专题15函数中的面积问题

专题15函数中的面积问题函数中面积问题一般包括面积的最大值和最小值或者等于某个数值的问题。在解决函数中的面积问题时，通常需要过三角形或多边形的一个端点，做坐标轴的平行线，把三角形或多边形进行割补呈三角形，从而用坐标将三角形的底和高表达出来。如图，。 （2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，+m+），则N（m，m+），可得S△MBC=•MN•OB=+，再求解即可；（3）设Q（0，t），P（m，+m+），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．【答案】(1)，(2)，当时，S有最大值为(3)满足条件的点P坐标为，，【详解】（1）解：把点和分别代入可得，解得∴抛物线的解析式为把代入可得∴；（2）解：作直线，作轴交直线于点N设直线的解析式为（）把点和分别代入可得解得∴直线的解析式为设点M的横坐标为m∴，∴∴（）∴当时，S有最大值为把代入可得∴；（3）解：当以为边时，只要，且即可∴点P的横坐标为4或4把代入可得把代入可得∴此时，当以为对角线时，作轴于点H∵四边形是平行四边形∴∴在和中∴∴∴∴点P的横坐标为2把代入可得∴此时综上所述，满足条件的点P坐标为，，本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键。（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38．(1)求反比例函数及一次函数的解析式；(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值．（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再利用四边形的面积为38．求出，进一步利用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）平移一次函数与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：，联立，解得：，进一步求出：，即，连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，根据以及点的坐标即可求出的面积．【答案】(1)，；(2)，．【详解】（1）解：∵在上，∴，即反比例函数解析式为：，设，∵四边形的面积为38．∴，整理得：，解得：（舍去），，∴，将和代入可得：解得：，∴一次函数解析式为：．（2）解：平移一次函数到第三象限，与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：，联立可得：，整理得：，∵有唯一交点P，∴，解得：或（舍去），将代入得：，解得：经检验：是分式方程的根，∴，连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，则：，∵，，，∴，，，∴．本题考查一次函数和反比例函数的综合，难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握平行线之间的距离，解分式方程，解一元二次方程知识点。（2022·辽宁大连·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接．(1)求点B，点C的坐标；(2)如图1，点在线段上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，，连接，设的面积为，的面积为，，当S取最大值时，求m的值；(3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，点P在第一象限的抛物线上，与相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）利用抛物线的解析式，令x=0，可得C的坐标，令y=0，可得A，C的坐标；（2）由可得再分别表示再建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案；（3）如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过作轴于K，连接BD，证明证明求解可得再求解及为再联立：从而可得答案．【答案】(1)(2)当最大时，(3)【详解】（1）解：∵，令则令则解得：∴（2）∵∴而∴∴当最大时，则（3）如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过作轴于K，连接BD，，∵抛物线∴顶点轴，∴设为解得∴为联立：解得：所以本题考查的是二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，函数的交点坐标问题，求解Q的坐标是解本题的关键．1．（2023·广东佛山·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点，若点关于轴的对称点在一次函数的图象上．(1)求的值；(2)若一次函数与一次函数交于，且点关于原点的对称点为点．求过，，三点对应的二次函数表达式；(3)为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点．①当四边形为菱形时，求点的坐标；②若点的横坐标为，当为何值时，四边形的面积最大？请说明理由．【答案】(1)(2)(3)①或；②当时，四边形的面积最大．理由见解析【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，点关于轴的对称点在一次函数的图象上，点坐标为，点坐标为，点在一次函数的图象上，，；（2）解：由方程组，解得，点坐标为，又点为点关于原点的对称点，点坐标为，一次函数与轴交于点，点坐标为，设二次函数对应的函数表达式为，把，，三点的坐标分别代入，得，解得，二次函数对应的函数表达式为；（3）①当四边形为菱形时，，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为．联立方程组．解得或，点坐标为或；②当时，四边形的面积最大．理由如下：如图，过作，垂足为，过作轴的垂线，交直线于点，易知，线段的长固定不变，当最大时，四边形的面积最大，易知（固定不变），当最大时，也最大，点在二次函数图象上，点在一次函数的图象上，点坐标为，点坐标为，，当时，有最大值1，此时有最大值，即四边形的面积最大．2．（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图：直线交y轴丁点D，交x轴于点，交抛物线于点，点E．点在抛物线上，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线ABC做匀速运动，当点Q与点C重合时停止运动，设运动的时间为t秒，的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在（2）的条件下，若，请直接写出此时t的值．【答案】(1)(2)(3)或【思路分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）求出直线的解析式，得到，交y轴于点H，分两种情况：①当时，Q点线段上，②当时，Q点在线段上，分别求出解析式即可；（3）连接，则得到菱形，得到，推出，再分两种情况：①当点Q运动到边上时，②当点Q运动到上时，分别求出t的值．【详解】（1）解：将点A、B坐标代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）将、分别代入，得，解得，∴直线的解析式为，令，则，∴如图，交y轴于点H，则，∴，由A,B,C坐标知，①当时，Q点线段上，∴，②当时，Q点在线段上，由、求得，∴，，∴∴，∴，综上，（3）连接，则得到菱形，∴，∴，∵，∴，∵，∴；①当点Q运动到边上时，如答图2，则，∵，∴，∵，∴，∴；②当点Q运动到上时，如答图3，∵，∴，∴，即，∴，∴，综上，若，此时t的值为或．3．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，动点在原抛物线的对称轴上，点为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．【答案】(1)(2)当时，取得最大值，最大值为1，此时点的坐标为(3)点的坐标为，，【思路分析】（1）将，代入抛物线，列方程组求解即可得到答案；（2）延长交轴于点，设直线的函数表达式为，将，代入列方程组求解得出解析式，设，根据轴得到，，根据三角形面积公式用t表示出，利用函数性质即可得到最值；（3）根据，得到，结合抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，得到新抛物线解析式，设点，根据平行四边形对角线互相平分分类讨论根据中点坐标公式即可得到答案．【详解】（1）解：将，代入抛物线得，，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）解：如图，延长交轴于点，设直线的函数表达式为，∵，，∴，解得，∴直线的函数表达式为，设，其中，∴，，∴，∵，，∴，∴当时，取得最大值，最大值为1，此时点的坐标为；（3）解：∵，，∴，∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，∴抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，∴平移后的抛物线解析式为，∵点在原抛物线对称轴上，∴设点，①当以为对角线时，，即，∴，∵点为新抛物线上一点，∴，②当以为对角线时，，即，，∵点为新抛物线上一点，∴，③当以为对角线时，，即，，∵点为新抛物线上一点，∴，综上所述，点的坐标为，，．4．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图，直线与双曲线交于A、B两点，M是第一象限内的双曲线上任意一点．(1)若点A坐标为，求M点坐标．(2)若，连接，若的面积是34，求k值．(3)设直线分别与x轴相交于P、Q两点，且，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)2【思路分析】（1）把点代入可求得反比例函数解析式，进而可得点B的坐标，设，运用勾股定理即可求得答案；（2）设，则，代入代入可求得，，则，，过点O作交于点D，过点B作轴于点E，过点D作轴于点F，可证得，进而求得点D的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，联立方程组可求得点M的坐标，再由的面积是34，建立方程求解即可得出答案；（3）设，代入得：，联立方程组求出A、B两点的坐标，过点A、B、M分别作x轴的垂线，垂足分别为G、K、H，过点M作x轴的平行线交于R，交于L，利用相似三角形性质即可得出：，，再由，得出：，从而得出的值．【详解】（1）解：把点代入得：，∴反比例函数解析式为，∵，∴由反比例函数与正比例函数图象的对称性可得点B坐标为，设，又，∴，，，∵，∴，整理化简得，∴，解得（与A重合，舍去）或（舍去）或或（舍去），∴；（2）设，则，将代入，得：，∴，∴，则，∴，如图2，过点O作交于点D，过点B作轴于点E，过点D作轴于点F，则，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴∴，∴，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，联立方程组，得：，解得：或，，∵M是第一象限内的双曲线上任意一点，∴，∴，过点A作于点H，则，∴，∵的面积是34，∴，即，∴，∴；（3）设代入得：，∴，解得：，，∴，过点A、B、M分别作x轴的垂线，垂足分别为G、K、H，过点M作x轴的平行线交于R，交于L，则，，，∵，∴∴，，∵，∴，∴，∴的值为2．5．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于两点．(1)求出抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点D，使得是以线段为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)点P是线段上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作轴于点C，交于点N，若的面积满足，求出的值，并求出此时点M的坐标．【答案】(1)(2)存在，D点坐标为或或(3)，M点坐标为【思路分析】（1）利用待定系数法来求解；（2）分两种情况来求解：点D在x轴上和点D在y轴上．当点D在x轴上时，过点A作轴于点D，易求D点的坐标；当点D在y轴上时，设，在中利用勾股定理可求得d的值，可的答案；（3）过P作于点F，易证，从而得到，在中和在中利用三角函数得出，设，则，利用和之间的面积关系，进而表示出M的坐标，再根据M点在抛物线上求出a的值，进而得到答案．【详解】（1）解：∵两点在抛物线的图像上，∴，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：存在三个点满足题意，理由如下：当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，∵，∴D坐标为；当点D在y轴上时，设，则，且，∵是以为斜边的直角三角形，∴，即，解得，或∴D点坐标为或；综上可知存在满足条件的D点，其坐标为或或；（3）解：如图2，过P作于点F，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，设，则，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴M点坐标为，又M点在抛物线上，代入可得，解得或（舍去），，，∴点M的坐标为．6．（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标．【答案】(1)(2)存在；，，(3)，【思路分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出的值，以点C为圆心，为半径作弧，交对称轴于；以点D为圆心为半径作圆交对称轴于点，，作垂直于对称轴于点H，由等腰三角形的性质就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出直线的解析式，从而可设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形的面积可求出S与的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．【详解】（1）解：已知抛物线经过点，，则，解得，抛物线表达式为：；（2）解：由（1）可知抛物线对称轴为直线，则点坐标为，的长为,如图1所示，使是以为腰的等腰三角形的点有，，三种情况，其中，过点作,

垂足为点，，，，，，，，综上可得，在抛物线的对称轴上存在点P，使是以为腰的等腰三角形，P点的坐标为，，，；（3）解：根据题意作图2，过点作,垂足为点，令，则，，，故点坐标为，，设直线解析式为，过点，，，解得，则直线解析式为，设，，，，故时，四边形的面积取得最大值为，此时点坐标为，．7．（2022·山东济南·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是，，连接．(1)求抛物线的表达式；(2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接BP，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标．【答案】(1)(2)点不在抛物线的对称轴上，理由见解析(3)【思路分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式；（2）抛物线的表达式为，可证明，继而可证，则将沿所在直线折叠，点D一定落在直线上，延长至D，使，过点D作轴交y轴于点E，可证，可得点D横坐标．则可判断D点是否在抛物线对称轴上；（3）先求出过点、的直线解析式，分别过A、P作x轴的垂线，利用解析式，用同一个字母m表示出P，N的坐标，再证明，进而用m表示出的值，根据二次函数的性质可以确定出的最大值，进而可确定出此时的P点坐标．【详解】（1）解：∵抛物线过点，，∴，解得：，∴抛物线的表达式为．（2）解：点不在抛物线的对称轴上，理由是：∵抛物线的表达式为，∴点坐标为．∵，，∴．又∵，∴，∴，∴，∴．∴将沿所在直线折叠，点一定落在直线上，延长至，使，过点作轴交轴于点．又∵，∴，∴，则点横坐标为，∵抛物线的对称轴为直线，∴点不在抛物线的对称轴上．（3）解：设过点、的直线表达式为，∵，，∴，解得：，∴过点、的直线解析式为．过点作轴的垂线交的延长线于点，∵当时，，∴点坐标为，∴．过点作轴的垂线交于点，设点坐标为，则点坐标为，∴，∵，∴，∴．若分别以、为底计算和的面积（同高不等底），则与的面积比为，即，∴．∵，∴当时，的最大值为，此时点坐标为．8．（2022·湖北武汉·校考三模）已知抛物线．(1)若该抛物线的顶点坐标为，求其解析式；(2)如图，已知抛物线的顶点在直线上滑动，且与直线交于另一点，与轴的右交点为，若的面积为，求抛物线顶点的坐标；(3)如图，在（1）的条件下，抛物线与轴正半轴交于点、为轴上的两个不同的动点，且，射线、分别与抛物线交于、两点，求的值．【答案】(1)(2)(3)【思路分析】（1）用顶点式求出抛物线表达式，即可求解；（2）利用可求点，即可求解；（3）确定直线的表达式为：，直线表达式与抛物线表达式联立，可求出点坐标，即可求解．【详解】（1）解：用顶点式抛物线表达式得：，令，则或，即点；（2）设点、的坐标分别为、、，则，将抛物线与直线方程联立并整理得：，则：，则，，由直线的表达式得：，设直线与轴的交点为，则点，，则：，则点；将点坐标代入二次函数表达式得：，联立并解得：不合题意值已舍去，则点坐标为（3）设，令，则或，即点则点、点，将点、的坐标代入一次函数表达：并解得：直线的表达式为：，联立并解得：，同理可得：，，，则：．9．（2022·甘肃平凉·统考二模）如图，抛物线与轴交于，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析