图形变换与裁剪

计耳机画形序

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图形变换与裁剪

哈尔滨工业大学计算机学院

唐好选

2010年7月21日

叶用翱窗形房

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5.1窗口视图变换

L窗口和视图区

/用户坐标系(worldcoordinatesystem,简称

WCS)

/设备坐标系(devicecoordinatesystem,简称

DCS)

/窗口区(window)

/视图区(viewport)

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2.窗口到视图区的变换窗口

Wyt

窗口区与视图区间的映射关系：

窗口区中的任一点(xw,yw)

Wyb

与视图区中的任一点(xV,yV)存

OwWWX

在如下对应关系：X1xr

v视图区

V

XV~xl—vxr--匕/

(5-1)

Xw一wxr一

y.-Vyb=〜一

(5-2)

九~^yb一%

OuVV

X1xrXv

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由式（5-1）和式（5-2）可分别解得:

V—V7

%=—~~-(/-%)+%(5-3)

吗〃一%/

yv=〜"(儿-％)+%(5-4)

叫一吗力

令v—v,v—V,

a=----------c=------------—wxl+v,

V—V,v—V.

y?yb

+3

沙-小沙-5

有

xv=ax^+b(5-5)

(5-6)

yv=①卬+"

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5.2二维图形几何变换

5.2.1二维图形几何变换的原理

二维图形由点或直线段组成

直线段可由其端点坐标定义

二维图形的几何变换：对点或对直线段端点的变换

P=[xy]Pf=[xy

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522几种典型的二维图形几何变换

1.平移变换(translation)

Tx平行于x轴的方向上的移动量

Tv平行于y轴的方向上的移动量

几何关系

x'=x+北

(5-7)

矩阵形式

3力=卜歹］+忙Ty\(5-8)

平移变换

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2.比例变换(scale)

指相对于原点的比例变换

又平行于X轴的方向上的缩放量

Sy平行于y轴的方向上的缩放量

相对于原点的比例变换

几何关系|y

—x*S

JC(5-9)

'*Sy

矩阵形式I

oX

[%'yr]=卜y](5-10)

0邑相对于重心的比例变换

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/比例变换的性质

当s.=s，时，变换前的图形与变换后的图形相似

xy

当S.=S,〉1时，图形圈放大，并远离坐标原点

xy

占

、、、

当S

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3.旋转变换（rotation）

点P绕原点逆时针转。角

（设逆时针旋转方向为正方向）

几何关系|

J-。（5-11）

\y=rsincp

旋转变换

\jC-rcos(0+(p)-rcos(pcos0-rsin9sin6

(5-12)

[y'=尸sin(6+9)=/cos9sin0+rsin9cos6

将式(5-11)代入式(5-12)得：

卜，=xcos®-ysin0

(5-13)

Ixsin3+ycos3

cos。sin0

矩阵形式上H=[x刃(5-14)

-sin夕COS0

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5.2.3齐次坐标(homogeneouscoordinates)技术

1.齐次坐标技术的引入

平移、比例和旋转等变换的组合变换

处理形式不统一，将很难把它们级联在一起。

2.变换具有统一表示形式的优点

-便于变换合成

-便于硬件实现

3.齐次坐标技术的基本思想

把一个n维空间中的几何问题转换到n+1维空间中解决

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4.齐次坐标表示

(•X]5工25,,,)(CO%15COX25...5CDX^5CO)

有n个分量的向量有n+1个分量的向量

哑元或标量因子

…"〃⑷)(X]/。/2/®・・・，X〃/⑼

齐次坐标表示不是唯一的

3=1规格化的齐次坐标

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5.基本几何变换的齐次坐标表示

1oo

/平移变换y'1]=xy1010

\TXTy1_

-

~SX0o

/比例变换yVl]=[xy1；0JO

001

cos0sin00

/旋转变换:x'yr1]=xy1]-sin0cos00

001

逆时针为正

6.无穷远点或无穷远区域的齐次坐标表示

①二0时，齐次坐标（5,工2,表示一■个n维的无穷远点

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5.2.3常用的二维几何变换

1.对称变换(symmetry)(反射变换或镜像零换)

(1)相对于y轴对称

(2)相对于x轴对称

对称变换(2)

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（3）相对于原点对称（即中心对称）

44*

关某[丁』—、

-100一

矩陶

形国x'yi]=：%y1]0-10=-x-y

001对称变换（3）

（4）相对于直线y=x对称

几柯

010

矩pzf1]100=[j；x1]

形m，yl]=[xy

001对称变换（4）

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(5)相对于直线y=-x对称

几何关系

[%'=-y

b=r

矩阵形式I

0-10

ayl]=[xy1]-1o0=[->-X1]

001

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2.错切变换（shear）

（1）沿x轴方向关于y轴错切

将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成。角的

倾斜线，而保持y坐标不变。

几何关系*'=JT+Ax

V=y

令a=ctgOWAx=yctgO—

X=x+ay

l、'=y

矩阵形式

10o错切变换（i）

卜'VU=[xyi]a10=[x-\-ayyi]

001

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(2)沿y轴方向关于x轴错切

修图形上关于x轴的平行线沿y方向推成中角的倾斜线,

而保持x坐标不变。

几何关系|

\x=x

Iy=J^+Ay

令方=ctgcpAy=xctgcp=

(X，=X

[y，=y+bjc

矩阵形式

错切变换(2)

1b0

xy1010xbx+y1]

001

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5.3.3二维组合变换

1.相对于任意点(xO,yO)的比例变换

对任意点比例变换的步骤：

(1)平移变换

(2)相对于原点的比例变换

(3)平移变换

/当(xo,yo)为图形重心的坐标时，这种变换实现的是相

对于重心的比例变换。

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100L必i]

平移口

T=010

11001

_-xo一九1

k%i]=卜%i]010

Soo-

__X0一歹0L

S=0Sy0

比例31

001

|Xool

-10o-S0

两73U=卜2%U0y

%=010001

__________________________________"

%1_平移匚

I---1

T=TXST2100

则有，4居1]=卜3%1]010

/y*1

■ayi]=ky41]0

Mi]4s%=卜必I]T任意点比例变换示意图

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2.绕任意点(xo,yo)的旋转变换

绕任意点旋转变换的步骤:

(1)平移变换

(2)对图形绕原点进行旋转变换

(3)平移变换

相对于任意点(Xo，y())的旋转变换

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令rioo[%%i]

T,=010

-xo一九11oo-

y1]=国必Uoio

cos0sin802

__________________________________-，0-%L

R--sin6^cos80

旋转只

001

cos0sin0

100

[13%1]=卜2歹21]-sincos30

5二010001J

1

/y0平移乩

-100

民歹41]=卜3为1]010

则有

/盟1

4

・k'VU=卜y4i]

=卜%1]4氏丁2=卜乂1]7任意点旋转变换示意图

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三维几何变换(1/8)

，三维齐次坐标

/(x,y,z)点对应的齐次坐标为

xh=hx.yh=hy.zh=〃z，〃w0

/标准齐次坐标(x,y,zj)

/右手坐标系八Z

>

y

X

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三维几何变换（2/8）

，平移变换

1000

0100

T=

0010

ri

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三维几何变换（3/8）

，放缩变换

sQ0Q

0Sy00

00sz0

0001

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三维几何变换（4/8）

・旋转变换:右手螺旋方向为正

-绕X轴

i000

ocos3sin30

R、（e）=

o-sin0cosO0

0001

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三维几何变换（5/8）

-绕y轴

cosO0-sinO0X

0100

Ry（e）=

sinOcosO0

0001

o

y轴指向纸外

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三维几何变换(6/8)

-绕Z轴

Z

COS0sin3

-sin0cosO

RO

00

00X

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三维几何变换(7/8)

/错切变换

沿Z含X错切沿Z含y错切

三维错切变换

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三维几何变换（8/8）

，三维变换的一般形式

O

O

平移

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图形变换与裁剪

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基本内容

1三维图形的基本问题

2平面几何投影

平行投影

透视投影

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三维图形的基本问题（1/5）

1.在二维屏幕上如何显示三维物体?

,显示器屏幕、绘图纸等是二维的

,显示对象是三维的

/解决方法--投影

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三维图形的基本问题（2/5）

2.如何表示三维物体？

/三维形体的表示----空间直线段、曲线段、多边形、

曲面片

/三维形体的输入、运算、有效性保证----困难

/解决方法----各种用于形体表示的理论、模型、方法

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三维图形的基本问题（3/5）

3.如何反映遮挡关系？

/物体之间或物体的不同部分之间存在相互遮挡关系

/解决方法----消除隐藏面与隐藏线

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三维图形的基本问题（4/5）

4.如何产生真实感图形

/何谓真实感图形？

,真实感来源于

/透视关系和遮挡关系

/光线传播引起的物体表面颜色的自然分布

/解决方法

/建立光照明模型

,真实感图形绘制

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三维图形的基本问题（5/5）

三维图形的基本研究内容

i.投影

2.三维形体的表示

3.消除隐藏面与隐藏线

4.建立光照明模型、研究真实感图形绘制方法

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平面几何投影(1/16)

/如何投影？

/生活中的类比-如何拍摄景物?

/拍摄过程

/选景

/取景--裁剪

/对焦一参考点

/按快门--成像

/移动方式

/移动景物

/移动照相机

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平面几何投影(2/16)

，投影一照相机模型

/选定投影类型

,设置投影参数-拍摄方向、距离等

/三维裁剪—取景

/投影和显示-成像

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平面几何投影(3/16)

，平面几何投影及其分类

/投影

/将n维的点变换成小于n维的点

/将3维的点变换成小于3维的点

/投影中心

/观察点、视点

/投影面

/不经过投影中心

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平面几何投影(4/16)

/投影线

,从投影中心向物体上各点发出的射线

/平面几何投影

/投影面是平面

/投影线为直线

/投影变换

/投影过程

/投影的数学表示

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平面几何投影(5/16)

-投影分类平面几何投影

透视投影平行投影

二

两

三

点

点

点

透

透

透

视

视

侧

视

侧

俯

等

正

正

正

轴

视

视