北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》同步测试题及答案

第第页北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》同步测试题及答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，E，F分别是AB，DC上的动点，若EF∥BC，则AF+CE的最小值是（）A．8 B．73 C．10 D．112．如图，在等边△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC边的中点，BC=8；在AD上有一动点Q，则QC+QE的最小值为（）A．43 B．23 C．4 D．83．如图，在△ABC中，BC=26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若A．10 B．12 C．13 D．144．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DA=DB=15，△ABD的面积为90，则AC的长是（）A．9 B．12 C．314 5．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm6．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝35，AE=3A．12 B．2 C．52 7．如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为（）A．6cm2 B．7.5cm2 C．10cm28．如图，∠A=30∘，∠B=60∘，AB=8，点C，D分别在∠A，∠B的另一边上运动，并保持CD=4，点M在边BCA．25+2 B．27+2 C．9．在△ABC中，已知AB=AC=35，BC=6，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E，点F和点G分别是线段DE和BC边上的动点，则CF+FGA．36 B．6 C．35 10．在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=3，E在AB边上，F为对角线AC上一动点，连接BF，EF，则BF+EF的最小值为（）A．3 B．23 C．2 D．二、填空题11．如图．在△ABC中．以AC为边在△ABC外部作等腰△ACD．使AC＝AD．且∠DAC＝2∠ABC，连接BD．作AH⊥BC于点H．若AH＝32，BC＝4，则BD＝12．如图，△ABC和△DCE都是边长为1的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为．13．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，E、F分别是AB和DC上的两个动点，M为BC的中点，则（1）DE+EF+FM的最小值是；（2）若∠EFD=45°，则DE+EF+FM的最小值为.14．如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一点．若AD=6，∠CAD=15°，则AB的长为15．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则CF的长为．三、解答题16．已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，（1）求BC的长；（2）求AE的长；（3）求BD的长17．如图，在△ABF中，∠A=90°，点E是边BF的中点，点D是边BF上一点，连接DE并延长至C，使得BC⊥AB，连接BD，CF．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形：（2）若BF平分∠CBD，AB=4，AF=8，求四边形BDFC的面积．18．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，D、E分别是AB、BC的中点，若DB=3，求BE的长．19．如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE=DF，AD=2，BC=6，求四边形AEDF的周长．20．探究与证明

[问题情境]

数学课上，老师让同学们按已知条件画图：已知：一个等腰直角△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点P是AB边上的一动点，连接CP，以线段CP为腰作等腰直角△PCD，∠PCD=90°．（1）[实践探究]

如图，小强画好图形，他发现∠PBD=90°.请你帮他完成证明．（2）[独立思考]

老师给出条件：AP=2，AC=4，请求出CP的长.（3）[深入探究]

小强继续探究，他发现当△PCD的面积最小时，线段CP与线段AB之间存在一定的位置关系和数量关系，请你写出它们的位置关系和数量关系，并说明理由．参考答案1．【答案】C2．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示，∵△ABC是等边三角形，BC=8，∴AC=8，连接BE，∵AD平分∠BAC，∴AD是BC的中垂线，

∴QB=QC，∴线段BE的长即为QE+QC最小值，∵点E是边AC的中点，∴CE=AE=4，BE⊥AC，∴BE=B∴QE+QC的最小值是43故答案为：A.【分析】根据等边三角形的三线合一得AD是BC的中垂线，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得BQ=CQ，从而可得线段BE的长即为QE+QC最小值，再根据等边三角形的三线合一得CE=AE=4，BE⊥AC，最后根据勾股定理算出BE的长即可.3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】D【解析】【解答】解：延长AD，BC交于点E，作点M关于AB的对称点M'，连接BM'，MM'，EM'，则PM=PM'，过点M'作M'F⊥CB交CB的延长线于点F，如图：∵∠A=30°，∠B=60°，

∴∠CED=90°，

∵CD=4，N是CD的中点，连接EN，

∴NE=12CD=2.

∵点C，D分别在∠A，∠B的另一边上运动，

∴点N在以E为圆心，半径为2的圆位于△ABE的内部的弧上运动，

∴PM+PN+EN<PM'+PN+EN≥EM'，

当E、N、P、M'四点在同一条直线上时，PM'+PN+EN最小，为EM'，即(PM+PN)min=EM'-2.

∵点M'、M关于AB对称，

∴AB垂直平分M'M，

∴BM'=BM=2，∠M'BA=∠MBA=60°=∠M'BF，

∴∠BM'F=30°

∵BM'=BM=2，

∴BF=1，M'F=3，

∵∠A=30°，∠B=60°，AB=8，

∴EB=4，

∴EF=EB+BF=4+1=5，

【分析】延长AD，BC交于点O，作点M关于AB的对称点M'，连接BM'，EM'，MM'，利用轴对称的性质可得PM'=PM，利用直角三角形斜边中线的性质可得NE=19．【答案】B10．【答案】D【解析】【解答】解：连接BD、DF，作DH⊥AB于H.∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∵∠BAD=60°，∴△ADB是等边三角形，∵B、D关于AC对称，∴BF=DF，∴BF+FE=DF+FE，根据垂线段最短可知，当D、F、E共线，且与DH重合时，BF+EF的值最小，最小值为DH的长，在Rt△ADH中，∠BAD=60°，AD=AB=3，∴∠ADH=30°∴AH=1∴DH=A故答案为：D.【分析】连接BD、DF，作DH⊥AB于H，首先判断出△ADB是等边三角形，由菱形的对称性得B、D关于AC对称，则BF=DF，故BF+EF=DF+EF，根据垂线段最短可知，当D、F、E共线，且与DH重合时，BF+EF的值最小，最小值为DH的长，在Rt△ADH中，根据含30°角直角三角形的性质得AH的长，进而根据勾股定理算出DH即可.11．【答案】5【解析】【解答】解：如图，过点B作BE//AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC.并取BE的中点K，连接AK，

∴AH⊥BC于H，

∴∠AHC=90°.

∵BE∥AH，

∴∠EBC=90°.

∵∠EBC=90°，

∴K为BE的中点，BE=2AH，

∴BK=AH.

∵BK∥AH，

∴四边形AKBH为矩形，

∴AK⊥BE，

∴AE=AB，∠EAB=2∠KAB，

∴∠DAC=2∠ABC，

∠KAB=∠ABC，

∴∠EAB=∠DAC，

∴∠EAC=∠BAD，

在△EAC与△BAD中，

AE=AB，∠EAC=∠BAD，AC=AD

∴△EAC≌△BAD（SAS)

∴BD=CE，∵CE=BE2+B【分析】如图，过点B作BE//AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC.并取BE的中点K，连接AK，根据垂直的定义得到∠AHC=90°.由平行线的性质得到∠EBC=90°.由线段垂直平分线的性质得到BK=AH.推出四边形AKBH为矩形，得到AK⊥BE，根据等腰三角形的性质得到AE=AB，∠EAB=2∠KAB，通过△EAC≌△BAD，得到BD=CE，根据勾股定理得到可得到结论.12．【答案】313．【答案】（1）61（2）2【解析】【解答】解：（1）如下图所示，延长DA作点D的关于点A的对称点D'，延长MC作点M的关于点C对称点C'，作DN∥CM可得DE=D∴DE+EF+FM=D∴D'E+EF+FM∵DN∥CM'，且DN=CM∴四边形DNM∵M为BC的中点∴NM'=DC=AB=6∴D'（2）过点E作EP⊥CD于P，∵∠EFD=45°，∴EP=PF=BC=2，∴EF=22则DE+EF+FM=DE+FM+22∴求DE+FM+22的最小值即先求DE+FM过点E作EM'=EM∴DE+FM=DE+EM∴当D，E，M'三点共线时，DE+E此时DE∥FM，∴∠EDP=∠MFC，∠EPD=∠MCF，∴△DEP∽△FMC，∴EPMC设CF=x，则DP=DC−PF−CF=6−2−x=4−x.∴21解得x=4∴CF=43，DE=DP2∴DE+EM∴DE+EF+FM的最小值为5+22故答案为：5+22【分析】（1）延长DA，作点D的关于点A的对称点D′，延长MC作点M的关于点C对称点C′，作DN∥CM′，且DN=CM′，可得D′E+EF+FM=D′E+EF+FM′≥D′M′，由题意可得四边形DNM′C为矩形，结合中点的概念可得NM′=DC=AB=6，D′N=2AD+12（2）过点E作EP⊥CD于P，易得EF=22，则DE+EF+FM=DE+FM+214．【答案】215．【答案】416．【答案】（1）解：△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，

∴BC=A（2）解：∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴CD=DE，∠AED=90°，

在Rt△BDC与Rt△BDE中，

∵CD=ED，BD=BD，

∴Rt△BDC≌Rt△BDE（HL），

∴BE=BC=6，

∴AE=AB-BE=4；（3）解：设CD=DE=x，则AD=8-x，

在Rt△ADE中，由勾股定理得DE2+AE2=AD2，即x2+42=（8-x）2，

解得x=3，即DE=3，

在Rt△BDE中，由勾股定理得BD=B【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理算出BC的长；（2）由角平分线上的点到角两边的距离相等得CD=DE，利用HL判断出Rt△BDC≌Rt△BDE，根据全等三角形的对应边相等得BE=BC=6，进而根据AE=AB-BE即可算出答案；

（3）设CD=DE=x，则AD=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理建立方程求出DE，在Rt△BDE中，由勾股定理即可算出BD的长.17．【答案】（1）证明：∵∠A=90°，BC⊥AB，∴BC∥AF，∴∠BCE=∠FDE，∵点E是边BF的中点，∴BE=FE，∵∠CEB=∠DEF，∴△BCE≌△FDE(AAS)，∴CE=DE，∴四边形BDFC是平行四边形；（2）解：∵BF平分∠CBD，∴∠CFB=∠DFB，∵四边形BDFC是平行四边形∴BD∥CF，∴∠CFB=∠DBF=∠DFB，∴DB=DF，设BD=DF=x，则AD=8−x，在Rt△BAD中，可得方程42解得x=5，∴平行四边形BDFC的面积为5×4=20．18．【答案】219．【答案】解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，

∴AE=BE=12AB，AF=CF=12AC，

∵AB=AC，

∴AE=AF，

在△ADE和△ADF中，，

∴△ADE≌△ADF（SSS），

∴∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，

∴BD=CD=12BC=3，AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴AB=AD2+BD2=22+32=13，

∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，E，F分别是边AB，AC的中点，

【解析】【分析】先由SSS证明△ADE≌△ADF，得出∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，再由等腰三角形的三线合一性质得出BD=CD=12BC=3，AD⊥BC，根据勾股定理求出AB，由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=12AB，DF=20．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠ABC=45°．

∵DCP是等腰直角三角形，∠PCD=90°，

∴CP=CD，∠CPD=∠CDP=45°，

∵∠ACP+∠PCB=∠PCB+∠BCD=90°，

∴∠ACP=∠BCD，

在△ACP与