数学利用不等式求最大（小）值单元测试

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元测试1。设x、y∈R+，且满足x+4y=40，则lgx+lgy的最大值是(）A。40B。10C。4解析：lgx+lgy=lg（xy）=lg≤lg=lg=2。答案：D2。已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为（）A.B。2C。D.3解析：∵(2x+y)2=(·+y)2≤[（)2+1］[（)2+y2］=3(2x2+y2)=3，∴2x+y≤。答案:C3.设x、y∈R,且x+y=4,则3x+3y的最小值为（）A.9B。18C。3解析:∵3x+3y≥==18.答案：B4。已知a+b+c=3,且a、b、c∈R+，则的最小值为（)A.3B.1C.D。解析：∵（)［（3—a）+（3-b）+（3-c）］≥a+b+c=3，而(3—a）+（3-b)+(3-c)=9—(a+b+c）=6,∴≥。答案:D5.已知a+b+c+d=，则的最小值为（)A.B。2C。1解析：∵（12+12）（a2+b2)≥(a+b）2，∴.同理，，，∴(a+b)+（b+c)+（c+d)+(d+a)=×2（a+b+c+d）=2，∴最小值为2。答案：B6.x〉0,y〉0且x+y=1,则≤a恒成立的a的最小值是(）A.B.C.2D.解析：∵a2≥(）2=x+y+2，又∵x+y+2≤2(x+y)=2，由≤a恒成立，得a2≥2，即amin=。答案：B7。已知+2+3=9,则x+y+z的最小值为（）A。3B.1C.解析：∵（）2≤(12+22+32）［(2x+1）+（2y+3)+（3z+4)］=14（2x+2y+3z+8）=28(x+y+z+4）,∴x+y+z+4≥.∴x+y+≥-4=-.答案:C8。若x〉0，则4x+的最小值为()A。50B.100C.解析：4x+=2x+2x+≥.答案:C9。设x〉0,y>0,x2+=1,则的最大值为________________。解析：∵x>0，y>0，x2+=1,∴=≤.答案：10。（a+b+c）(++）的最小值为______________(a、b、c∈R+)。解析:（a+b+c）(++)≥（）2=9.答案:911.若a+b+c+d=1，且a、b、c、d∈R+,则的最小值为__________.解析：∵［(1+a）+（1+b)+（1+c）+(1+d)］(+++)≥a+b+c+d=1,∴++≥.答案：12。函数①y=x2+;②y=;③y=ex+4e-x;④y=sinx+(0〈x<π)中最小值为4的函数为_____________.(只填序号)解析：①y=x2+≥=4，当且仅当x2=，即x2=2时取“="。②y==4。当且仅当时取“=”，但≠，∴最小值不是4.③y=ex+4e-x≥=4,当且仅当ex=4e-x，即ex=2时取“=”。④∵0<x〈π,∴sinx>0,y=sinx+≥=4.但sinx≠,∴最小值不是4.答案：①③13.已知x1，x2，…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=n,求证:≥n.证明：∵（x1+x2+…+xn)()≥(1+1+…+1)2=n2，又∵x1+x2+…+xn=n，∴++…+≥n。14.已知a〉b>0，求a2+的最小值.分析:可构造乘积为定值，求和的最小值。解:∵a〉b〉0,∴a-b〉0。∴0<b(a-b)≤［］2=.∴。∴a2+≥a2+≥=16。当且仅当a2=,即a=且b=a-b，b==时取“=".∴当a=，b=时,a2+最小为16。15。已知2x2+y2+5z2=3，求S=x+2y+3z的最大值。解:S2=(x+2y+3z)2=［(x)+2·y+］2≤［()2+22+(）2］［(x）2+y2+（z）2］=（+4+)(2x2+y2+5z2）=（2x2+y2+5z2)=×3=，∴S≤.∴S的最大值为.16。某单位决定投资32000元建一仓库(长方体状）,高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅,每米长造价为400元，两侧墙砌砖,每米长造价450元，顶部每平方米造价为200元,试计算：仓库面积S最大为多少?这时铁栅长多少?解：设铁栅长为xm,一堵墙长为ym,则S=xy,由题意,得400x+2×450y+200xy≤32000，即4x+9y+2xy≤320.∵4x+9y≥24x·9y=12x