专题02三角函数实际应用(原卷版+解析)

二轮复习【中考冲刺】2023年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题02——三角函数实际应用（成都专用）1．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅GF．如图，已知楼顶到地面的距离GE为18.5米，当小亮站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼方向前行15米到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为42°，若AB，CD均为1.7米（即四边形ABCD为矩形），请你帮助小亮计算：(1)当小亮站在B处时离教学楼的距离BE；(2)求条幅GF的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，2．（2020春·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）如图，某测量员测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1:3（即AB:BC=1:3），且B、C、（1）求斜坡AC的长；（2）请根据以上条件求出树DE的高度．（侧倾器的高度忽略不计）3．（2018秋·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°，小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°（1）求DF的长．（2）求AB的高度（精确到0.1米）．（参考数值：sin20°≈0.34,4．（2020秋·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）如图，海中有一小岛A，一货轮在A岛南偏西54°的B处，由西向东航行，一段时间后到达该岛南偏西25°的C处，货轮从C处继续向东航行44.65海里，此时货轮与岛A的距离最近，求货轮在B处时与小岛A的距离.（精确到0.1海里，参考数据：sin25°≈0.42, cos25°=0.91，5．（2022春·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角，即望向屏幕中心PAP=BP的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP=18°时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD=30°，∠APE=90°，液晶显示屏的宽AB为30（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE．（结果精确到1cm（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，6．（2021·四川成都·成都外国语学校校考二模）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i=1:2.4的山坡AB上发现棵古树CD，测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26m，在距山脚点A处水平距离6m的点E处测得古树顶端D的仰角∠AED=48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD所在直线与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（结果精确到整数）（数据sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，7．（2021春·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）图1所示的是某景区的“关帝圣像”，它从2007年1月开始铸造，共用铜500吨，铁2000吨，甚是伟岸壮观．其侧面示意图如图2所示．在B处测得圣像顶A的仰角为52.8∘，在点E处测得圣像顶A的仰角为63.4°．已知AC⊥BC于点C,EG⊥BC于点G,EF//BC,BG=30米，FC=19米，求圣像的高度AF．(结果保留整数．参考数据：sin52.8∘≈0.80,cos52.8°≈0.60，8．（2021·四川成都·成都外国语学校校考一模）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC=414m，AB=300m（参考数据sin65°≈0.91，cos9．（2018秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．10．（2018秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考阶段练习）一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向．（1）求海警船距离事故船C的距离BC．（2）若海警船以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处大约所需的时间．（温馨提示：sin53°≈0．8，cos53°≈0．6）11．（2019·四川成都·成都外国语学校校考一模）如图，在某校图书馆门前一段笔直的内部道路AB上，过往车辆限速3米/秒在点B的正上方距其7米高的C处有一个探测仪．一辆轿车从点A匀速向点B行驶5秒后此轿车到达D点，探测仪测得∠CAB＝18°，∠CDB＝45°，求AD之间的距离，并判断此轿车是否超速，（结果精确到0.01米）【参考数据：sinl8°＝0.309，cosl8°＝0.951，tanl8°＝0.325】12．（2020秋·四川成都·九年级树德中学校考期中）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°＝0.57，cos35°＝0.82，tan35°＝0.70】13．（2022·四川成都·树德中学校考二模）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走28米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1:0.75、坡长为20米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走60米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，求建筑物AB的高度（参考数据：sin24°≈0.41,14．（2020·四川成都·树德中学校考二模）如图是小花在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小花身高1.5米，当她从点A跑动92米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF＝103米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．15．（2019·四川成都·九年级树德中学校考期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45∘(1)求∠ACB的度数；(2)船C离海岸线l的距离(即CD的长)为多少？(不取近似值)16．（2022·四川成都·石室中学校考一模）小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度、他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影的俯角为60°．若点O到湖面的距离OD＝4m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、三点共线，B＝AB，求小山的高度AB（光线的折射忽略不计；结果保留根号）．17．（2020秋·四川成都·九年级石室中学校考期中）石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的长（精确到0.1，3≈1.73，2≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．18．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）某公园有一滑梯，横截面如图薪示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=23，BF=3米，BC=1米，CD(1)∠D的度数；(2)线段AE的长．19．（2022秋·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考期中）七中育才中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走7米到C处再测得B点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上．(1)求∠ABC的度数；(2)求新教学楼OB的高度．(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4320．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP图1（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN=68.6°，小红与测温员之间距离为50cm问此时枪身端点（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°=0.40，sin23.6°≈0.40二轮复习【中考冲刺】2023年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题02——三角函数实际应用（成都专用）1．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅GF．如图，已知楼顶到地面的距离GE为18.5米，当小亮站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼方向前行15米到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为42°，若AB，CD均为1.7米（即四边形ABCD为矩形），请你帮助小亮计算：(1)当小亮站在B处时离教学楼的距离BE；(2)求条幅GF的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，【答案】(1)小亮站在B处时离教学楼的距离BE为22.4米(2)条幅GF的长度约为10.1米【分析】（1）延长AC交GE于H，根据矩形的性质得到AB=CD=EH=1.7（2）由（1）知CH=7.4米，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）解：延长AC交GE于H，则AB=CD=EH=1.7∵GE=18.5∴HG=在Rt△AGH中，∴tan37°=∴CH=7.4∴BE=（2）解：由（1）知CH=7.4米，在Rt△FCH中，∵∴tan42°=∴FH=6.66∴FG=答：条幅GF的长度约为10.1米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2020春·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）如图，某测量员测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1:3（即AB:BC=1:3），且B、C、（1）求斜坡AC的长；（2）请根据以上条件求出树DE的高度．（侧倾器的高度忽略不计）【答案】（1）AC=6米；（2）树高为9米．【分析】（1）过点A作AF⊥DE于F，构造矩形ABEF，设DE=x，在Rt△CDE中，利用正切定义解得CE=（2）在Rt△AFD中，设DE=x，DF=【详解】解：（1）如图，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴AF=设DE=在Rt△CDE中，在Rt△ABC中，∴tan∵ABBC=1∴BC=3AC=（2）在Rt△AFD中，∴AF=∵AF=∴3(解得x=9答：树高为9米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及正切、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3．（2018秋·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°，小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°（1）求DF的长．（2）求AB的高度（精确到0.1米）．（参考数值：sin20°≈0.34,【答案】（1）10米；（2）6.4米．【分析】（1）解直角三角形BCD来求CD的长度，则DF=CD+CF；（2）由（1）求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGE中即可求得BG的长，从而求得树高．【详解】（1）在Rt△BCD中，CD∴DF答：DF的长为10米．（2）在Rt△AGE中，∵∠∴AG在Rt△BGE中，∴AB答：树AB的高约为6.4米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．4．（2020秋·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）如图，海中有一小岛A，一货轮在A岛南偏西54°的B处，由西向东航行，一段时间后到达该岛南偏西25°的C处，货轮从C处继续向东航行44.65海里，此时货轮与岛A的距离最近，求货轮在B处时与小岛A的距离.（精确到0.1海里，参考数据：sin25°≈0.42, cos25°=0.91，【答案】158.3海里．【分析】过点A作AH⊥BC于H，构造直角三角形，在Rt△ACH中，利用正切定义解得AH的值，在Rt△ABH中，由余弦定义可解得【详解】过点A作AH⊥BC于由题意知：CH=44.65∵∠BAH∴在Rt△ACH中，tan∠∴AH在Rt△ABH中，cos∠∴AB答：B处与小岛A的距离为158.3海里．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及正切、余弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．（2022春·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角，即望向屏幕中心PAP=BP的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP=18°时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD=30°，∠APE=90°，液晶显示屏的宽AB为30（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE．（结果精确到1cm（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，【答案】（1）48cm；（2）34cm【分析】（1）由已知得AP=BP=12AB=15cm，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC．【详解】解：（1）由已知得AP=BP=1在Rt△∵sin∠AEP∴AE答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为48cm；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点∵∠EAB+∠BAF∴∠BAF在Rt△AF=BF=∵BF∴∠CBF∴CF∴AC答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．6．（2021·四川成都·成都外国语学校校考二模）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i=1:2.4的山坡AB上发现棵古树CD，测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26m，在距山脚点A处水平距离6m的点E处测得古树顶端D的仰角∠AED=48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD所在直线与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（结果精确到整数）（数据sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，【答案】古树CD的高度约为23米．【分析】延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，令CF＝k，则AF＝2.4k，根据勾股定理求出k=10，得到AF＝24m，CF＝10m，EF＝30m，再根据锐角三角函数求出DF即可得到答案．【详解】解：延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，∵山坡AC上坡度i＝1：2.4，∴令CF＝k，则AF＝2.4k，在Rt△ACF中，由勾股定理得，CF2+AF2＝AC2，∴k2+（2.4k）2＝262，解得k＝10，∴AF＝24m，CF＝10m，∴EF＝30m，在Rt△DEF中，tanE＝DFEF∴DF＝EF•tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3m，∴CD＝DF﹣CF＝23.3m≈23m，∴古树CD的高度约为23m．【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理解题意，构建直角三角形利用锐角三角函数解决问题是解题的关键．7．（2021春·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）图1所示的是某景区的“关帝圣像”，它从2007年1月开始铸造，共用铜500吨，铁2000吨，甚是伟岸壮观．其侧面示意图如图2所示．在B处测得圣像顶A的仰角为52.8∘，在点E处测得圣像顶A的仰角为63.4°．已知AC⊥BC于点C,EG⊥BC于点G,EF//BC,BG=30米，FC=19米，求圣像的高度AF．(结果保留整数．参考数据：sin52.8∘≈0.80,cos52.8°≈0.60，【答案】圣像的高度AF约为61米【分析】设圣像的高度AF约为x米，根据已知RtΔAEF中tan∠AEF的值用x表示EF的长，根据EF=GC进而可求出BC的长，从而利用RtΔACB中tan∠【详解】解：设AF=x米，∵AC⊥∴四边形FCGE为矩形，∴EF=在RtΔAEF中，tan∠∴EF=∴GC=∵BG=30∴BC=(30+在RtΔACB中，tan∠tan52.8°=∴x+19解得x≈61答：圣像的高度AF约为61米．【点睛】本题主要考查三角函数．解题的关键在于在直角三角形中，根据三角函数的定义，结合已知条件，列出关于x的方程，求解方程即可得解．8．（2021·四川成都·成都外国语学校校考一模）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC=414m，AB=300m（参考数据sin65°≈0.91，cos【答案】214m.【分析】过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE=x，根据BE=DF=CF，列方程可得结论．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE=在Rt△ADE中，∠AED=90∵tan∠DAE∴AE=∴BE=300−又BF=∴CF=414−在Rt△CDF中，∠DFC=90∴DF=又BE=即：300−x解得：x=214故：点D到AB的距离是214m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确根据三角函数列方程是解题的关键．9．（2018秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．【答案】（1）6；（2）1+【详解】试题分析：（1）设DE=x，可得EF=DE﹣DF=x﹣2，从而得AF=3（x﹣2），再求出CD=33x、BC的长，根据AF=BD可得关于x（2）延长NM交DB延长线于点P，知AM=BP=3，由（1）得CD=33x=23、BC=23，根据NP=PD且AB试题解析：（1）如图，设DE=x，∵AB=DF=2，∴EF=DE﹣DF=x﹣2，∵∠EAF=30°，∴AF=EFtan∠EAF=x−233=3(x−2)，又∵CD=DEtan∠DCE=x3=33x，BC=ABtan∠ACB=233=23，∴BD=BC+CD=23+33x，由AF（2）延长NM交DB延长线于点P，则AM=BP=3，由（1）知CD=33x=33×6=23，BC=23，∴PD=BP+BC+CD=3+23+23=3+43，∵∠NDP=45°，且MP=AB=2，∴NP=PD=3+43，∴NM=NP﹣MP=3+43点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．10．（2018秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考阶段练习）一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向．（1）求海警船距离事故船C的距离BC．（2）若海警船以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处大约所需的时间．（温馨提示：sin53°≈0．8，cos53°≈0．6）【答案】（1）50海里，（2）54【分析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=12AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=CD【详解】如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=12在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°-37°=53°，∴BC=CDsin∠CBD≈∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=5411．（2019·四川成都·成都外国语学校校考一模）如图，在某校图书馆门前一段笔直的内部道路AB上，过往车辆限速3米/秒在点B的正上方距其7米高的C处有一个探测仪．一辆轿车从点A匀速向点B行驶5秒后此轿车到达D点，探测仪测得∠CAB＝18°，∠CDB＝45°，求AD之间的距离，并判断此轿车是否超速，（结果精确到0.01米）【参考数据：sinl8°＝0.309，cosl8°＝0.951，tanl8°＝0.325】【答案】此轿车没有超速【分析】根据直角三角形的性质和三角函数解答即可．【详解】由题意可得：在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠CDB＝45°，∴∠DCB＝∠CDB＝45°，∴BC＝BD＝7，在Rt△ABC中，∠BAC＝18°，BC＝7，tan∠BAC＝BCAB∴AB=BCtan∠BAC=70.325∴AD＝21.538﹣7＝14.538≈14.54，14.54÷5≈2.91＜3，答：AD之间的距离约为14.54米，此轿车没有超速．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是构造出直角三角形，掌握三角函数定义．12．（2020秋·四川成都·九年级树德中学校考期中）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°＝0.57，cos35°＝0.82，tan35°＝0.70】【答案】热气球离地面的高度约为233m【分析】过点A作AD⊥BC交CB的延长线于点D，用含有AD的式子表示出DB和DC，列出方程，解方程即可求得．【详解】解：如图：过点A作AD⊥BC交CB的延长线于点D，由题意知：∠ABD=45°，∠ACD=35°，BC=100m．∵在Rt△ADB中，tan∠ABD=AD∴BD∵在Rt△ACD中，tan∠ACD=AD∴CD=∵CD=BD+BC∴AD∴AD≈233答：热气球离地面的高度约为233m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．13．（2022·四川成都·树德中学校考二模）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走28米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1:0.75、坡长为20米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走60米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，求建筑物AB的高度（参考数据：sin24°≈0.41,【答案】建筑物AB的高度约为29米．【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=AM【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵CNDN=10.75=43，设CN∵CD＝20，∴(3k)2＋(4k)2＝400，∴k＝4，∴CN＝16，DN＝12，∵BM⊥ED，CN⊥DM，BM⊥BC，∴四边形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝16，BC＝MN＝28，EM＝MN＋DN＋DE＝100，在Rt△AEM中，tan24°＝AMEM∴0.45≈16+∴AB＝29答：建筑物AB的高度约为29米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．14．（2020·四川成都·树德中学校考二模）如图是小花在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小花身高1.5米，当她从点A跑动92米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF＝103米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．【答案】风筝原来的高度为272【分析】设AF＝x，则BF＝AB+AF＝92+x，在Rt△BEF中求得AD=BE=BFcos∠EBF=18+2x，由cos∠CAD=AC【详解】解：设AF＝x，则BF＝AB+AF＝92+x，在Rt△BEF中，BE＝BFcos由题意知AD＝BE＝18+2x，∵CF＝103，∴AC＝AF+CF＝103+x，由cos∠CAD＝ACAD可得3解得：x＝32+23，则AD＝18+2（32+23）＝24+26，∴CD＝ADsin∠CAD＝（24+26）×12＝12+6则C1D＝CD+C1C＝12+6+32＝272+答：风筝原来的高度C1D为（272+6【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，三角函数的定义以及根据题意找到两直角三角形间的关联是解答本题的关键．15．（2019·四川成都·九年级树德中学校考期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45∘(1)求∠ACB的度数；(2)船C离海岸线l的距离(即CD的长)为多少？(不取近似值)【答案】（1）22.5∘（2）【分析】(1)根据三角形的外角的性质计算；(2)作BE//AC交CD于E，求出【详解】(1)由题意得，∠CBD=90∘∴∠ACB(2)作BE//则∠EBD=∴DB∵DA∴CE∵∠ACD=45∴∠BCD∴∠CBE∴∠CBE∴BE∴DE∴CD答：船C离海岸线l的距离为(2+2【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键．16．（2022·四川成都·石室中学校考一模）小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度、他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影的俯角为60°．若点O到湖面的距离OD＝4m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、三点共线，B＝AB，求小山的高度AB（光线的折射忽略不计；结果保留根号）．【答案】(8+43【分析】过点O作OE⊥AB于E，设AE=xm，则AB=（x+4）m，A'E=（x+8）m，由∠AOE=45°，可知OE=AE=xm，再由tan60°=A'【详解】解：过点O作OE⊥AB于点E，则BE=OD=4m，设AE=xm，则AB=（x+4）m，A'E=（∵∠AOE=45°，∴OE=AE=xm，∵∠A∴tan60°=A'即x+8x解得x=4+43∴AB=4+4+43答∶小山的高度AB为(8+43【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．17．（2020秋·四川成都·九年级石室中学校考期中）石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的长（精确到0.1，3≈1.73，2≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．【答案】（1）17.3米；（2）超速，理由见解析【分析】（1）根据特殊角三角函数先求出BC和BD的长，进而可得CD的长；（2）先进行单位换算，再用路程除以时间求出速度进行比较即可．【详解】（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，∴BC＝ABtan60°＝15在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，∴BD＝3AB＝153米，∴CD＝BD﹣BC＝103≈17.3米，∴CD的长为17.3米；（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝253而103÷2≈8.66＞253∴汽车超速．【点睛】本题考查了解直角三角形在实际问题中的应用．在直角三角形中，已知一锐角和一边，利用三角函数求得其中一边，再用三角函数或勾股定理可求得第三边．18．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）某公园有一滑梯，横截面如图薪示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=23，BF=3米，BC=1米，CD(1)∠D的度数；(2)线段AE的长．【答案】(1)30°(2)3【分析】（1）已知了CD、CE（即BF）的长，可在Rt△CED中求出∠D的正弦值，进而可求出∠D的度