第十六章二次根式（知识归纳题型突破）

第十六章二次根式（知识归纳+题型突破）1.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.知识点一、二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.特别说明：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质特别说明：（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.特别说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.知识点二、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：特别说明：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如【题型一二次根式的定义】例题：（2023下·浙江丽水·八年级期末）下列式子一定不是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫二次根式进行判断．【详解】解：．是二次根式，故本选项不符合题意；B．是二次根式，故本选项不符合题意；C．是二次根式，故本选项不符合题意；D．中，不是二次根式，故本选项符合题意；故选：D．【变式训练】1．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）下列式子是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的概念．根据二次根式的定义：形如的式子逐项判断即可．【详解】解：A、被开方数，不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意；B、为三次根式，不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意；C、中，条件，是二次根式，故本选项符合题意；D、，不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意．故选：C．2．下列式子是二次根式的有（

）个A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，逐一判断．【详解】当时，是二次根式；是二次根式，不是二次根式，中，不是二次根式，，是二次根式，，是二次根式，∴，，是二次根式，共3个，故选：B．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的定义（一般形如的代数式叫做二次根式）会判断被开方数的正负是解答关键．3．给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．【详解】解：①∵，∴是二次根式；②6不是二次根式；②∵，∴不是二次根式；④∵，∴，∴是二次根式；⑤∵，∴是二次根式；⑥是三次根式，不是二次根式．所以二次根式有3个．故选：B．【点睛】本题考查的是二次根式的定义，解题时，要注意：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．【题型二二次根式有意义的条件】例题：（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）二次根式中的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数大于等于零可得，求解即可，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于零是解此题的关键．【详解】解：由题意得：，解得：，故选：C．【变式训练】1．（2023上·河北石家庄·八年级校考期中）要使二次根式有意义，则的值可以取（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开负数为非负数，即可作答．【详解】解：依题意：，则，A、B、C、D四个选项，满足这个条件的只有D，故选：D．2．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）如果二次根式有意义，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于零及分母不为零得到，进而求解即可，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．【详解】由题意得，解得，故选：D．3．（2023·广东云浮·统考二模）若式子有意义，则x的取值范围是（）A． B．且 C．且 D．【答案】C【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，根据分母不为0，被开方数大于或等于0，解不等式即可．【详解】解：依题意得：且，解得且．故选C．【题型三求二次根式的值】例题：（2023下·浙江丽水·八年级校联考期中）当时，的值为．【答案】4【分析】直接把x的值代入化简即可．【详解】解：当时，．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了二次根式的求值，熟记二次根式的性质是解决此题的关键．【变式训练】1．当时，二次根式的值是_________．【答案】4【分析】把x=2代入二次根式计算可得答案．【详解】解：∵x=2，∴==4．故答案为：4．【点睛】此题考查了二次根式的计算求值，解题的关键是正确代入数值计算．2．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）当时，二次根式的值是．【答案】【分析】将代入原式即可求出答案．【详解】解：当时，．故答案为：．【点睛】本题考查求二次根式的值，二次根式的性质．解题的关键是掌握二次根式的性质．3．已知，则________．【答案】【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论【详解】求解．解：∵，∴与同号，①当，时，原式；②当，时，原式，故答案为：．【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件．【题型四求二次根式中的参数】例题：如果是一个整数，那么最小正整数___________．【答案】2【分析】根据二次根式的定义，可得答案．【详解】解：由二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的性质是解题关键．【变式训练】1．已知有理数满足，则的值是______.【答案】【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∵a，b为有理数，∴，解得，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键．2．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________．【答案】或或【分析】先利用算数平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．【详解】解：由题意得，解得，∵n是正整数，∴∴，∴，∴，∵是整数，∴或或或或，解得或或或或，∵n是正整数，∴或或，故答案为：或或【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．【题型五利用二次根式的性质化简】例题：计算：______．【答案】##【分析】根据二次根式的性质直接求解即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的性质：，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式训练】1．化简：______，______．【答案】

【分析】根据二次根式的性质化简求解即可．【详解】解：，，故答案为：；．【点睛】本题考查二次根式的性质，会利用二次根式的性质正确化简是解答的关键．2．化简：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先将被开方数的分子分母分别写成平方的形式，再利用二次根式的性质化简即可；（2）先将被开方数化成假分数，再将分母有理化即可；（3）直接将分母有理化即可．【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟练分母有理化的方法是解题的关键．【题型六二次根式的乘除运算】例题：（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）计算：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可求解．【详解】解：【变式训练】1．（2023上·上海浦东新·八年级统考期中）计算：【答案】【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简即可．【详解】解：．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除混合运算，正确化简二次根式是解题关键．2．（2023上·上海闵行·八年级统考期中）计算：【答案】24【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）计算：．【答案】【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算，然后合并即可；【详解】解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．4．（2023上·上海闵行·八年级校联考期中）计算：【答案】【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可．【详解】解：．5．（2023上·全国·八年级专题练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．（2）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可．【详解】（1）原式；（2）原式【点睛】本题主要考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．【题型七最简二次根式的判断】例题：下面是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A．，的被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B．，的被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；C．分母中含有二次根号，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D．是最简二次根式，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．理解和掌握最简二次根式的定义是解题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数不能含有分母；②被开方数不含有能开得尽方的因数或因式．【变式训练】1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】解：A、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；B、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；C、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；D、属于最简二次根式，故本选项符合题意．故选：D【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键．2．在二次根式、、、、中，最简二次根式的个数是（）个A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，解答即可．【详解】解：，，，最简二次根式有：、共两个．故选：A．【点睛】本题考查二次根式，熟练掌握最简二次根的性质是解题关键．【题型八同类二次根式】例题：下列二次根式中与是同类二次根式的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答．【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；B、与不是同类二次根式，不符合题意；C、与是同类二次根式，符合题意；D、与不是同类二次根式，不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义．【变式训练】1．下列二次根式中，能与合并的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．【详解】解：A、，故与不能合并，故A不符合题意；B、，故与能合并，故B符合题意；C、与不能合并，故C不符合题意；D、，故与不能合并，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义和二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．2．下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念逐个判断即可．【详解】A：，故和不是同类二次根式，故A选项不符合题意；B：，故和，故B选项不符合题意；C：，故和是同类二次根式，故C选项符合题意；D：和不是同类二次根式，故D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查同类二次根式，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键．【题型九已知同类二次根式求参数】例题：最简二次根式能与进行合并，则________．【答案】2【分析】根据题意可判断最简二次根式和是同类二次根式，即得出，解出m即可．【详解】根据题意可知，解得：．故答案为：2．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的判断．由题意判断出和是同类二次根式是解题关键．【变式训练】1．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______．【答案】1【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可列出关于a的等式，解出a即可．【详解】由题意可知，解得：．故答案为：1．【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式是解题关键．2．若最简二次根式与是同类二次根式，则m=_____________．【答案】3【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，再解出m即可．【详解】由题意得：，解得：．故答案为：3．【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式就叫做同类二次根式是解题关键．【题型十二次根式混合运算】例题：计算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先化简，再算二次根式的加减法即可；（2）先化简，再算括号里的加减法，最后算除法即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是掌握二次根式的运算法则和性质．【变式训练】1．（2023上·河南焦作·八年级统考期中）计算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题关键．（1）先进行二次根式的乘法运算以及化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先根据平方差公式，完全平方公式去括号，最后进行加减运算即可．【详解】（1）解：；（2）．2．（2023下·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）计算下列各题：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)2【分析】根据二次根式的性质以及混合运算法则化简计算即可【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键3．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）计算题：(1)；(2)(3)；(4)(5)(6)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；【分析】（1）分别将各部分化简，再合并即可；（2）先将除法转化成乘法，然后进行乘法运算，再合并即可；（3）分别化简二次根式、负指数幂、利用平方差公式化简二次根式，再合并即可；（4）分别求出立方根、化简绝对值、负指数幂、计算二次根式乘法，再合并即可；（5）分别化简二次根式再进行处罚运算，再合并即可；（6）分别把各部分化简，再合并即可；【详解】（1）解：；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；【点睛】本题考查了负指数幂、二次根式的混合运算，解答关键是熟练掌握相关运算法则．【题型十一已知字母的值，化简求值】例题：（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列代数式的值.(1)；(2).【答案】(1)(2)49【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算．（1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；（2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算