2024年新教材高考数学一轮复习课时过关检测十对数与对数函数含解析

PAGEPAGE5课时过关检测(十)对数与对数函数A级——基础达标1．已知a＝log23，b＝log25，则log415＝()A．2a＋2b B．a＋C．ab D．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b解析：Dlog415＝eq\f(1,2)log215＝eq\f(1,2)(log23＋log25)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故选D．2．(2024·T8联考)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称，g(x)为奇函数，且当x＞0时，g(x)＝f(x)－x，则g(－8)＝()A．－5 B．－6C．5 D．6解析：C由已知，函数y＝f(x)与函数y＝2x互为反函数，则f(x)＝log2x．由题设，当x＞0时，g(x)＝log2x－x，则g(8)＝log28－8＝3－8＝－5．因为g(x)为奇函数，所以g(－8)＝－g(8)＝5，故选C．3．已知函数f(x)＝lneq\f(x－1,x＋1)＋asinx＋2，且f(m)＝5，则f(－m)＝()A．－5 B．－3C．－1 D．3解析：C依据题意，函数f(x)＝lneq\f(x－1,x＋1)＋asinx＋2，则f(－x)＝lneq\f(－x－1,－x＋1)＋asin(－x)＋2＝－lneq\f(x－1,x＋1)－asinx＋2，则有f(x)＋f(－x)＝4，故f(m)＋f(－m)＝4，若f(m)＝5，则f(－m)＝－1，故选C．4．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域平安着陆．嫦娥五号是运用长征五号火箭放射胜利的，在不考虑空气阻力的状况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系表达式为v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))．假如火箭的最大速度达到12km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是()A．M＝e6m B．Mm＝e6C．lnM＋lnm＝6 D．eq\f(M,m)＝e6－1解析：D依题意可知v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝12000，可得lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝6，即1＋eq\f(M,m)＝e6，可得eq\f(M,m)＝e6－1．假如火箭的最大速度达到12km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是eq\f(M,m)＝e6－1．故选D．5．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是()解析：D由f(x)的图象可知0<a<1,0<b<1，∴g(x)的图象应为D．6．(多选)已知函数f(x)＝log2x的定义域是[4,8]，则下列函数中与f(x)值域相同的函数是()A．y＝f(x)＋1 B．y＝f(x＋1)C．y＝－f(x) D．y＝|f(x)|解析：BD函数f(x)＝log2x在[4,8]单调递增，f(4)＝log24＝2，f(8)＝log28＝3，所以f(x)值域为[2,3]．对于选项A：y＝f(x)＋1值域为[3,4]，故选项A不正确；对于选项B：因为f(x)＝log2x的定义域是[4,8]，所以4≤x＋1≤8，可得3≤x≤7，f(x＋1)＝log2(x＋1)∈[2,3]，所以y＝f(x＋1)值域为[2,3]，故选项B正确；对于选项C：y＝－f(x)值域为[－3，－2]，故选项C不正确；对于选项D：y＝|f(x)|的值域为[2,3]，故选项D正确．故选B、D．7．(多选)关于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列结论正确的是()A．f(x)在(－1,3)上单调递增B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称C．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称D．f(x)的值域为R解析：ACD函数f(x)的定义域是(－1,3)，f(x)＝lneq\f(x＋1,3－x)．令t(x)＝eq\f(x＋1,3－x)＝eq\f(－4,x－3)－1(x≠3)，易知t(x)在(－1,3)上单调递增，所以t(x)>t(－1)＝0，所以f(x)＝lnt(x)在(－1,3)上单调递增，且值域为R．故A、D正确．当x∈(－2,2)时，1＋x∈(－1,3)，1－x∈(－1,3)，f(1＋x)＝lneq\f(2＋x,2－x)，f(1－x)＝lneq\f(2－x,2＋x)，所以f(1＋x)＝－f(1－x)，f(1＋x)≠f(1－x)．所以y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．故B错误，C正确．故选A、C、D．8．(2024·石家庄模拟)已知a>0，且a≠1，函数y＝loga(2x－3)＋eq\r(2)的图象恒过点P．若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________．解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝loga(2x－3)＋eq\r(2)的图象恒过点P(2，eq\r(2))，则2α＝eq\r(2)，所以α＝eq\f(1,2)，故幂函数为f(x)＝x．答案：x9．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2>0，,4－x>0，))得－2<x<4，因此函数f(x)的定义域为(－2,4)．f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)＝ln(－x2＋2x＋8)＝ln[－(x－1)2＋9]，设u＝－(x－1)2＋9，又y＝lnu是增函数，u＝－(x－1)2＋9在(1,4)上是减函数，因此f(x)的单调递减区间为(1,4)．答案：(1,4)10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围．解：(1)当x<0时，－x>0，由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax＋1，x≥0，,loga－x＋1，x<0))(a>0，且a≠1)．(2)∵－1<f(1)<1，∴－1<loga2<1，∴logaeq\f(1,a)<loga2<logaa．①当a>1时，原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<2，,a>2，))解得a>2；②当0<a<1时，原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>2，,a<2，))解得0<a<eq\f(1,2)．综上，实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)．B级——综合应用11．已知函数f(x)＝|log2x|，当0<m<n时，f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则eq\f(n,m)＝()A．2 B．eq\f(5,2)C．3 D．4解析：D如图所示，依据函数f(x)＝|log2x|的图象，得0<m<1<n，所以0<m2<m<1．结合函数图象，易知当x＝m2时f(x)在[m2，n]上取得最大值，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，又0<m<1，所以m＝eq\f(1,2)，再结合f(m)＝f(n)，可得n＝2，所以eq\f(n,m)＝4．故选D．12．(多选)函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么()A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值C．f(x)的图象关于直线x＝1对称D．∃a＝2020，满意f(x)在(0,1)上是减函数解析：ACD由题意，函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，即f(x)＝loga(1－x)在(0,1)上是减函数，因为y＝1－x是减函数，依据复合函数的单调性的判定方法，可得a>1，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝loga|x－1|＝loga(x－1)，因为y＝x－1是增函数，依据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且无最大值，所以A正确，B错误；又由f(2－x)＝loga|2－x－1|＝loga|x－1|＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以C正确；由a>1可知，当a＝2020时，函数f(x)在(0,1)上是减函数，所以D正确．故选A、C、D．13．(2024·泰安一模)已知函数f(x)满意：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f(－x)＝f(x)．写出一个满意上述条件的函数f(x)＝________．解析：f(x)＝ln|x|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R，且f(－x)＝ln|－x|＝ln|x|＝f(x)，因此f(x)＝ln|x|符合题意．答案：ln|x|(答案不唯一)14．(2024·本溪高三模拟)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？假如存在，试求出a的值；假如不存在，请说明理由．解：(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0，∴a<eq\f(3,2)．又a>0且a≠1，∴0<a<1或1<a<eq\f(3,2)，∴实数a的取值范围为(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))．(2)由(1)知函数t(x)＝3－ax为减函数．∵f(x)在区间[1,2]上单调递减，∴y＝logat在区间[1,2]上单调递增，∴a>1，当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,loga3－a＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(3,2)，,a＝\f(3,2).))故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1．C级——迁移创新15．设实数a，b是关于x的方程|lgx|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________．解析：由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lgx|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，∴－lga＝lgb．即ab＝1,0<c<lg10＝1，∴abc的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)16．函数f(x)的定义域为D，若满意①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a，b]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围．解：∵函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R，当a＞1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝log