数学例题与探究：6余弦函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲1.为什么说：在同一坐标系中正、余弦函数的图像的形状相同,只是位置不同？剖析:很多同学观察它们的图像后，知道这一点，但是离开图像就产生怀疑.究其原因是通过观察、归纳得到的结论没有加以证明.其突破方法是数形结合，要从数和形两方面来分析.我们知道函数的图像经过左右平移后,其形状未发生变化，但在坐标系中的位置变化了.类似于一个人从北京到纽约，这个人还是他本人，只是他的地理位置改变了。由平移变换，知函数f(x）=sinx的图像向左平移个单位得函数f(x+）=sin（x+）.根据诱导公式sin（x+)=cosx知平移后的函数就是余弦函数f（x）=cosx的图像，由此可见在同一坐标系中正、余弦函数的图像的形状相同,只是位置不同.由于sin(2kπ++x)=cosx(k∈N）、sin(—2kπ—+x）=cosx(k∈N）,则将正弦函数的图像向左平移2kπ+(k∈N）个单位或向右平移2kπ+（k∈N)个单位均得到余弦函数的图像。通过数和形两方面来分析,就真正明确了其中的正、余弦函数图像的关系，有利于帮助我们解决问题.2.正、余弦函数的诱导公式如何记忆？剖析：诱导公式太多，记不住。其突破路径是从以下几个方面找出规律：函数名称怎样变化；这些角和角α有何共同特点；诱导公式右边的符号有什么变化规律.（1)-α，π±α，2π—α，2kπ+α（k∈Z)的三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”。(2)—α，+α的三角函数值,等于α的余名三角函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”。（3）这两套公式可以归纳为：k·+α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,概括为“奇变偶不变,符号看象限”,这里的奇指k的奇偶。典题精讲例1根据余弦函数的图像，求满足cosx≥-的x的集合.思路分析：在一个周期［-π,π]内，找出满足不等式的x，再拓展到全体实数即可.解:余弦函数在［-π，π］内的图像如图1-5-5所示.图1—5-5由图，得在［-π，π］内,-≤x≤。则满足cosx≥—的x的集合是｛x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}。绿色通道：利用余弦函数的图像可以解三角不等式，还可以求三角函数的周期。要善于利用余弦函数的图像即数形结合解决问题。黑色陷阱：如果在一个周期［0，2π]上,找出满足不等式的x，再拓展到全体实数上,那么找出的范围是间断的,不是最简形式.要注意保持x的范围具有“连续性"变式训练1在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的取值范围是（）A.（,)∪（π，）B.（，π）C。（，）D.（，π）∪（，）思路解析:利用单位圆或三角函数图像解决会比较简捷直观。方法一（图像法)：作出[0，2π）区间上的正弦和余弦的函数图像，如图1—5-6（1)所示，易知两交点的横坐标为和，可知C正确。（1）(2）图1方法二(单位圆法）：如图1—5—6（2），在单位圆中作出第一、三象限的角平分线，由正弦线和余弦线可知应选C。方法三(代入验证法）：当x=π时，sinπ=0＞cosπ=-1，即x=π符合题意,排除A、B、D。故选C.答案:C变式训练2函数y=|cosx|的周期是（）A。2πB.πC.D。思路解析：画函数y=｜cosx|的图像，如图1-5—7所示.图1—5-7由函数y=|cosx｜的图像知周期为π。答案：B例2已知角α的终边经过点P(—5,12)，求sinα，cosα。思路分析：分别写出x、y、r的值,应用定义求解.解：由x=5，y=12,得r==13。∴sinα==，cosα==—。绿色通道：如果已知角的终边经过的一个点求三角函数值，通常应用三角函数的定义求解.变式训练已知角α的终边经过点P（5t，12t),t≠0，求sinα,cosα。思路分析：应用三角函数的定义。解：由x=5t，y=12t，得r==13｜t|。当t＞0时，r=13t。因此sinα=,cosα=；当t＜0时,r=—13t.因此sinα=—,cosα=-.例3（经典回放）设M和m分别是函数y=cosx—1的最大值和最小值，则M+m等于（)A。B.C.-D。-2思路分析：只需据y=cosx的性质(或图像）确定M、m。由y=cosx-1，且x∈R可知ymax=M=-1=-，ymin=m=—1=—.∴M+m==-2.答案：D绿色通道：解决y=Acosx+B和y=Acos2x+Bcosx+C类型函数，要结合图像，利用换元法，并且正确理解运用余弦曲线的性质解决问题.变式训练1函数y=cos2x—3cosx+2的最小值为（）A.2B。0C.思路解析:利用换元法化归为求二次函数的最小值.设cosx=t,—1≤t≤1，则有y=t2—3t+2=（t—）2.画图可知，当t=1时，函数y=cos2x—3cosx+2取最小值0.答案：B变式训练2(2006北京高考卷,文2）函数y=1+cosx的图像（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C。关于原点对称D.关于直线x=对称思路解析：函数y=1+cosx是偶函数,其图像关于y轴对称。答案:B问题探究问题求适合条件cosx=的角x的集合。导思:要求角x的集合，必须明确怎样表示角x的余弦值。我们知道余弦线表示余弦值，余弦函数的图像能反映余弦值的大小，由此探究的思路有两条，思路一：图像法，利用余弦函数的图像；思路二:利用余弦线。探究：方法一（图像法）：如图1—5—8所示，在同一坐标系中画出余弦函数y=cosx的图像和直线y=，则函数y=cosx的图像和直线y=交点的横坐标就是适合条件cosx=的角x。图1-5-8在一个周期［-π,π］内，有x=±.所以适合条件co