专题08最值模型之将军饮马11个常考模型（模型精练）

08最值模型之将军饮马（11个常考模型）1．如图，正方形ABCD的边长为1，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是22试题分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D'，再过D'作D'P'⊥AD，由角平分线的性质可得出D'是D关于AE的对称点，进而可知D'P'即为DQ+PQ的最小值．答案详解：解：作D关于AE的对称点D'，再过D'作D'P'⊥AD于P'，∵DD'⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD'，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D'AF（ASA），∴D'是D关于AE的对称点，AD'＝AD＝1，∴D'P'即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD'＝45°，∴AP'＝P'D'，在Rt△Rt△AP'D'中，P'D'2+AP'2＝AD'2，∵AP'＝P'D'，2P'D'2＝AD'2＝1，∴P'D'=22，即所以答案是：222．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴正半轴上，点B（b，0）在x轴正半轴上，AB⊥AD且AB＝AD，|a﹣4|+（b﹣3）2＝0．（1）求线段AB的长；（2）若点P为y轴上的一个动点，则当PB+PD最小时，点P的坐标为（0，3）．试题分析：（1）根据题意求出a＝4，b＝3，可求OA、OB的长，再由勾股定理求AB即可；（2）过D点作DE⊥y轴交于E，证明△ADE≌△BAO（AAS），可求D点坐标；作B点关于y轴的对称点F，连接DF交于y轴于点P，连接BP，当P、D、F三点共线时，PB+PD有最小值，用待定系数法求值直线FD的解析式，再求P点坐标即可．答案详解：解：（1）∵|a﹣4|+（b﹣3）2＝0，∴a＝4，b＝3，∴A（0，4），B（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5；（2）过D点作DE⊥y轴交于E，∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∴∠EAD+∠OAB＝90°，∵∠EDA+∠EAD＝90°∴∠OAB＝∠EDA，∵AD＝AB，∴△ADE≌△BAO（AAS），∴EC＝OA＝4，AE＝BO＝3，∴D（4，7），作B点关于y轴的对称点F，连接DF交于y轴于点P，连接BP，由对称性可知，BP＝PF，∴PB+PD＝PF+PD≥FD，当P、D、F三点共线时，PB+PD有最小值，∵B（3，0），∴F（﹣3，0），设直线DF的解析式为y＝kx+b，∴-3k+b=0解得k=1b=3∴y＝x+3，∴P（0，3），所以答案是：（0，3）．3．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（）A．42 B．25+2 C．213试题分析：本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A'，再连接A'O，运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A'O的长度即可．答案详解：解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A'关于BC对称，∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，∴OF=FB=1∵A与A'关于BC对称，∴AB＝BA'＝4，∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，在Rt△OFA'中，OA'所以选：D．4．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则当DF+CF之和取最小值时，△DCF的周长为（）A．35+3 B．43+3 C．5试题分析：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，先证明△AED≌△GFE，即可得到点F在∠CBG的角平分线上运动，作点C关于BF的对称点C′，当点D，F，C三点共线时，DF+CF＝DC'最小，根据勾股定理求出DC'＝DF+CF的最小值为35，即可求出此时△DCF的周长为35+3答案详解：解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，EF＝DE，∴∠DEA+∠FEG＝∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEG，又∵∠DAE＝∠FGE＝90°，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，AD＝EG，∴AD＝EG＝AB，即BG＝AE＝FG，∴∠CBF＝∠GBF＝45°，即点F在∠CBG的角平分线上运动，作点C关于BF的对称点C′，∴C'点在AB的延长线上，当点D，F，C三点共线时，DF+CF＝DC'最小．在Rt△ADC'中，AD＝3，AC'＝6，∴DC'＝35，∴DF+CF的最小值为35，∴此时△DCF的周长为35+3所以选：A．5．如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上的点，点M，N分别是AB，AD的中点，连接PM，PN．若AB＝2，BD＝4，则PM+PN的最小值为（）A．7 B．2 C．2+2 D．1试题分析：作M点关于BD的对称点M'，过M'作M'E⊥AB交延长于点E，过M'作M'F⊥AD交于F，当M'、N、P三点共线时，MP+NP的值最小，求出NM'即为所求答案详解：解：作M点关于BD的对称点M'，过M'作M'E⊥AB交延长于点E，过M'作M'F⊥AD交于F，∴MP＝M'P，∴MP+PN＝M'P+NP≥M'N，当M'、N、P三点共线时，MP+NP的值最小，∵AB＝2，BD＝4，∴AD＝23，∵AB=12∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，∵MM'⊥BD，∴∠BMM'＝30°，∵M是AB的中点，∴BM＝1，∴MM'=3，EM'=32，∴AE=5∴FM'=5∵N是AD的中点，∴AN=3∴FN=3∴M'N=(∴PM+PN的最小值为7，所以选：A．6．如图，直线y＝x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（）A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）试题分析：根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．答案详解：解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，最小值为CD′，如图．令y＝x+8中x＝0，则y＝8，∴点B的坐标为（0，8）；令y＝x+8中y＝0，则x+8＝0，解得：x＝﹣8，∴点A的坐标为（﹣8，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣4，4），点D（0，4）．∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣4）．设直线CD′的解析式为y＝kx+b，∵直线CD′过点C（﹣4，4），D′（0，﹣4），∴-4k+b=4b=-4，解得：∴直线CD′的解析式为y＝﹣2x﹣4．令y＝0，则0＝﹣2x﹣4，解得：x＝﹣2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．所以选：C．7．如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点Q的坐标可能为（）A．（2，5） B．（22，35） C．（4，3） D．（42，35）试题分析：连接PD．由B、D关于AC对称，推出PB＝PD，推出PB+PE＝PD+PE，推出当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，设正方形ABCD的边长为2a，则AE＝BE＝a，AD＝AB＝2a，分别求出PB+PE的最小值，PC的长即可解决问题．答案详解：解：如图，连接PD，设正方形ABCD的边长为2a，则AE＝BE＝a．∴AE＝EB＝a，AD＝AB＝2a，∵B、D关于AC对称，∴PB＝PD，∴PB+PE＝PD+PE，∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，如下图：在Rt△AED中，DE=5a∴PB+PE的最小值为5a，∴点Q的纵坐标为5a，∵AE∥CD，∴PCPA=∵AC＝22a，∴PC＝22a×2∴点Q的横坐标为423∴Q（423a，5结合选项可知，当a＝3时，点Q的坐标为（42，35）．所以选：D．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为12．试题分析：由于四边形APQB的周长可表示为AP+BQ+7，则要使其最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM＝PQ，因为点F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，利用勾股定理可求出MC的值，进而可得出答案．答案详解：解：∵AB＝5，PQ＝2，∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM＝PQ，∵点F是BC的中点，∴点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，∴CM=32∴四边形APQB的周长最小值为5+7＝12．所以答案是：12．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P为矩形内一点，满足∠ABP＝∠BCP．（1）若点E为AD的中点，B，P，E在同一条直线上，则BP的长为161313（2）若E为AD上一动点，则BE+PE的最小值为410-4试题分析：（1）根据题意可得△ABE∽△PCB，所以AEBP=BEBC，再利用勾股定理可求得（2）作点B关于AD的对称点B'，连接B'E，可知当B'，E，P三点在同一条直线上时，BE+PE取得最小值，即为B'P的长．设BC的中点为O，连接B'O，交以BC为直径的圆于点P，此时即为B'P的最小值，再利用勾股定理可求得B'O的长，进而可得出答案．答案详解：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠ABP＝∠BCP，∴∠BCP+∠PBC＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P是在以BC为直径为圆上．∵点B，P，E在同一条直线上，∴△ABE∽△PCB，∴AEBP在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD的中点，∴AE＝4，BE=A∴4BP∴BP=16（2）作点B关于AD的对称点B'，连接B'E，则BE+PE＝B'E+PE．∴当B'，E，P三点在同一条直线上时，BE+PE取得最小值，即为B'P的长．设BC的中点为O，连接B'O，交以BC为直径的圆于点P，此时即为B'P的最小值．∴B'P＝B'0﹣OP．在Rt△OBB'中，B'O=BB∴B'P＝410-4∴BE+PE的最小值为410-410．如图，正方形中，AB＝2，连接AC，∠ACD的平分线交AD于点E，在AB上截取AF＝DE，连接DF，分别交CE，AC于点G，H，点P是线段GC上的动点，PQ⊥AC于点Q，连接PH．下列结论：①CE⊥DF；②DE+DC＝AC；③EA=2AH；④PH+PQ的最小值是22．其中所有正确结论的序号是试题分析：①先证△DEC≌△AFD，可得∠ADF＝∠DCE，由∠ADF+∠CDG＝90°，可得∠DCG+∠CDG＝90°，即∠CGD＝90°，则①正确；②由①可知∠CGD＝90°，易证△CDG≌△△CHG，可得CD＝CH，∠CDG＝∠CHG，由AB∥CD，可得∠CDG＝∠AFH，而∠AHF＝∠CHG，则∠AFH＝∠AHF，即AH＝AF，从而可得②正确；③由于AD＝CD＝AH＝2，根据勾股定理可得AC的长，进而可得AH的长，而AH＝DE，所以EA可求，即可得出③正确；④由①②可得DG＝GH，CG⊥DH，即H关于CE的对称点是点D，过点D作GQ⊥AC，交CE于点P，此时PH+PQ取得最小值，最小值即为DQ的长，在等腰直角三角形ADQ中，可求得DQ的长，从而可得④不正确．答案详解：解：①∵在正方形ABCD中，DE＝AF，∠CDE＝∠DAF＝90°，CD＝AD，∴△DEC≌△AFD，∴∠ADF＝∠DCE，∵∠ADF+∠CDG＝90°，∴∠DCG+∠CDG＝90°，即∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，∴①正确．②由①可知∠CGD＝∠CGH＝90°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACG＝∠DCG，∵CG＝CG，∴△CDG≌△△CHG，∴CD＝CH，∠CDG＝∠CHG，∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠AFH，∵∠AHF＝∠CHG，∴∠AFH＝∠AHF，即△AFH为等腰三角形，∴AH＝AF，∴DE+DC＝AF+CH＝AH+CH＝AC．∴②正确．③由②可知，AH＝AF＝DE，CD＝CH，∵AB＝2，∴AC=22∴AH=22-∴EA＝2﹣（22-2）＝4∴EAAH∴③正确．④由①②可得DG＝GH，CG⊥DH，∴点H关于CE的对称点是点D，过点D作GQ⊥AC，交CE于点P，此时PH+PQ取得最小值，最小值即为DQ的长，在等腰直角三角形ADQ中，AD＝2，∴DQ=2∴PH+PQ的最小值为2，∴④不正确．所以答案是：①②③．11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点（点Q在点P的右边）．①若连结AP、PE，则PE+AP的最小值为10；②连结QE，若PQ＝3，当CQ＝53时，四边形APQE试题分析：（1）延长AB到M，使BM＝AB＝4，则A和M关于BC对称，连接EM，交BC于点P，此时AP+PE的值最小，过点M作MN⊥DC，交DC的延长线于点N，在Rt△EMN中，根据勾股定理求出EM的长即可解答；（2）点A向右平移3个单位到点G，点E关于BC的对称点为点F，连接GF，交BC于点Q，此时GQ+QE的值最小，根据题意可知AE，PQ的值是定值，要使四边形APQE的周长最小，只要GQ+EQ的值最小即可，然后根据A字模型相似三角形证明△FCQ∽△FDG，利用相似三角形的性质，即可解答．答案详解：解：（1）延长AB到M，使BM＝AB＝4，则A和M关于BC对称，∴AP＝PM，连接EM，交BC于点P，此时AP+PE的值最小，∴AP+PE＝PM+EP＝EM，过点M作MN⊥DC，交DC的延长线于点N，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠MBC＝∠BCN＝90°，∵∠MND＝90°，∴四边形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝4，BC＝MN＝8，∵E为CD的中点，∴EC=12CD＝∴EN＝EC+CN＝6，∴ME=MN∴PE+AP的最小值为10，所以答案是：10；（2）点A向右平移3个单位到点G，点E关于BC的对称点为点F，连接GF，交BC于点Q，∴EQ＝FQ，∴GQ+EQ＝GQ+FQ＝FG，此时GQ+QE的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∵AG＝PQ＝3，∴四边形APQG是平行四边形，∴AP＝GQ，∴GQ+EQ＝AP+EQ＝FG，∵AE，PQ的值是定值，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ的值最小即可，设CQ＝x，∵BC∥AD，∴∠BCF＝∠D，∠CQF＝∠DGF，∴△FCQ∽△FDG，∴CQDG∴x5∴x=5∴当CQ=53时，四边形所以答案是：5312．如图，扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝60°，点C是AB上的一个定点（不与A，B重合），点D，E分别是OA，OB上的动点，则△CDE周长的最小值为33．试题分析：如图，连接OC，作点C关于OA，OB的对称点T，P，连接OT，OP，PT，PT交AO于点D，交OB于点E，连接CD，CE，此时△CDE的周长最小，最小值＝线段TP的长．解直角三角形求出PT的长，即可解决问题．答案详解：解：如图，连接OC，作点C关于OA，OB的对称点T，P，连接OT，OP，PT，PT交AO于点D，交OB于点E，连接CD，CE，此时△CDE的周长最小，最小值＝线段TP的长．过点O作OH⊥PT于点H．∵OC＝OA＝OP＝OT＝3，∠AOC＝∠AOT，∠BOC＝∠BOP，∴∠POT＝2∠AOB＝120°，∵OH⊥PT，OP＝OT，∴TH＝PH，∠TOH＝∠POH＝60°，∴TH＝PH＝OT•sin60°=3∴PT＝2TH＝33，∴△CDE的周长的最小值为33．所以答案是：33．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线DM交BC于点M．（1）求证：CM＝BM．（2）若AD＝23，P为AB上一点，当PM+PD为最小值时，求AP的长．试题分析：（1）连接OD，OM，先利用圆周角定理求出∠DOB＝60°，再利用切线的性质可得∠ODM＝90°，然后利用HL证明Rt△ODM≌Rt△OBM，从而利用全等三角形的性质可得∠DOM＝∠BOM＝30°，进而可得AC∥OM，即可解答；（2）连接DB，过点D作DE⊥AB，垂足为E，并延长交⊙O于点D′，连接D′M交AB于点P，连接DP，此时PM+PD的值最小，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而在Rt△ADB中，求出DB，AB的长，再在Rt△ABC中，求出BC的长，从而求出BM的长，然后证明△DOB是等边三角形，再利用等腰三角形的三线合一性质求出OE的长，从而求出DE的长，最后证明8字模型相似三角形△MBP∽△D′EP，利用相似三角形的性质求出BP的长，进行计算即可解答．答案详解：（1）证明：连接OD，OM，∵∠BAC＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，∵DM与⊙O相切于点D，∴∠ODM＝90°，∵∠ABC＝90°，OD＝OB，OM＝OM，∴Rt△ODM≌Rt△OBM（HL），∴∠DOM＝∠BOM=12∠DOB＝∴∠A＝∠BOM，∴AC∥OM，∵OA＝OB，∴BM＝CM；解法二：连接BD，∵DM，BC都是⊙O的切线，∴MD＝MB，∴∠MBD＝∠MDB，∵∠C+∠CBD＝90°，∠CDM+∠BDM＝90°，∴∠C＝∠MDC，∴MC＝MD，∴CM＝MB．（2）连接DB，过点D作DE⊥AB，垂足为E，并延长交⊙O于点D′，则DE＝D′E，∴点D与点D′关于AB对称，连接D′M交AB于点P，连接DP，此时PM+PD的值最小，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AD＝23，∠DAB＝30°，∴BD＝AD•tan30°＝23×3∴AB＝2BD＝4，∴OA＝OB＝OD=12AB＝在Rt△ABC中，BC＝AB•tan30°＝4×3∴CM＝BM=12BC∵∠DOB＝60°，∴△DOB是等边三角形，∵DE⊥OB，∴OE＝EB=12OB＝∴DE=3OE=∴DE＝D′E=3∵∠D′EP＝∠CBP＝90°，∠MPB＝∠EPD′，∴△MBP∽△D′EP，∴BMD'E∴23∴BP=2∴AP＝AB﹣BP=18∴AP的长为185解法二：以B为原点，构造平面直角坐标系．作点D关于x轴的对称点F，连接FM交AB于点P，连接PD，此时PD+PM的值最小．由方法一可知F（﹣1，-3），M（0，2设直线FM的解析式为y＝kx+b，则有-k+b=∴直线FM放解析式为y=533令y＝0，可得x=-∴AP＝AB﹣PB=1814．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣3，0），抛物线的最低点的坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求出该抛物线的函数解析式；（2）如图1，线段BC绕点C逆时针旋转90°得到线段CD，CD与抛物线相交于点E，求点E的坐标．（3）如图2，点M，N是线段AC上的动点，且MN=2，求△OMN试题分析：（1）设抛物线的顶点式，然后用待定系数法求解即可；（2）过点C作直线l∥x轴，过点D作DG⊥l于点G，则∠DGC＝90°，所以∠D+∠DCG＝90°，过点B作BF⊥l于D，则∠BFC＝90°，先求出点B、C的坐标，得到BF＝3，CF＝1，再证△BCF≌△CGD（AAS），得到CG＝BF＝3，DG＝CF＝1，即可求出点D的坐标，即可用待定系数法求出直线CD的解析式，再与抛物线解析式联立求得点E的坐标；（3）先求得直线AC的解析式，然后设点M的坐标为（m，﹣m﹣3），进而得到点N的坐标为（m+1，﹣m﹣4），再由两点间的距离公式求得OM+ON的值，然后利用轴对称的性质和两点之间线段最短求得OM+ON的最小值，最后得到△OMN的周长最小值．答案详解：解：（1）∵抛物线的最低点的坐标为（﹣1，﹣4），即顶点坐标为（﹣1，﹣4），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，把点A（﹣3，0）代入解析式，得4a﹣4＝0，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3．（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x＝﹣3或x＝1，∴B（1，0），如图1，过点C作直线l∥x轴，过点D作DG⊥l于点G，则∠DGC＝90°，∴∠D+∠DCG＝90°，过点B作BF⊥l于F，则∠BFC＝90°，∵线段BC绕点C逆时针旋转90°得到线段CD，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠DCG+∠BCF＝90°，∴∠D＝∠BCF，又∵∠BFC＝∠DGC＝90°，∴△BCF≌△CGD（AAS），∴BF＝CG，CF＝DG，∵B（1，0），C（0，﹣3），∴BF＝3，CF＝1，∴CG＝BF＝3，DG＝CF＝1，∴BF﹣DG＝2，∴D（﹣3，﹣2），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则-3k+b=-2∴直线CD的解析式为y=-13x由y=-13x-3y=∴点E的坐标为（-73，（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，则-3k+b=0b=-3，解得：∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，设点M的坐标为（m，﹣m﹣3），则点N的坐标为（m+1，﹣m﹣4），∴OM+ON=(m-0∴OM+ON表示点（m，﹣m）到点P（0，3）和点Q（﹣1，4）的距离之和，点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上，如图2，作点P（0，3）关于直线y＝﹣x的对称点P'，连接P'Q，与直线y＝﹣x的交点即为点（m，﹣m），此时，OM+ON取得最小值即为P'Q的值，∵直线y＝﹣x是第二、四象限的角平分线，∴∠POH＝∠P'OH＝45°，由对称得，PP'⊥OH，∴∠PHO＝∠P'HO＝90°，∴△PHO和△P'HO都是等腰直角三角形，∴OP'＝OP＝3，∴P'（﹣3，0），∴P'Q=[-1-(-3)]2∴OM+ON的最小值为25，∴△OMN的最小值为25+15．（1）如图①，点A、点B在直线l同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小；（不需要说明理由）（2）如图②，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一定点，OP＝5，点E，F分别在OA，OB上，△PEF的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；（3）如图③，已知四边形OABC中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，BC＝2，OC=1033，点H为OA边上的一点且OH＝4，点P，F分别在边AB，OC上运动，点E在线段OH上运动，连接EF，EP，PF，△EFP的周长是否存在最小值？若存在，请求出△EFP试题分析：（1）作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，即为所求；（2）作点P关于OA和OB的对称点P'和P''，连接P'P''，交OA和OB于点E、F，此时△PEF的周长最小，连接OP'、OP''，然后根据等腰三角形的性质求得P'P''的长即为△PEF的周长最小值；（3）作点E关于AB和OC的对称点E'和E''，连接EE''交OC于点Q，连接E'E''，交AB和OC于点P、F，此时△PEF的周长最小，过点C作CG⊥OA于点G，过点B作BN⊥CG于点N，从而利用含30°角的直角三角形的三边关系求得BC、AG、OG的长，即可得到OA、OH的长，设OE＝x，得到AE、EQ、AE'、EE''的长，过点E''作E''M⊥OA于点M，然后得到EM、E''M、E'M的长，再根据直角三角形的勾股定理求得E'E''2的大小，进而利用二次函数的最小值求得E'E''2的最小值，最后得到△PEF的周长最小值和OE的长．答案详解：解：（1）如图①，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，即为所求．（2）△PEF的周长存在最小值，理由如下，如图②，作点P关于OA和OB的对称点P'和P''，连接P'P''，交OA和OB于点E、F，此时△PEF的周长最小，连接OP'、OP''、OP，由对称得，OP'＝OP＝OP''＝5，∠P'OA＝∠POA，∠POB＝∠P''OB，∴∠P'OP''＝∠P'OA+∠AOB+∠P''OB＝∠AOB+∠POA+∠POB＝∠AOB+∠AOB＝60°+60°＝120°，∴∠OP'P''＝30°，过点O作OH⊥P'P''于点H，则P'H＝P''H，∠OHP'＝∠OHP''＝90°，∴OH=12OP'=1∴P'H=OP∴P'P''＝2P'H＝2×532∴△PEF周长最小值为53．（3）△EFP周长存在最小值，理由如下，如图③，作点E关于AB和OC的对称点E'和E''，连接EE''交OC于点Q，则∠EQO＝90°，连接E'E''，交AB和OC于点P、F，此时△PEF的周长最小，过点C作CG⊥OA于点G，过点B作BN⊥CG于点N，则∠BNC＝∠ABN＝90°，四边形ABNG是矩形，∴BN＝AG，∵∠ABC＝150°，∠OAB＝∠OCB＝90°，∴∠CBN＝150°﹣90°＝60°，∠AOC＝30°，∴∠BCN＝30°，∵BC＝2，OC=10∴BN=12BC=12×2＝1，∴AG＝1，OG=OC∴OA＝AG+OG＝1+5＝6，设OE＝x（0≤x≤4），则AE＝OA﹣OE＝6﹣x，∵∠AOC＝30°，∴EQ=12OE=12x，∠E''由对称的性质得，AE'＝AE＝6﹣x，EQ＝E''Q=12∴EE''＝EQ+E''Q=12x+12过点E''作E''M⊥OA于点M，则∠E''ME＝90°，∴∠EE''M＝30°，∴EM=12E''E=∴E''M=E″E2-EM2=x2-(x2)2=32x，E'M＝E'∴E'E''2＝E'M2+E''M2＝（12-32x）2+（32x）2＝3x2﹣36x+144＝3（x﹣∴当0≤x≤4时，E'E''的值随x的增大而减小，∴当x＝4时，E'E''2最小值＝3×（4﹣6）2+36＝48，∴OE的长为4时，△EFP周长最小值为43．16．问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．若点P是边AC上一点，则BP的最小值为125问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，点E是BC的中点．若点P是边AC上一点，试求PB+PE的最小值；问题解决（3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD＝2000米，CD＝1000米，∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此时BE，DF的长．（路面宽度忽略不计）试题分析：（1）过B作BP⊥AC于P，由垂线段最短可知，BP⊥AC时，BP的值最小，由面积法可得BP=AB⋅BC（2）作E关于直线AC的对称点E'，连接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，由E，E'关于直线AC对称，可知PB+PE＝PB+PE'，而B，P，E'共线，故此时PB+PE最小，最小值为BE'的长度，根据∠B＝90°，AB＝BC＝2，点E是BC的中点，可得CE＝CE'＝1，∠BCE'＝90°，再用勾股定理可得答案；（3）作C关于AD的对称点M，连接DM，CM，CM交AD于H，作C关于AB的对称点N，连接BN，延长DC，AB交于G，连接NG，连接MN交AB于E，交AD于F，由C，N关于AB对称，C，M关于AD对称，CE＝NE，CF＝MF，又N，E，F，M共线，知此时CE+EF+CF最小，根据∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝150°，可得∠ADC＝60°，∠MCD＝∠CMD＝30°，即得DH=12CD＝500米，CH＝MH=3DH＝5003米，CM＝10003米，由∠ADC＝60°，∠A＝60°，知△ADG是等边三角形，从而CG＝DG﹣CD＝1000米，同理可得CG＝NG＝1000米，∠BNG＝∠BCG＝30°，即得BG=12CG＝500米，BC＝BN=3BG＝5003米，故CN＝10003米＝CM，知∠CNM＝∠CMN＝30°，在Rt△BNE中，BE=BN3=50033=500米，在Rt△MHF答案详解：解：（1）过B作BP⊥AC于P，如图：由垂线段最短可知，BP⊥AC时，BP的值最小，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=AB∵2S△ABC＝AB•BC＝AC•BP，∴BP=AB⋅BC所以答案是：125（2）作E关于直线AC的对称点E'，连接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，如图：∵E，E'关于直线AC对称，∴PE＝PE'，∴PB+PE＝PB+PE'，∵B，P，E'共线，∴此时PB+PE最小，最小值为BE'的长度，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴∠ACB＝45°，∵点E是BC的中点，∴CE＝1，∵E，E'关于直线AC对称，∴∠ACE'＝∠ACB＝45°，CE＝CE'＝1，∴∠BCE'＝90°，在Rt△BCE'中，BE'=B∴PB+PE的最小值为5；（3）作C关于AD的对称点M，连接DM，CM，CM交AD于H，作C关于AB的对称点N，连接BN，延长DC，AB交于G，连接NG，连接MN交AB于E，交AD于F，如图：∵C，N关于AB对称，C，M关于AD对称，∴CE＝NE，CF＝MF，∴CE+EF+CF＝NE+EF+MF，∵N，E，F，M共线，∴此时CE+EF+CF最小，∵∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝150°，∴∠ADC＝60°，∵C，M关于AD对称，∴∠MDH＝∠CDH＝60°，∠CHD＝∠MHD＝90°，CD＝MD＝1000米，∴∠MCD＝∠CMD＝30°，∴DH=12CD＝500米，CH＝MH=3DH＝∴CM＝10003米，∵∠ADC＝60°，∠A＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴DG＝AD＝2000米，∴CG＝DG﹣CD＝1000米，∵∠BCD＝150°，∴∠BCG＝30°，∵C，N关于AB对称，∠ABC＝90°，∴C，B，N共线，CG＝NG＝1000米，∠BNG＝∠BCG＝30°，∴BG=12CG＝500米，BC＝BN=3BG＝∴CN＝10003米＝CM，∴∠CNM＝∠CMN，∵∠BCD＝150°，∠MCD＝30°，∴∠NCM＝120°，∴∠CNM＝∠CMN＝30°，在Rt△BNE中，BE=BN3在Rt△MHF中，FH=MH3∴DF＝FH+DH＝500+500＝1000（米），答：BE的长为500米，DF的长为1000米．17．如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．试题分析：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），则PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，由题意可得方程|t2﹣3t|=12|2﹣2t（3）由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G（2，0），作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，则3AP+4DQ＝4（DQ+34AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，利用对称性和∠OBC＝45°，求出A'（2，3），求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组y=-x+2y=3x-3，可求点Q（54答案详解：解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴-9+3b+c=0解得b=2c=3∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标（1，4）；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴3k+b=0b=3解得k=-∴y＝﹣x+3，设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），∴PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，∵PM=12∴|t2﹣3t|=12|2﹣2t解得t＝1+2或t＝1-2或t＝2+3或t＝∴P点横坐标为1+2或1-2或2+3或（3）过Q点作QG∥BC，∵C（0，3），D点与C点关于x轴对称，∴D（0，﹣3），令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），∴AB＝4，∵AQ＝3PQ，∴AQAP∴34∴AG＝3，∴G（2，0），∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，∵AQ＝A'Q，∴AQ+DQ＝A'Q+DQ≥A'D，∴3AP+4DQ＝4（DQ+34AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'∵∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG，∴∠A'AG＝45°，∵AG＝A'G，∴∠AA'G＝45°，∴∠AGA'＝90°，∴A'（2，3），设直线DA'的解析式为y＝kx+b，∴b=-解得k=3b=-3∴y＝3x﹣3，同理可求直线QG的解析式为y＝﹣x+2，联立方程组y=-解得x=5∴Q（54，3∴DQ=518．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+4，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），根据旋转性质得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，则P（1+t，4﹣t），然后把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+4得到关于t的方程，从而解方程求出t，即可得到点P的坐标；（3）P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（1，﹣1），找出点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1），连接PF交y轴于M，则MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小，然后利用待定系数法求出直线PF的解析式，即可得到点M的坐标．答案详解：解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得-1解得：b=2c=3∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），∵线段DC绕点D按