1=2,所以f(x)+f(-x)=2,又因为f(-2)=4,所以f(2)=2-4=-2.答案:-28.设函数f(x)=3sinQUOTE,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以QUOTE为最小正周期.若fQUOTE=QUOTE,则sinα的值为________.

【解析】因为f(x)的最小正周期为QUOTE,ω>0,所以ω=QUOTE=4.所以f(x)=3sinQUOTE.由fQUOTE=3sinQUOTE=3cosα=QUOTE,所以cosα=QUOTE.所以sinα=±QUOTE=±QUOTE.答案:±QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数y=2sinQUOTE+3,x∈R.(1)用“五点法”作出函数在区间QUOTE上的简图.(2)写出函数的值域.【解析】(1)列表如下:x-QUOTE0πQUOTE2πxQUOTEy35313简图如图:(2)由图象可知函数y=2sinQUOTE+3,x∈R的值域为QUOTE.10.设函数f(x)=asinQUOTE和函数g(x)=bcos2kx-QUOTE(a>0,b>0,k>0),若它们的最小正周期之和为QUOTE,且fQUOTE=gQUOTE,fQUOTE=-QUOTEgQUOTE-1,求这两个函数的解析式.【解析】因为f(x)和g(x)的最小正周期之和为QUOTEπ,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE,解得k=2.因为fQUOTE=gQUOTE,所以asin