数学互动课堂学案：三角函数的诱导公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导1。角α与α+k·2π(k∈Z）的三角函数的关系在直角坐标系中，α与α+k·2π的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等,即cos（α+k·2π）=cosαsin（α+k·2π)=sinαtan（α+k·2π）=tanα(1）利用公式（1），我们可把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π角的三角函数问题来研究。2。角α与—α的三角函数间的关系如下图所示，设单位圆与角α，角-α的终边的交点分别为P和P′，容易看出点P和点P′关于x轴对称，已知点P的坐标是(cosα,sinα），则P′的坐标是（cosα,—sinα),于是得到cos(—α）＝cosαsin（—α）=—sinαtan(—α)＝—tanα(2）利用公式（2），我们可用任意正角三角函数表示负角三角函数，从公式（2）还可看出,余弦函数是偶函数,而正弦函数、正切函数都是奇函数.3。角α与α+（2k+1)π（k∈Z)的三角函数间的关系设角α与α+π的终边与单位圆分别交于点P和P′，如下图所示容易看出，α+π与α-π，α+3π，α—3π，…α+(2k+1)π（k∈Z）的终边相同，则它们的三角函数值也相等，由点P与点P′关于原点对称，它们的对应坐标互为相反数，所以cos［α+（2k+1）π］=—cosαsin［α+（2k+1)π]=—sinαtan[α+(2k+1）π］=tanα（3）疑难疏引(1)由公式（1）和（3）可以看出，α与α加上π的偶数倍的所有三角函数值相等；α与α加上π的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数；角α与α加上π的整数倍的正切、余切值相等,即sin（α+nπ）=cos(α+nπ)=tan(α+nπ)=tanα,n∈Z。（2)由诱导公式（2）（3），我们可以得到两个互为补角三角函数的关系，α与π—α两角互补,则sin（π—α)＝sinα,cos(π-α）=-cosα，这就是说，两个互为补角的正弦值相等，余弦值是互为相反数，例如sin=sin=，cos=—cos=,cos=-cos=.(3）因为任意角都可化为α+kπ的形式，并使|α｜＜，所以利用公式（1）（2）（3)，我们可把任意角三角函数求值问题转化为0至之间的角的三角函数求值问题。公式(1）（2)(3)都叫做诱导公式.利用诱导公式可求三角函数式的值或化简三角函数式。4。α与α+的三角函数间的关系如图所示,设α的终边与单位圆相交于点P（cosα,sinα)，α+的终边与单位圆相交于点N（cos（α+）,sin(α+))，又因为点P关于直线y=x的轴对称点M的坐标为M（sinα,cosα）.点M关于y轴的对称点的坐标为N(-sinα，cosα).点P经过以上两次轴对称变换到达点N，等同于单位圆作了一次旋转，旋转的大小为(如图所示）：2（—α)+2α=。所以cos(α+）=—sinαsin(α+）=cosα(4）在公式（4)中,以-α替代α，可得另一组公式cos(-α+)=sinαsin(-α+)=cosα(4′)由三角函数之间的关系又可得tan（α+）=—cotα,cot（α+)=—tanα，tan（—α+)=cotα，cot（—α+)=tanα。规律总结规律总结我们知道任意一个角都可以表示为k·+α(其中|α|＜）的形式。这样由公式（4）就可把任意角的三角函数求值问题转化为0—之间角的三角函数求值问题。5.关于五组诱导公式必须注意的几个问题（1)公式中的角α可以是任意角；（2）这五组诱导公式可以叙述为：①α+k·2π,-α，α+(2k+1)π的三角函数值，等于a的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.为了便于记忆，也可简单地说成：“函数名不变，符号看象限”.②α+，-α+的三角函数值，等于α的余名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角是原函数值的符号，记忆口诀为：“函数名改变，符号看象限"。③这两套公式可以归纳为:k·+α(k∈Z）的三角函数值,当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为：“奇变偶不变、符号看象限".这里的奇偶是指k的奇偶。活学巧用【例1】确定下列三角函数值的符号：（1）cos；（2）sin（—760°)；(3）tan；（4）cos1962°。解析：(1）因为cos=cos（+4π）=cos,而是第一象限角，所以cos＞0。（2)因为sin(—760°）=sin（—40°-2×360°）=sin（—40°),而—40°是第四象限角。所以sin（-760°）＜0.（3）因为tanπ=tan（+2π)=tan,而是第一象限角,所以tan＞0。（4）因为cos1962°=cos（162°+5×360°）=cos162°，而162°是第二象限角，所以cos1962°＜0。【例2】求下列各三角函数值:（1）sin（）;(2）cos();(3)tan（-405°).分析：可先利用公式（2)把负角的三角函数转化成正角的三角函数,再利用公式(1）把绝对值大于2π（或360°)的角的三角函数转化成绝对值小于2π（或360°）的角的三角函数去求值.解：（1）方法一：sin(）=—sin=-sin(+6π）=—sin=—.方法二：sin()=sin(—-6π)=sin(-)=-sin=-。（2）cos()=cos=cos（+6π）=cos=;cos（）=cos（——6π）=cos(—）=cos=.(3）tan（—405°)=-tan405°=-tan（45°+360°）=-tan45°=—1；tan（-405°)=tan（-45°-360°)=tan(-45°）=—tan45°=—1。【例3】求下列三角函数式的值:（1）sin495°·cos(—675°);（2)sin（—1200°）·tan（—）-cos585°·tan（）。解析:（1）sin495°·cos（-675°）=sin（135°+360°）·cos675°=sin135°·cos315°=sin（180°—45°)·cos（360°-45°）=sin45°·cos45°=×=。（2）sin（—1200°）·cot-cos585°·tan(）=—sin1200°·—cos585°·=—sin（120°+3×360°)·+cos（225°+360°)·=-sin120°·+cos225°·=-sin（180°—60°）·+sin（180°+45°）=-sin60°·=cos60°-sin45°=【例4】求sin（2nπ+)·cos（nπ+）的值（n∈Z)。解析：（1）当n为奇数时，原式=sin·（—cos）=sin(π-)［-cos（π+）］=sin·cos=。(2)当n为偶数时，原式=sin·cos=sin（π—）·cos(π+）=sin（—cos）=×（-）=.综上知：当n为奇数时，原式=，当n为偶数时，原式=.【例5】已知sin(π+α)=，求tan（α-)的值。解析：∵sin(π+α）=—sinα,又∵=，∴sinα=＞0，可知α是第一、二象限的角。若α终边在第一象限，则cosα=，∴tan(α—）=若α终边在第二象限，则cosα=-,∴tan（α-）=。综上知,当α为第一象限时,tanα=—;当α为第二象限时,tanα=.【例6】已知sinα是方程5x2—7x-6=0的根，求［sin（α+）·sin(-α）·tan2（2π—α）·tan（π-a)］÷［cos（-α)·cos（+α)］的值。解析：5x2—7x—6=0的两根为x=2或x=，∴sinα=,cosα=±=±。∴tanα=±。原式==tanα=±.【例7】已知cos(-α）=,求cos(+α)-sin2（α-）的值。解析:∵cos(+α)=cos［π-（-α)］=—cos(-α)=—,sin2(α-）=sin［—（—α）]＝1—cos2（-α）=1-（）2=.∴sin(+α）-sin2(α-）=-—=。【例8】若f（sinx）=cos17x，求f()的值.解析:此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算，在运算的过程中要理解函数表达式的意义，灵活运用诱导公式。f(）=f（sin）=cos=cos(2π+）=cos=cos（π-)=—cos=。【例9】若sin（180°+α)+cos（90°+α）=-a,则cos（270°-α)+2sin（36