数学例题与探究：6平面向量数量积的坐标表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1湖北高考卷，理1)已知向量a=（,1），b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=，则b等于（)A.（,）B。（,）C。(）D。（1,0）思路解析:方法一（待定系数法)：设b=(x，y）（x≠y)，则依题意有解得方法二（代入验证法）：将四个选项逐一验证，仅有选项B符合题意。答案：B绿色通道：已知向量的坐标时,通常利用向量数量积的坐标表示来解决有关向量问题.变式训练1已知|a|=,b=（—2,3),且a⊥b，则a的坐标为_______________.思路解析：利用向量的长度公式和垂直的条件列出关于向量ab的坐标的方程，然后求解。设a=（x，y）,则x2+y2=52。由a⊥b得-2x+3y=0.由以上两个条件得答案：（6,4)或(-6,-4）变式训练2已知向量a与b同向，b=(1，2）,a·b=10。(1)求向量a的坐标；(2)若c=（2，-1），求(b·c)a。思路分析：由向量a与b同向可得a=λb,且λ＞0。解:（1）∵向量a与b同向，b=（1，2)，∴a=λb=(λ，2λ）。又∵a·b=10，∴有λ+4λ=10.解得λ=2＞0。符合向量a与b同向的条件,∴a=（2，4）。(2）∵b·c=1×2+2×(-1）=0，∴（b·c)a=0。例2（湖北高考卷，理19)如图2—6-2，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段以点A为中点，问与的夹角θ取何值时,·的值最大？并求出这个最大值。图2-6-2思路分析：可以用分解向量法和建立直角坐标系法解决.解法一(基向量法)：∵⊥，∴·=0.∵=—，=-，=—,∴·=（—)·(—）=·-·-·+·=-a2-·+·=—a2+·(—）=—a2+·=-a2+a2cosθ。故当cosθ=1即θ=0（与方向相同）时,·最大,其最大值为0.解法二（坐标法）：以A为原点，以AB所在直线为x轴建立如图2-6-3所示的平面直角坐标系。设｜AB|=c,|AC|=b,则A(0，0),B(c，0）,C（0，b)，且｜PQ｜=2a,|BC｜=a。设点P的坐标为(x,y）,则Q（-x,-y）。图2-6—3∴=（x—c，y)，=（—x,—y-b）,=(—c,b），=（—2x，—2y）。∴·=（x—c）（—x)+y（-y-b)=—（x2+y2）+cx-by。∵cosθ=∴cx-by=a2cosθ。∴·=—a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0,（与方向相同）时，·最大，其最大值为0。绿色通道解决向量问题的两种方法：①基向量法：选择不共线(最好垂直）的两个向量为平面向量基底，其他向量均用基底表示,将问题转化为向量的分解及其有关运算或其他问题；②坐标法：选择互相垂直的两个向量的基线为坐标轴，建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算解决向量的有关问题。变式训练1如图2-6—4，正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos〈，〉的值。思路分析：最优解法坐标法.解法一（坐标法）：如图2-6-4所示.图2—6—4以OA和OC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则有A=(1,0),C=(0,1）,B=(1,1），∴=（1，），OE=(，1),故cos∠DOE=。解法二（基向量法):以和为基向量建立平面向量基底.设=a，=b，则有｜a|=|b｜=1，〈a,b>=,a·b=0.∴=+=+=+=a+b，+=+=a+b.∴｜｜=，||2=，·=(a+b）·（a+b)=a2+a·b＋b2=1。∴cos∠DOE=.变式训练2已知a,b是两个非零向量，同时满足｜a|=｜b｜=｜a—b|，求a与a+b的夹角。思路分析：可以由条件求出a·（a+b）及｜a+b｜代入夹角公式。也可以运用向量加法的几何意义，构造平行四边形求解.解法一:根据|a|=｜b｜，有|a｜2=|b|2，又由｜b|=｜a—b|，得｜b｜2=|a｜2-2a·b+｜b｜2∴a·b=|a|2。而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b｜2=3|a｜2∴|a+b｜=|a|.设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=,∴θ=30°.解法二：设向量a=（x1，y1)，b=(x2，y2），∵|a|=｜b｜,∴x12+y12=x22+y22。由|b｜=｜a—b|，得x1x2+y1y2=（x12+y12），即a·b=（x12+y12).由|a+b|2=2(x12+y12）+2×（x12+y12）=3（x12+y12)得|a+b｜=（x12+y12）。设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=，∴θ=30°.解法三：在平面内任取一点O，作=a，=b,以，为邻边作平行四边形。∵|a｜=|b｜，即｜|=||.∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时=a+b，=a-b。而|a｜=｜b｜=|a—b|，即｜|=｜|=｜｜。∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°,于是∠AOC=30°，即a与a+b的夹角为30°。问题探究问题在直角坐标系中,将单位向量旋转90°到向量的位置，这两个向量有何关系？这两个向量的坐标之间有什么特殊联系？这种联系有什么作用？导思:探究方法：画图，结合图形观察，通过归纳、猜想、证明得到它们之间的关系。探究：如图2—6—5所示,在单位圆中，设=（a1，a2），=(x,y），图2—6-5∵⊥，且|｜=|｜=1，∴有整理得或即当按逆时针方向旋转90°时，=(—a2，a1）,当按顺时针方向旋转90°时，=（a2，-a1).也就是把原向量的横、纵坐标交换,并在其中一个前添加负号。这一结论可以证明三角函数的诱导公式。例如：求证:cos(α+90°)=—sinα，sin(α+90°)=cosα.证明:设α的终边与单位圆交于点A,则A(cosα,sinα),所以=(cosα,sinα).∴｜|=1，即是单位向量.当按逆时